文档内容
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式的概念与性质
例题练习题答案
例1 判断下列根式是不是二次根式：
−−−
√−3
( 1 ) ；
【答案】 ×
−−−−
√|−3|
( 2 ) ；
【答案】 √
−−−−−
( 3 )
√(−3)3
；
【答案】 ×
–
√38
( 4 ) ；
【答案】 ×
−−−
√−a
( 5 ) ；
【答案】 ×
−−−
−2
( 6 ) √
−3；
【答案】 √
−−−−−−−
√−a2 −1
( 7 ) ；
【答案】 ×
−−−−−−−−−
√a2 +2a+1
( 8 ) .
【答案】 √
−−−−−
例2 若二次根式 √3−x 有意义，则x的取值范围是________．
【答案】x≤3
−−−−−
【解析】解：∵二次根式√3−x有意义，
∴3−x≥0，
解得：x≤3．
−−−−−
练2.1 若式子 √2x−4 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x≠2
A：
x≥2
B：
x≤2
C：
x≠−2
D：
【答案】B
−−−−−
【解析】解：∵√2x−4在实数范围内有意义，
∴2x−4≥0，x≥2
解得： ，
∴x的取值范围是： x≥2 ．
−−−−−
例3 已知实数m、n满足 |n−2|+√m+1=0 ，则 m+2n 的值为_____．
【答案】3
n−2=0 m+1=0
【解析】由题意可知： ， ，
m=−1 n=2
∴ ， ，
m+2n=−1+4=3
∴ ，
故答案为：3
−−−−−
练3.1 若 √2x+1+(y+3)2 =0 ，则 x−y = ________．
5
【答案】
2
−− −−−
例4 若 √a 和 √−a 都有意义，则a应满足的条件是（ ）
a≥0
A：
a≤0
B：
a=0
C：
a≠0
D：
【答案】C
−− −−−
练4.1 若 √x +√−x+4 =y ，则y的算术平方根为（ ）
A： 2
−2
B：
±2
C：
D： 4
【答案】A
例5 计算：
−−−−−−−
1 2 − 1 − 2
√(− ) (√ )
（1） 5 ； （2） 2 ；
−−−−−− −− 2
√(3−π )2 (√a2)
（3） ； （4） ．
1 1
【答案】(1) (2) (3) π−3 (4) a2
5 2
例6 化简下列各式：
−− −−−
√18 √320
（1） ； （2） ．
– –
3√2 8√5
【答案】（1） （2）
练6.1 化简下列各式：
−− −−
√32 √72
（1） ； （2） ．
– –
4√2 6√2
【答案】（1） （2）例7 化简下列各式：
−−− −−
50 2
√ √
（1） 81； （2） 3；
−−−
12 1
√
（3） 7 ； （4） √5 –．
– – −− –
5√2 √6 2√21 √5
【答案】（1） （2） （3） （4）
9 3 7 5
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式的概念与性质
自我巩固答案
1 下列各式中不是二次根式的为（ ）
−−−−−
√ b2+1
A：
−−
B：
√a(a<0)
–
√0
C：
−−−−−−
D：
√(a−b)2
【答案】B
2 下列式子中二次根式的个数有（ ）
−−−−−−−
−−
1 −−− −−−−− 1 2
√ √−3 −√x2 +1 38 √(− )
（1） 3；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 3 ；（6）
−−−−− −−−−−−−−−
√1−x(x>1) √x2 +2x+3
；（7） ．
2
A： 个
3
B： 个
4
C： 个
5
D： 个
【答案】C
−−−−−
3 若 √2a+3 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
3
A： a≥−
2
3
B： a≤−
2
3
C： a>−
2
3
D： a<−
2
【答案】A
−−−−−
【解析】解：√2a+3在实数范围内有意义，则2a+3≥0，3
a≥−
解得： ．
2
−−−−−
4 已知 √x−2y+|y−1|=0 ，则 x+y 的值是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
【答案】C
−− −−−
5 已知 y =√x +√−x+2 ，则 y =________ ．
【答案】2
−−−−
6 已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足
|a−6|+√b−8=0
，那么这个三角形的最大
边c的取值范围是（ ）
A： c＞8
8 ≤c<14
B：
C： 6＜c＜8
D： 2＜c＜14
【答案】B
−−−−−
7 若 a 、 b 为实数，且 √2a−1+|b+1|=0 ，则 a2 +b2015 的值是________．
3
【答案】−
4
8 下列属于最简二次根式的是（ ）
–
√8
A：
–
√5
B：
–
√4
C：
−−
1
D： √
3
【答案】B
9 下列根式是最简二次根式的是（ ）
1
A： –
√2
−−
√50
B：
−−
2
C： √
7
−−
√22
D：
【答案】D10 在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.
