文档内容
分课时教学设计
第二课时《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
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教学内容分析 《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章
21.2.4的内容,一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)，该内容是在学习了
一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，
是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
学习者分析 从学生心理特征来看，他们有一定的分析问题、归纳问题的能力。因此本节课，注
重激发学生的求知欲，让他们真正成为学习的主人。所以在教学中我抓住这些特点
一方面运用色彩绚丽的图片课件，激发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中
在课堂上;另一方面，我创造机会和条件，让学生发表见解，发挥学生学习的主动
性，充分体现新课程所倡导的以学生为本的理念。
教学目标 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.
3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核
心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
教学重点 一元二次方程根与系数关系
教学难点 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，能运用根与系数的
关系解决待定字母及代数式求值问题。
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
【提问】 学生思考，回忆回答问题
1. 一元二次方程的一般形式？
2. 一元二次方程有实数根的条件是什
么？
3. 一元二次方程的求根公式是什么？
活动意图说明：
先回顾解一元二次方程的相关知识，为本节课学生学习一元二次方程根与系数关系做好铺垫。
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：
思考： 先由学生思考，再由教师给出答案
从因式分解法可知，方程(x-x)(x-x)=0(x ，
1 2 1
x 为已知数)的两根为 x 和x ，将方程化为
2 1 2
x2+px+q=0的形式，你能看出x ，x 与p，q之
1 2
间的关系吗？
把方程(x-x)(x-x)=0的左边展开，化成
1 2
一般形式，得方程x2-(x+x)x+xx=0
1 2 1 2这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=- 学生积极回答，允许学生有不同的观点
(x+x)，常数项q=xx.
1 2 1 2 通过引导，学生得出：可以将方程10x-4.9x2=0，通
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别 过因式分解变形为：x(10-4.9x)=0。
有如下关系： (x+x)=-p，xx=q.
1 2 1 2
学生积极思考，学生板演
学生积极思考，教师引导与总结
活动意图说明：通过求解一元二次方程的过程，锻炼学生选择合适方法解一元二次方程的能力。再通
过小组讨论环节，引导学生通过观察，得出一元二次方程根与系数关系的猜想。教师通过适当引导，
培养学生解决问题的能力，激发学生的主动性和求知欲
环节三：新知探究
教师活动3: 学生活动3：
思考： 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中， 学生思考，利用求根公式解方程。
二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积
与系数又有怎样的关系呢？
-b+√b2-4ac
根据求根公式可知，x = ，
1 2a 教师通过多媒体展示具体推导过程。
-b-√b2-4ac
x =
2 2a
由此可得
-b+√b2-4ac -b-√b2-4ac -2b b
x +x = + = =-
1 2 2a 2a 2a a
-b+√b2-4ac -b-√b2-4ac
x x = ×
1 2 2a 2a
b2-(b2-4ac)
c
= =
4a2 a
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系
b c
数的关系为：x +x =- ，x x = .
1 2 a 1 2 a
活动意图说明：推导韦达定理的方法不难，但是重在学生理解推导方法。第一种推导方法是利用
求根公式，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。第二种方法已知一元二次方程两个根x 、
1
x ，先利用因式分解法将方程变形为 a(x-x)(x-x)，再通过化简得到：a[x2-(x+x)x+xx] 而
2 1 2 1 2 1 2
b c b c
ax2+bx+c=a(x2+ + )，所以a(x2+ + ) =a[x2-(x+x)x+xx]，从而得出一元二次方程两个根的和与
a a a a 1 2 1 2
积的关系。使用韦达定理需要特别注意：首先将一元二次方程化为一般式，再验证Δ是否大于等于
0。以一元二次方程根与系数的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，借此锻炼学生分析、
观察、归纳的能力。
环节四：典例精析教师活动3： 学生活动3：
例：根据一元二次方程根与系数的关 请学生板演，然后师生共同纠错
系，求下列方程两个根x，x的和与积：
1 2 b 3 c 1
解：(1)x+x =- = xx = =
(1) x2－6x－15＝0; 1 2 a 2 1 2 a 2
(2) 3x2＋7x－9＝0;
b c
(2)x+x =- =3 xx = = -8
(3) 5x－1＝4x2. 1 2 a 1 2 a
b 1 c 13
(3) x+x =- = xx = = -
1 2 a 7 1 2 a 7
例、设x x 为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
1、 2
（1）x+x= ,
1 2 答案：4,1，14,6
（2) x·x= ,
1 2
（3)
x2+x2
= ,
1 2
（4) (x +1)(x +1)= ，
1 2
活动意图说明：加深学生对因式分解法求解一元二次方程的理解与掌握。
环节四：归纳总结
教师活动4： 学生活动4：
知识拓展 先由学生尝试化简，老师最后订正归纳
常见的求值:
(1)(x +1)(x +1)=x +x +x x +1
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
(2) + = 1 2
x x x x
1 2 1 2
(3)x 2+x 2=(x +x ) 2-2x x
1 2 1 2 1 2
(4)(x -x ) 2=(x +x ) 2-4x x
1 2 1 2 1 2
步骤:1.根据方程的系数求出两根之和与两根
之积；
2. 把代数式化成只含两根之和与两根之积的
形式;
3. 代入数值进行计算.
活动意图说明：考查一元二次方程根与系数关系的题目中，利用韦达定理直接求方程的根是基础题，
通常还会遇到已知一元二次方程，求代数式值或已知式子的值求未知数的题目，本环节我们就展示如
何通过韦达定理求这些常见代数式的值，再次加深学生对一元二次方程根与系数的关系理解与掌握。
板书设计 b c
1.一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=- ，x1x2= .
a a
2.根与系数关系的应用
课堂练习 【知识技能类作业】必做题：
b a
1.已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则 + ＝（ ）
a b
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
2.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010
3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q=
.
选做题：
5.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
6.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
【综合拓展类作业】
7.已知x，x是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，
1 2
且x2 +x2 =4，求k的值.
1 2
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1.若方程3x2+6x-4=0的两个根为x ,x ,则x +x 的值为( )
1 2 1 2
A.6 B .-6 C.2 D.-2
1
2.已知x ,x 是一元二次方程 1-4x=- x2 的两个根，则x x = ，
1 2 2 1 2
x +x = 。
1 2
选做题：
3.已知关于x的一元二次方程x2-x-1=0的两根分别为x ,x ,试求下列代数式的
1 2
值：
1 1
(1) + ；(2)x 2+x 2
x x 1 2
1 2【综合拓展类作业】
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋5x－p2＝0 的两个实数根为 x，x，当 x＋
1 2 1
x＝xx时，求 p 的值．
2 1 2
教学反思 1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两
根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要
工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规
律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推
理论证的能力
3．使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能
力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教
师应注意引导。
