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专题04 二次方程中的参数探究
类型一 仅利用韦达定理求参数
1．已知关于 的方程 的两个实数根的平方和是 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
设方程 的两个实数根分别为m、n，根据根与系数的关系可得出m+n=-2k-1，mn=k2，
结合m2+n2=7即可得出关于k的一元二次方程，解方程可得出k的值，再根据方程两个实数根，结合根的
判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式可得出k的取值范围，由此即可确定k的值．
【详解】
设方程 的两个实数根分别为m、n，则有：m+n=-2k-1，mn=k2，
∵m2+n2=（m+n）2-2mn=7，
∴（-2k-1）2-2k2=7，即k2+2k-3=0，
解得：k=-3或k=1．
∵方程有实数根，
∴△=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0，
∴k≥- ，
∴k=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系找出关于k的一元二次方程以及根据根的判别式找出关于k的一元一次不等式是解题的关键．
2．关于 的方程 两个实根 满足 ，则 的值为_______．
【答案】5或 .
【解析】
【分析】
先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到 ， ，结合
，通过变形求值，即可求出m的值.
【详解】
解：在方程 中，有
，
∴原方程有两个不相等的实数根；
根据根与系数的关系，有：
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ；
故答案为：5或 .【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，以及完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练
掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.
3．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若 ，则0＜a＜1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的
取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a−b−1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x＝x＝−1，
1 2
∴k＝−1，
∵ ＝ ，
∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，
此时 ＞0，即 ；
当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，
此时 ＜0，即 ；
故A、C错误；
当 时，即 ＞0，＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当 时，即 ＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．
4． 已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 .
（1）求 的取值范围；
（2）若 满足 ，求 的值.
【答案】（1）m≤5；（2）4.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20﹣4m≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得x +x =6①、x x =m+4②，分x ≥0和x ＜0可找出3x =x +2③或3x =﹣
1 2 1 2 2 2 1 2 1
x +2④，联立①③或①④求出x 、x 的值，进而可求出m的值．
2 1 2
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x ，x ，
1 2
∴△=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x ，x ，
1 2
∴x +x =6①，x x =m+4②．
1 2 1 2
∵3x =|x |+2，
1 2
当x ≥0时，有3x =x +2③，
2 1 2联立①③解得：x =2，x =4，
1 2
∴8=m+4，m=4；
当x ＜0时，有3x =﹣x +2④，
2 1 2
联立①④解得：x =﹣2，x =8（不合题意，舍去）．
1 2
∴符合条件的m的值为4．
考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式.
5．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x﹣x|＝3，求k的值．
1 2
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【解析】
【分析】
（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的
判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x、x 的值，由x=-1和x 为整数以及k为正
1 2 1 2
整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此
题得解．
【详解】
解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴ ， ，且k≠﹣1，
∵x 为整数，k为正整数，
2
∴k=1或k=3；（3）由（2）得x=-1， ，且k≠-1，
1
∴|x-x|= ，
1 2
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
【点睛】
本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分
k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x=﹣1， ；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式
1
方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
类型二 根据根的范围求参数范围
6．关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数，则实数 的取值范围是
_______________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
分1-m2=0，1-m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，
求出m的取值范围．
【详解】
解：当1-m2=0时，m=±1，
当m=1时，可得2x-1=0，x= ，符合题意；
当m=-1时，可得-2x-1=0，x=- ，不符合题意；
当1-m2≠0时，（1-m2）x2+2mx-1=0，
即 [（1+m）x-1][（1-m）x+1]=0，
∴x = ，x =- ，
1 2
∵关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，∴0＜ ＜1，解得m＞0，
0＜- ＜1，解得m＞2，
综上可得，实数m的取值范围是m=1或m＞2．
故答案为m=1或m＞2．
【点睛】
考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1-m2=0，1-m2≠0两种情况讨论
求解.
