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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计
课题 21.2.4一元二次方程的根 单元 第21章 学科 数学 年级 九年级
与系数的关系
1.掌握根与系数的关系；
2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
学习
目标
重点 掌握根与系数的关系.
难点 利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：用适当的方法解下列方程: 学生回忆、思 提出问题，寻找
x2+5x-14=0 考并回答问 解决办法，为下
解：(x-2)(x+7)=0 题. 面推导根与系数
x-2=0，x+7=0 的关系奠定基础.
x=2，x= -7
1 2
其中 x+x = -5 , xx=-14
1 2 1 2
思考：（1）不解方程，你能快速求出 x x 与xx
1+ 2 1 2
的值吗？
（2）任意一个一元二次方程，如果不解方程，你
能快速求出 x+x 与xx 的值吗？
1 2 1 2
讲授新课 环节一：推导根与系数的关系 师生合作，借 推导根与系数的
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 用求根公式推 关系.
的两根分别为x，x ， 两根之和x+x 、两根之积 导根与系数的
1 2 1 2
xx 与系数有怎样的关系呢？ 关系.
1 2
根据求根公式可知：
由此可知：
因此，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
x，x 和系数a、b、c有如下关系：
1 2
任何一个一元二次方程的根x，x 和系数a、b、c
1 2
的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项
系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二
次项系数的比。
注意：先把方程写成一般形式，确定 a、b、c的
值。
思考：把一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两边
同时除以a，能否得出以下结论？方程两边同时除以 a，得： ，通
过解方程，依然能够得出上述结论。 借助典型例
归纳：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数 题,展示求解 培养学生计算能
的关系，也叫做韦达定理。 两根之和与两 力以及熟练根与
注意：使用的前提条件为b2-4ac≥0 根之积的步 系数的关系.
环节二：典例解析 骤，并进行总
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 结.
下列方程两个根x，x 的和与积:
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(1) x2-6x-15=0
(2)3x2+7x-9=0
(3)5x-1=4x2
解：(1)a=1,b= -6,c= -15
x+x = -(-6)=6，xx= -15
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通过练习，使学
(2)a=3,b=7,c= -9
学生练习，师 生熟练掌握方程
x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 =-3 生互评订正. 根与系数的关系.
(3)方程化为 4x2-5x+1=0
a=4,b= -5,c=1
x+x = ，xx=
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小结：求根与系数的关系的步骤：
1.化：把方程化成一般形式；
2.定：确定a,b,c的值；
3.求：求出x+x，xx 的值；
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4.验：检验b2-4ac≥0.
环节三：课堂练习
1. 不解方程，求下列方程两根之和与两根之积:
(1)x2-3x=15
(2)3x2+2=1-4x
(3)5x2-1=4x2+ x
(4)2x2-x+2=3x+1
解：(1)方程化为x2-3x-15=0
a=1,b=-3,c=-15
x+x =3，xx=-15
1 2 1 2
(2)方程化为3x2+4x+1=0
a=3,b=4,c=1
x+x = ，xx=
1 2 1 2(3)方程化为 x2-x-1=0
a=1,b=--1,c=-1
x+x =1，xx=-1
1 2 1 2
(4)方程化为2x2-4x+1=0
a=2,b=-4,c=1
x+x =2，xx=
1 2 1 2
2.已知 3x2+2x-9=0 的两根是x、x.
1 2
求：(1) (2)x2+x 2
1 2
解： a=3,b=2,c=-9
x+x = ，xx=-3
1 2 1 2
3.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2, 求它的
另一个根及k的值.
解：将x=2代入方程，得
22-2(k+1)+3k=0
解得 k= -2
2x=3k=-6
1
x=-3
1
4.设x,x 是方程x2-2(k-1)x+k2 =0的两个实数根,且
1 2
x2 +x 2=4，求k的值.
1 2
解：由题意,得
x+x =2(k-1)
1 2
xx=k2
1 2
2+x 2=4
x1 2
Δ=4(k-1)2-4k2≥0
解得：k=0, k=4.
1 2
k≤0.5
∴k=0
课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系 师生共同梳理 强化本节课的知
(韦达定理)： 本节课的知识 识点.
点.注意：能用根与系数的关系的前提条件：b2-
4ac≥0
板书 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教师展示本节 展示本节课的内
根与系数的关系(韦达定理)： 课的内容. 容.
例4 练习