−−
√45
(1)
−− –
√45 =3√5
【答案】 ，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
−−
1
(2)√
3
−− –
1 √3
【答案】√ =
，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
3 3
–
√5
(3)
2
–
√5
【答案】
，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二
2
次根式．
−−−
√0.5
(4)
−− –
−−− 1 √2
【答案】√0.5 =√ =
，在二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式．
2 2
−−−
4
(5)√1
5
−−− −− –
4 9 3√5
【答案】√1 =√ =
，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
5 5 5
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式的概念与性质
课堂落实答案
1 下列各式中① √ − 1 − 5 、② √ − b − 2 − − −− 4 、③ √ − x − 2 − + −− 1 − 6 、④ √ − x − 2 − + −− 6 − x − + −− 9 、⑤ √ − − − 1 − 2 − 1 ，一定是二
次根式的是____________．
【答案】①③④
−−−−
2 若实数 x 、 y 满足 |x−2|+√y+5 =0 ，则xy的值是（ ）
A： 10
B： 3
C： 7
−10
D：
【答案】D
−−−−
3 已知 √4−a+(b−5)2 =0 ，则 a+b 的算术平方根为（ ）
3
A：−3
B：
9
C：
−3 3
D： 或
【答案】A
4 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
–
√8
A：
−−
√10
B：
−−
√12
C：
−−
√27
D：
【答案】B
5 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
−−−
√12a
A：
−−−
1
B： √1
3
–
√2
C：
−−−−−
√3m2n3
D：
【答案】C
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式的概念与性质
精选精练
1 下列各式中① √ −− a 、② √ − b − + −− 1 、③ √ − a − 2 、④ √ − a − 2 − + −− 3 、⑤ √ − x − 2 − − −− 1 、⑥ √ − x − 2 − + −− 2 − x − + −− 1 ，
一定是二次根式的有（ ）
1
A： 个
2
B： 个
3
C： 个
4
D： 个
【答案】C
−−−−−
2 已知 x 、 y 是实数，若 √3x+4+y2−6y+9 =0 ，则 3x−y 的值是（ ）
1
A：
4
−7
B：−1
C：
7
D： −
4
【答案】B
−−−−
3 若 |3x−3| 和 √y−4 互为相反数，求 4x+3y 的平方根．
−−−−
【答案】因为
|3x−3| 和√y−4
互为相反数，
3x−3=0
{
则 ，
y−4=0
x=1
{
解得 ，
y =4
4x+3y 4x+3y ±4
则 =16，即 平方根为 ．
– −−−− −−−
4 若实数 a 、 b 、 c 满足 |a−√2|+√b−2=√c+√−c ，求 a 、 b 、 c ．
– −−−−
a−√2=0 √b−2 =0 c =0
【答案】由题意得： ， ，
–
a=√2 b=2 c =0
∴ ， ，
5 下列各式中，最简二次根式是（ ）
−−
√27
A：
−−−−−
√m5n2
B：
−−
1
C： √
2
–
√6
D：
【答案】D
6 把下列二次根式化为最简二次根式：
−−−
−−−− 9b2
√1200 √
（1） ； （2） 2a ．
−−
–
3|b|√2a
【答案】 20√3
（1） （2）
2a
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 二次根式的运算
例题练习题答案
例1 计算：
−−
−− 1
√20 ×√
（1） 2;
−−−− −−−−
−2√0.27×√0.03
（2） ;
−−
√14
（3） – ;
√2
−−−
−−− 1
√2.5÷√
（4） 20．
−−
√10
【答案】（1） ；−0.18
（2） ；
–
√7
（3） ；
–
5√2
（4） ．
练1.1 下列选项计算不正确的是（ ）
– −− –
√6×√12 =6√2
A：
−−
−− 1
B： √18 ×√ =3
3
−− –
√36 ÷√9 =2
C：
−−
√21 –
D：
–
=√3
√7
【答案】B
例2 计算：
−− −− −−
2 7 3
