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第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
自主学习
一、知识链接
1.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程 (a≠0)根的情况.
2. 写出二次函数 的图象的顶点坐标、对称轴，并画出它的图象.然后观察图
象，x为何值时，y=0？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数与一元二次方程的关系
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是
一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)
之间具有关系：
h=20t－5t2，
考虑以下问题：
(1) 小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
(2) 小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
(3) 小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？
从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.典例精析
例1 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x (单位：m)是
铅球离初始位置的水平距离，y (单位：m)是铅球离地面的高度.
(1) 当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
(2) 铅球离地面的高度能否达到2.5m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？
(3) 铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了.
y = ax2 + bx + c(a≠0) y = M ax2 + bx + c= M
探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1) y=x2+x－2； (2) y=x2－6x+9； (3)y=x2－x+1.
要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关
系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2－4ac
轴的公共点
有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2－4ac＞0
有一个公共点 有两个相等的实数根 b2－4ac=0
没有公共点 没有实数根 b2－4ac＜0
例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个公共点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
【变式题】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x ，0)，B(x ，0)，且x 、x 的平方和为3，求a
1 2 1 2
的值．
探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
例3 利用函数图象求方程x2+2x-1=0的实数根(结果保留小数点后一位).分析：一元二次方程 x²－2x－2=0 的根就是抛物线 y=x²－2x－2 与x轴的交点的横坐标，
因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x轴的交点的横坐标，这种解一元
二次方程的方法叫做图象法.
方法归纳: 一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1)用描点法作二次函数的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断
缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)；
(3)确定方程的近似解.
由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
的近似根为( )
A．x≈－2.1，x≈0.1
1 2
B．x≈－2.5，x≈0.5
1 2
C．x≈－2.9，x≈0.9
1 2
D．x≈－3，x≈1
1 2
方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估
计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图①，那么：
方程ax2+bx+c=0的根是 ；
不等式ax2+bx+c>0的解集是 ；
不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
图① 图②
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图②，那么：
方程ax2+bx+c=2的根是 ______________；不等式ax2+bx+c>2的解集是___________；
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
问题2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的
图象与x轴有 个公共点，坐标是 ；方程ax2+bx+c=0的根是 .
问题 3 如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴有
______个公共点；不等式ax2+bx+c<0的解集是什么？试一试：利用函数图象解下列方程和不等式.
(1) ①－x2+x+2=0； ②－x2+x+2>0； ③－x2+x+2<0.
(2) ①x2－4x+4=0； ②x2－4x+4>0； ③x2－4x+4<0.
(3) ①－x2+x－2=0； ②－x2+x－2>0； ③－x2+x－2<0.
要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图
a＞0 a＜0
象与x轴交点
有两个公共点 (x1，0)， y＜0，x＜x＜x； y＞0，x＜x＜x；
1 2 1 2
(x2，0)(x＜x) y＞0，x＞x 或x＜x y＜0，x＜x 或x＞x.
1 2 2 1 1 2
y＞0，x 之外的所有实数； y＜0，x 之外的所有实数；
有一个公共点x 0 0
0 y＜0，无解 y＞0，无解.
y＞0，所有实数； y＜0，全体实数；
没有公共点
y＜0，无解 y＞0，无解
三、课堂小结
判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ＜0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) x，x
1 2 x=x＝- 没有实数根
的根 1 2
不等式ax2+bx+c>0(a>0)
xx x ≠ x 的一切实数 所有实数
的解集 1 2 1
不等式ax2+bx+c<0(a>0)
x0 ？
(3) x取什么值时，y<0 ？
7.已知函数y＝(k-3)x2＋2x＋1的图象与x轴有公共点，求k的取值范围．
8.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，
与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球
运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么
他能否获得成功？参考答案
自主学习
知识链接
1.当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 b2－4ac=0时，方程有两个相等的实
数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根.
2.解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,则y=x2-2x-3的图象的顶点坐标为（1，-4），对称轴为直线x=1，
画图略，当x=3或-1时，y=0.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数与一元二次方程的关系
问题
解：（1）令15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t=1，t=3.∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
1 2
（2）令20=20t-5t2,t2-4t+4=0，t=t=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.
1 2
（3）令20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0，因为(-4)2-4 ×4.1<0，所以方程无解.即球的飞行高度达不
到20.5m.
(4)令0=20t-5t2，t2-4t=0，t=0，t=4.当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，即小球从飞
1 2
出到落地要用4 s时间.
典例精析
例1 解 ：（1）由抛物线的表达式得 即x2-6x+5=0,解得x=1，x=5.
1 2
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
（2）由抛物线的表达式得 即x2-6x+9=0，解得x=x=3.即当铅球离地面
1 2
的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.
（3）由抛物线的表达式得 即x2-6x+14=0，因为Δ=(-6)2-4×1×14＜0，所
以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.
探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
思考 解：（1）y=x2－x+1的图象与x轴无交点，则相应的一元二次方程为x2－x+1=0无实
数根.
(2) y=x2－6x+9的图象与x轴有2个重合的点，交点的横坐标为3，则相应的一元二次方程为x2－6x+9=0，其根为x=x=3.
1 2
(3) y=x2+x－2的图象与x轴有2个交点，交点的横坐标分别为-2，1，则相应的一元二次方
程为x2+x－2=0，其根为x=-2，x=1.
1 2
例2 (1)证明：对于一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0(m ≠ 0)∵Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋
4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0一定有两个根.
∴抛物线y=mx2－(m＋2)x＋2=0与 x 轴总有公共点.
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x＝1，x＝
1 2
当m为正整数1时，x 为整数且x≠x ，即抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标
2 1 2
都是整数．所以正整数m的值为1.
【变式题】(1)证明：∵a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，
抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点.
(2)解：∵x＋x＝－a，x·x＝a－2，∴ ＝(x＋x)2－2x·x＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
1 2 1 2 1 2 1 2
探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
例3 解：画出函数 y=x²-2x-2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一
个在-1与0之间，另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.8或-0.7，利用计算器进行探索，见下
表：
x ··· -0.8 -0.7 ···
y ··· 0.24 -0.11 ···
观察上表可以发现，当x分别取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正，可见在-0.8与-0.7之间
肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.8或
x=-0.7都符合要求.但当x=-0.7时更为接近0.故x≈-0.7.
1
同理可得另一近似值为x≈2.7.
2
例4 B
探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1 x=-1,x=3 x＜-1或x＞3 -1＜x＜3
1 2
拓广探索： x=-2,x=4 x＜-2或x＞4 -2＜x＜4
1 2
问题2 1 （2，0） x = x = 2
1 2
问题3 0 （1）当a>0时， ax2+bx+c<0无解;（2）当a＜0时， ax2+bx+c<0的解集是
一切实数.
试一试：解：（1）①x=-1 , x=2 ②-1 ＜ x＜2 ③x＜-1或 x＞2
1 2
（2）①x= x=2 ②x≠2的一切实数 ③ x无解
1 2
（3）①x无解 ②x无解 ③ x为全体实数
当堂检测1.C 2.A 3.D 4.-1 5.（-2，0），
6.解：（1）x=2，x=4; （2）x<2或x>4; （3）2