7．实数k取何值时，一元二次方程x2－(2k－3)x＋2k－4＝0：
(1)有两个正根；
(2)有两个异号根，并且正根的绝对值较大；
(3)一根大于3，一根小于3.
【答案】(1)见解析．（2）见解析，（3）见解析．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答.（1）有两个正根时，x＞0，x＞0，即x＋x
1 2 1 2
,xx .由此得到k的取值.（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大，即x＞0，x＜0且|x|＞|x|.
1 2 1 2 1 2
即x＋x ,xx .由此得到k的取值.（3）一根大于3，一根小于3时，即x＞3，x＜3. 则k应满足条件：
1 2 1 2 1 2
(x－3)(x－3)＜0，即xx－3(x＋x)＋9＜0. 由此得到k的取值.
1 2 1 2 1 2
【详解】
解：∵Δ＝[－(2k－3)]2－4(2k－4)＝4k2－20k＋25＝(2k－5)2≥0，∴k取任何实数，方程都有两个实数根．设
该方程的两根为x，x，则由韦达定理，得x＋x＝2k－3，xx＝2k－4.
1 2 1 2 1 2
(1)若使x＞0，x＞0，则k应满足条件： 解得 ,∴当k＞2时，方程有两个正根．
1 2
(2)若使x＞0，x＜0且|x|＞|x|，则k应满足条件： 解得 ,∴当 ＜k＜2时，两
1 2 1 2
根异号，且正根的绝对值较大．
(3)若使x＞3，x＜3，则k应满足条件：(x－3)(x－3)＜0，即xx－3(x＋x)＋9＜0.∴2k－4－3(2k－3)＋9
1 2 1 2 1 2 1 2＜0，k＞ .∴当k＞ 时，方程一根大于3，另一根小于3.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，
即韦达定理是本题解题关键.
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；
（3）若x，x 为方程的两个根，且n＝x2＋x2﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点
1 2 1 2
（﹣3，21），并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）经过定点（﹣3，21），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）计算一元二次方程的根的判别式，即可证明；
（2）根据一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，继而列出不等式解不等式求解即可；
（3）先由一元二次方程根与系数的关系得出 ，代入n＝x2＋x2﹣8，，从而将动点
1 2
P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点（﹣3，21）代入验证即可．
【详解】
（1） 关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0，
，
该一元二次方程总有两个实数根；
（2） 关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0，
，
该方程一个小于5的根，另一个根大于5，解得
（3）
n＝x2＋x2﹣8
1 2
∴动点 可表示为
当m＝-3时，
动点 所形成的数图象经过点点 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ＞0，方程有两个不相等的
△
实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方
程及根与系△数的关系的应用，以及点的坐标与函△数的对应关系．
9．对于关于x的方程x2＋（2m﹣1）x＋4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围，
（1）两个正根；
（2）有两个负根；
（3）两个根都小于﹣1；
（4）两个根都大于 ；
（5）一个根大于2，一个根小于2；
（6）两个根都在(0，2)内；
（7）两个根有且仅有一个在(0，2)内；
（8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内；
（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；
（10）一个根小于2，一个根大于4．
【答案】（1） ；（2） ；（3）不存在符合此条件的 ；（4） ；（5） ；
（6）不存在符合此条件的 ；（7） 或 ；（8）不存在符合此条件的 ；（9）不存在符合此条件的 ；（10） ．
【解析】
【分析】
先利用根的判别式求出方程有两实数根时 的取值范围，再求出函数 的对称轴，
然后结合二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与 轴的交点问题分别建立不等式组，解不等式组即
可得．
【详解】
当 有两个实数根时，
其根的判别式 ，即 ，
解得 或 ，
设 ，
则此二次函数的对称轴为 ，且其与 轴的交点的横坐标即为方程
的根，
（1）当方程有两个正根时，
则当 时， ，且二次函数的对称轴大于0，
即 ，解得 ，
又 或 ，
；
（2）当方程有两个负根时，
则当 时， ，且二次函数的对称轴小于0，即 ，解得 ，
又 或 ，
；
（3）当方程的两个根都小于 时，
则当 时， ，且二次函数的对称轴小于 ，
即 ，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的 ；
