21.2.4一元二次方程的根与系数的关系_人教版数学九年级上册_版本二_九年级数学上册（人教版）_导学案_导学案多套_导学案

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系. 难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 自 主 学 习 一、知识链接 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？ 课 堂 探 究 二、要点探究 探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 算一算 解下列方程并完成填空. (1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0. 想一想 方程的两根x ，x 与系数a，b，c有什么关系？ 1 2 两根 一元二次方程 关系 x x 1 2 x2+3x－4=0 x2－5x+6=0 2x2+3x+1=0 猜一猜 1. 若一元二次方程的两根为 x ，x ，则有 x－x =0，且 x－x =0，那么方程(x－x )(x－ 1 2 1 2 1 x )=0(x ，x 为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x ，x 与p， 2 1 2 1 2 q之间的关系吗？ 2.通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x 、 x ，那么，你 1 2 可以发现什么结论？ 要点归纳：一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 、 x ，那么 ， .(前提条件是b2－ 1 2 4ac≥0)探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 典例精析 例1 (教材P16例4)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2. 方法总结：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入 a、b、c的值即可. 例2 已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 变式题 已知方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和. 练一练 设x ，x 为方程x2－4x+1=0的两个根，则： 1 2 (1) ， (2) ， (3) ， (4) . 方法总结：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和， 两根之积的形式，再整体代入. 例4 设x ，x 是方程 x2 －2(k － 1)x + k2 =0 的两个实数根，且 4，求k的值. 1 2 方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程 有两实数根的条件，即所求的字母应该满足△≥0. 三、课堂小结 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 根与系数的关系的内容 为x 、 x ，那么 ， . 1 2 根与系数的关系的应用当堂检 测 1已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q= . 2.如果－1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = . 3.已知方程 3x2－19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 4.已知x ，x 是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x +1)(x +1)=4； 1 2 1 2 (1)求k的值； (2)求(x －x )2的值. 1 2 5.设x ，x 是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值. 1 2 (1) (x + 1)(x + 1)； (2) 1 2 拓展提升 6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根差为1. 7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m -2=0 (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围. (2)若方程两根x ，x 满足|x -x |= 1 求m的值. 1 2 1 2 参考答案自主学习 一、知识链接 当 ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 1. . 2.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0时，方程无实数根. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 想一想 两根 关系 一元二次方程 x x 1 2 x2+3x－4=0 -4 1 x +x =-3，x ·x =-4 1 2 1 2 x2－5x+6=0 3 2 x +x =5，x ·x =6 1 2 1 2 2x2+3x+1=0 -1 x +x = ，x ·x = 1 2 1 2 猜一猜 1.方程(x－x )(x－x )=0(x ，x 为已知数)的两根是x=x 或x=x . 1 2 1 2 1 2 (x－x )(x－x )=x2-(x +x )x+x x =0,x +x =-p，x x =q. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2.x +x = ，x x = . 1 2 1 2 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 典例精析 例1 解：（1）这里 a=1 , b= – 6 , c= – 15 .Δ = b2- 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程 有两个实数根.设方程的两个实数根是x ，x ，那么x + x = –( – 6 ) =6，x x = – 15 . 1 2 1 2 1 2 （2）这里a = 3 , b =7, c = -9.Δ=b2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实 数根. 设方程的两个实数根是x ，x ，那么x + x = ， x x = . 1 2 1 2 1 2 （3）方程可化为4x2 – 5x +1 =0，这里 a =4， b = – 5，c = 1.Δ = b2 - 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x ， x ，那么 x + x = 1 2 1 2 ， x x = 1 2例2 解：设方程的两个根分别是x ，x ，其中x =2 . 所以x x =2x = 即x = 由于 1 2 1 1 2 2 2 x + x =2+ = 得k=－7.答：方程的另一个根是 k=－7. 1 2 变式题 解：设方程的两个根分别是x ，x ，，其中x =1.所以x + x =1+ x =6，即 x =5 . 1 2 1 1 2 2 2 由于x x =1×5= 得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15. 1 2 例3 解：根据根与系数的关系可知： （1）∵ ∴ （2） 练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12 例4 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0，即 -8k + 4 ≥ 0.由根与 系数的关系得x + x = 2(k -1) , x x =k 2.∴ = 4(k -1)2 -2k2 1 2 1 2 = 2k2 -8k + 4.由 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4，解得 k = 0， k = 4 .经检验， k = 1 2 2 4 不合题意，舍去.所以k=0. 当堂检测 1.1 -2 2. -3 3.解：将 x = 1 代入方程中 3 -19 + m = 0.解得 m = 16，设另一个根为 x ，则 1 4.解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1= 解得k=-7； 1 2 1 2 1 2(2) 因 为 k=-7, 所 以 则 5. 解：根据根与系数的关系得 （1）(x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1= 1 2 1 2 1 2 （2） 拓展提升 6.解：设方程两根分别为x ，x （x ＞x ），则x -x =1.由根与系数的关系，得 1 2 1 2 1 2 7. 解 ： （ 1 ） 方 程 有 实 数 根 ， 所 以 Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m· （ m-2 ） =4m2- 4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0. （2）∵方程有实数根x ，x ， 1 2 解得m=8.经检验，m=8是方程的 解.