文档内容
分课时教学设计
第五课时《22.2二次函数与一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 函数与方程是初中阶段的重点内容。八年级下册学生学习了一次函数，研究了一次
函数与一元一次方程(二元一次方程组)的联系，本节课加深函数与方程的联系，利
用二次函数研究一元二次方程，用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某
个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。本章专设
一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联
系。这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方
程的相关问题，体现了知识之间的联系。
学习者分析 大多数学生已能理解一次函数与一元一次方程之间的联系，会利用方程求直线与x
轴的交点坐标，会看函数图象，理解一元一次方程解的几何意义(与x轴交点的横
坐标)。在掌握二次函数的图象与性质的基础上开展本节课的研究，要求学生用函
数的角度看方程，体会数形结合在数学中的应用，充分发展学生的逻辑思维，养成
思维严谨的好习惯。学生已经学习过二次函数的图象和性质，这是单纯从函数知识
“形”的层面进行认识，本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方
程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二
次函数。
教学目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
教学重点 探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
教学难点 用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系。
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点 教师提出问题，学生回答
(0，1)，(1，0)，则方程 kx＋b＝0的解是
___________．
1. x＝1
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，
则方程kx＋b＝－3的解是____________． 2. x＝-2
3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二
次方程，由此可知一元二次方程与二次函数
有着密切的关系．那么，二次函数 y＝ax2＋
bx＋c(a≠0)与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？
活动意图说明：复习回顾一次函数与一次方程的联系，由问题引出本节内容，为后面的学习奠定了基础.
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°
角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条
教师提出问题，学生积极回答问题
抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行
高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s） （1）解：当h=15时，20t-5t2=15，
h 20t 5t2 解得，t=1，t=3.
之间具有关系 。 1 2
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
(2) 20=20t-5t2
考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果
t2-4t+4=0
能，需要多少飞行时间？ t=t=2.
1 2
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果
当小球飞行2 s时，它的高度为20 m.
能，需要多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什 (3) 20.5=20t-5t2
么？
t2-4t+4.1=0
（4）小球从飞出到落地需要多少时间？
因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.
即球的飞行高度达不到20.5 m.
(4) 解方程
0=20t-5t2
t2-4t=0
t=0，t=4.
1 2
当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球
从飞出到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s
时小球落回地面.
教师提出问题，学生积极回答问题
结合此问题，你发现二次函数与一元二
次方程的联系.
从上面发现，二次函数与一元二次方程
联系紧密。如：已知二次函数 y=-x2+4x的值
为3，求自变量x的值.可以看作解一元二次
方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程
x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的
值为0，求自变量x的值.
活动意图说明：再现所学知识，前后对比复习，加深学生印象，为下面的探索奠定基础。
环节三：新知讲解教师活动3： 学生活动3：
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公 教师提出问题，学生积极回答问题
共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？
由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 通过观察图象，可以发现：这三个函数图象与
（1）y=x2+x-2； x轴交点分别为：2个、1个和没有公共点.使学
（2）y=x2-6x+9； 生理解当二次函数图象与x轴有公共点时，公
（3）y=x2-x+1.
共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.
问：相应方程的根是什么？
教师提出问题，学生积极回答问题。使学生理解
当二次函数图象与x轴有公共点时，公共点的
横坐标就是相应的一元二次方程的根.
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方 程 ax2+bx+c=0 的 解 就 是 抛 物 线
教师提出问题，学生积极回答问题。教师归纳和引导
y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标。当抛物线
与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，
也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的
位置关系。
归纳二次函数与x轴的位置关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的
位置关系有三种：
活动意图说明：让学生理解二次函数与一元二次方程的联系。
环节四：典例精析
教师活动4： 学生活动4：
例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的
实数根(结果保留小数点后一位).
教师提出问题，学生积极回答问题。使学生理解
我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次
方程的根。
思考：利用二次函数的图象解一元二次
方程的基本步骤有哪些？
学生试着回答，相互补充，最后师生归纳1.画出函数的图象；
2.根据图象确定抛物线与x轴的交点分别在哪
两个相邻的整数之间；
3.利用计算器探索其解的十分位数字，从而
确定方程的近似根.
活动意图说明：使学生理解如何通过图象与x轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解
板书设计 一、二次函数与一元二次方程的联系
二、二次函数图象与x轴交点问题
课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过A(x，m)，
1
B(x＋n，m)两点，则m，n的关系为( )
1
1 1
A．m＝ n B．m＝ n
2 4
1 1
C．m＝ n2 D．m＝ n2
2 4
2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( )
A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
3.二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是 ，方程
x2+bx+c＝0的解是 ．
4.下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是 。
选做题：
5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
6.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x，0)，B(x，0)，且x、x 的平方和为
1 2 1 2
3，求a的值．
【综合拓展类作业】
7.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B
3
的坐标为(3，0)，抛物线与直线y＝－ x＋3交于C，D两点．连接BD，AD.
2
(1)求m的值；
(2)抛物线上有一点P，满足S ＝4S ，求点P的坐标．
△ABP △ABD
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
2.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程x2+bx+c=0的解是
_______________
选做题：3.如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，
则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是______________．
4.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图，若点A(x ，y)，B(x ，y)在此函数图象
1 1 2 2
上，且x