（4）当方程的两个根都大于 时，
则当 时， ，且二次函数的对称轴大于 ，
即 ，解得 ，
又 或 ，
；
（5）当方程的一个根大于2，一个根小于2时，
则当 时， ，
即 ，解得 ，
又 或 ，
；
（6）当方程的两个根都在 内时，
则当 和 时， ，且二次函数的对称轴在 内，即 ，解得 ，
又 或 ，
不存在；
（7）当方程的两个根有且仅有一个在 内时，
则当 时 的值与 时 的值的乘积小于0，
即 ，解得 或 ，
又 或 ，
或 ；
（8）当方程的一个根在 内，另一个根在 内时，
则当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，
即 ，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的 ；
（9）当方程有一个正根，一个负根且正根绝对值较大时，
则当 时， ，且二次函数的对称轴大于0，
即 ，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的 ；
（10）当方程的一个根小于2，一个根大于4时，
则当 和 时， ，
即 ，解得 ，又 或 ，
．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组、根的判别式、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与 轴的交点问
题等知识点，将一元二次方程的根的问题与二次函数联系起来是解题关键．
类型三 其他型求参数范围
10．对于实数 ，定义运算“*”； 关于 的方程 恰好有三个不相
等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，根据定义得到函数解析式 ，由方程的有三个不同的解去掉
函数图象与直线y=t的交点有三个，即可确定t的取值范围.
【详解】
设 ，由定义得到
，
∵方程 恰好有三个不相等的实数根，
∴函数 的图象与直线y=t有三个不同的交点，
∵ 的最大值是∴若方程 恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ，
故选：C.
【点睛】
此题考查新定义的公式，抛物线与直线的交点与方程的解的关系，正确理解抛物线与直线的交点与方程的
解的关系是解题的关键.
二、填空题(共0分)
11．已知关于x的方程 ，在 内有两个不相等的实数根，则n的取值范围是
___________________________．
【答案】-7＜n≤-5
【解析】
【分析】
根据“方程有两个不相等的实数根”求出n＞-7，解出方程，根据在 内有两个不相等的实数根，求
出n的取值，问题得解．
【详解】
解：原方程整理得 ，
∴ ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴∴n＞-7，
∴
∵方程在 内有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得n≤-5，n≤11，
∴n≤-5，
又∵n＞-7，
∴-7＜n≤-5．
故答案为：-7＜n≤-5
【点睛】
本题考查了含字母系数的一元二次方程，根的判别式，综合性较强，解题的关键是用公式法求出一元二次
方程的两个根，根根据题意列出不等式．
12．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②
若两个根为x，x，且x＞x，则x＞3，x＜3；③若两个根为x，x，则（x﹣2）（x﹣2）＝（x﹣3）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
（x﹣3）；④若x＝ （p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正
2
确的结论是 _____．
【答案】①③
【解析】
【分析】
由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x＝3，x＝2，可判断②不正确；根据（x﹣2）（x﹣2）
1 2 1 2
＝﹣p2，（x﹣3）（x﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（ ）2，可判定④不正确．
1 2
【详解】
解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x，x，且x＞x，
1 2 1 2则x＝3，x＝2，这与x＞3不符合，故②不正确；
1 2 1
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x，x，则x+x＝5，x•x＝6﹣p2，
1 2 1 2 1 2
（x﹣2）（x﹣2）＝x•x﹣2（x+x）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
1 2 1 2 1 2
（x﹣3）（x﹣3）＝x•x﹣3（x+x）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
1 2 1 2 1 2
∴（x﹣2）（x﹣2）＝（x﹣3）（x﹣3），故③正确；
1 2 1 2
④∵x＝ （p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣5x+6
＝
＝
＝
＝ ，
当p为奇数时， 不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次
方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．
