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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.
难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
自 主 学
习
一、知识链接
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空.
(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.
想一想 方程的两根x，x 与系数a，b，c有什么关系？
1 2
两根
一元二次方程 关系
x x
1 2
x2+3x－4=0
x2－5x+6=0
2x2+3x+1=0
猜一猜
1. 若一元二次方程的两根为x，x，则有x－x=0，且x－x=0，那么方程(x－x)(x－x)=0(x，x 为已知数)的两
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根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x，x 与p，q之间的关系吗？
1 2
2.通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x、 x，那么，你可以发现什么结论？
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要点归纳：一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x、 x，那么 ， .(前提条件是b2－4ac≥0)
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探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
典例精析
例1 (教材P16例4)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.
第 1 页 共 5 页方法总结：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.
例2 已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
变式题 已知方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.
练一练 设x，x 为方程x2－4x+1=0的两个根，则：
1 2
(1) ， (2) ，
(3) ， (4) .
方法总结：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，
再整体代入.
例4 设x，x 是方程 x2 －2(k － 1)x + k2 =0 的两个实数根，且 4，求k的值.
1 2
方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，
即所求的字母应该满足△≥0.
三、课堂小结
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
根与系数的关系的内容
为x、 x，那么 ， .
1 2
根与系数的关系的应用
当堂检
测
1已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q= .
2.如果－1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = .
3.已知方程 3x2－19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
第 2 页 共 5 页4.已知x，x 是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x+1)(x+1)=4；
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(1)求k的值； (2)求(x－x)2的值.
1 2
5.设x，x 是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值.
1 2
(1) (x + 1)(x + 1)； (2)
1 2
拓展提升
6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根差为1.
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m -2=0
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程两根x，x 满足|x-x|= 1 求m的值.
1 2 1 2
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.当 ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为
.
第 3 页 共 5 页2.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数
根.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
想一想
两根 关系
一元二次方程
x x
1 2
x2+3x－4=0 -4 1 x +x =-3，x ·x =-4
1 2 1 2
x2－5x+6=0 3 2 x +x =5，x ·x =6
1 2 1 2
2x2+3x+1=0 -1 x +x = ，x ·x =
1 2 1 2
猜一猜
1.方程(x－x)(x－x)=0(x，x 为已知数)的两根是x=x 或x=x.
1 2 1 2 1 2
(x－x)(x－x)=x2-(x+x)x+xx=0,x+x=-p，xx=q.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2.x+x= ，xx= .
1 2 1 2
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
典例精析
例1 解：（1）这里 a=1 , b= – 6 , c= – 15 .Δ = b2- 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设
方程的两个实数根是x，x，那么x + x = –( – 6 ) =6，x x = – 15 .
1 2 1 2 1 2
（2）这里a = 3 , b =7, c = -9.Δ=b2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x，x，那么x + x = ， x x = .
1 2 1 2 1 2
（3）方程可化为4x2 – 5x +1 =0，这里 a =4， b = – 5，c = 1.Δ = b2 - 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴
方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x， x，那么x + x = ， x x =
1 2 1 2 1 2
例2 解：设方程的两个根分别是x，x，其中x=2 . 所以x x =2x= 即x = 由于x + x=2+
1 2 1 1 2 2 2 1 2
= 得k=－7.答：方程的另一个根是 k=－7.
变式题 解：设方程的两个根分别是x，x，，其中x=1.所以x + x=1+ x=6，即 x=5 .
1 2 1 1 2 2 2
由于x x=1×5= 得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.
1 2
例3 解：根据根与系数的关系可知：
第 4 页 共 5 页（1）∵ ∴
（2）
练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12
例4 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0，即 -8k + 4 ≥ 0.由根与系数的关系得x +
1
x = 2(k -1) , x x =k 2.∴ = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.由 4，得
2 1 2
2k2 - 8k + 4 = 4，解得 k= 0， k = 4 .经检验， k = 4 不合题意，舍去.所以k=0.
1 2 2
当堂检测
1.1 -2 2. -3
3.解：将x = 1代入方程中3 -19 + m = 0.解得m = 16，设另一个根为x，则
1
4.解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x+1)(x+1)=xx+(x+x)+1= 解得k=-7；
1 2 1 2 1 2
(2)因为k=-7,所以 则
5. 解：根据根与系数的关系得
（1）(x+1)(x+1)=xx+(x+x)+1=
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（2）
拓展提升
6.解：设方程两根分别为x，x（x＞x），则x-x=1.由根与系数的关系，得
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7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m（· m-2）=4m2-4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m的取值范围为
m＞0.
（2）∵方程有实数根x，x，
1 2
解得m=8.经检验，m=8是方程的解.
第 5 页 共 5 页