−√ ×√ ×√
（1） 7 6 5；
−−
– 4 −−
2√5×√ ÷(−√15)
（2） 3 ．
–
√5 4
【答案】（1） − （2） −
5 3
练2.1 下列计算中，错误的是（ ）
– –
16÷2√2×√2 =8
A：
–
−− – – √6
B： √10 ÷3√5×√3 =
3
−−− −−− −−
2 1 – √15
C： √1 ÷√1 ×√5 =
3 4 3
−− – – –
√12 ×√5÷√3 =2√5
D：
【答案】C
–
例3 下列二次根式中，与 √5 是同类二次根式的是（ ）
−−
√25
A：
−−
1
B： √
5
−−
√10
C：
−−
√50
D：
【答案】B
−−−− −−−−−
例4 若最简二次根式 3b√−1a+2 与 √4b−a 是同类二次根式，则 a= ______， b= _______．
【答案】1，1
−−−−− −−−−−
【解析】∵最简二次根式
3b√−1a+2与 √4b−a是同类二次根式，
∴3b−1=2，a+2=4b−a
解得，a=1，b=1，
故答案为：1，1．−− −−−−−
练4.1 若 √75 与最简二次根式 √m+1 是同类二次根式，则m的值为（ ）
A： 7
B： 11
C： 2
D： 1
【答案】C
例5 计算：
−− –
√12 +√3
(1) ；
−−−− –
=√4×3+√3
【答案】 – –
=2√3+√3
–
=3√3
−−
– 1
(2)√8+√
；
8
–
– √2
【答案】 =2√2+
4
–
9√2
=
4
−− −−
√80 −√45
(3) ；
– –
=4√5−3√5
【答案】
–
=√5
−− −−
√75 −√12
(4) ．
– –
=5√3−2√3
【答案】 –
=3√3
练5.1 计算：
−− –
√18 +4√2
(1) ；
– –
=3√2+4√2
【答案】 –
=7√2
−− –
√98 −√8
(2) ．
– – –
=7√2−2√2=5√2
【答案】
练5.2 下列计算正确的是（ ）
– – –
√2+√3 =√5
A：
– – –
2√2−√2 =√2
B：
−− –
√18 ÷√3 =3
C：
– – –
√2×(−√3)=√6
D：
【答案】B– –
√2+√3
【解析】解：A、 无法计算，故此选项错误；
– – –
2√2−√2=√2
B、 ，故此选项正确；
−− – –
√18 ÷√3=√6
C、 ，故此选项错误；
– – –
√2×(−√3)=−√6
D、 ，故此选项错误．
例6 计算：
−− – −− −−
√50 +2√8−3√12 +√27
(1) ；
– – – –
=5√2+4√2−6√3+3√3
【答案】
– – – –
=(5√2+4√2)+(−6√3+3√3)
– –
=9√2−3√3
−−
−− 1 −−
(2)2√12 −6√ +3√48
3 ．
– – –
=4√3−2√3+12√3
【答案】 –
=14√3
练6.1 计算：
−−
−− – 1
(1)√12 −√3+√
3；
–
– – √3
【答案】 =2√3−√3+
3
–
4√3
=
3
−−
−− −− 1
(2)3√20 −√45 +√
5．
–
– – √5
【答案】 =6√5−3√5+
5
–
16√5
=
5
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 二次根式的运算
自我巩固答案
1 下列式子中，不正确的是（ ）
−− – –
√14 =√2×√7
A：
−− – –
√15 =√3×√5
B：
−− –
3 √3
C： √ =
–
8 √8
−− −− −−
5 2 3
D： √ =√ ×√
6 3 2
【答案】D−−− −−−
2 5
2 −√1 ÷√
计算 3 72，结果正确的是（ ）
–
−3√6
A：
–
−3√2
B：
–
3√2
C：
–
−2√6
D：
【答案】D
3 下列计算中，错误的是（ ）
– –
18÷3√2×2√2 =12
A：
–
−− – −− 5√6
B： √20 ÷3√2×√15 =
3
−−− −−−
3 2 −−
C： √1 ÷√1 ×√10 =5
4 5
−− −− – −−
√24 ×√15 ÷√6 =2√15
D：
【答案】C
–
4 下列二次根式中，与 3√2 是同类二次根式的是（ ）
−−
3
A： √
2
–
√3
B：
–
√8
C：
−−
√12
D：
【答案】C
−−−−− −−−−−−
5 如果最简二次根式 √3a−8 与 √17−2a 能够合并，那么 a 的值为（ ）
2
A：
3
B：
4
C：
5
D：
【答案】D
−−−−− −−−−−
6 若最简二次根式 √7a+b 与 b√+36a−b 是同类二次根式，则 a+b 的值为（ ）
A： 2
−2
B：
−1
C：
D： 1
【答案】D−−
1 1 –
7 √ +(− √2)
化简 2 2 的结果是（ ）
1
A：
−1
B：
2
C：
0
D：
【答案】D
8 计算：
– −−
√5−√20
（1） ；
−− −−
√28+√63
（2） ．
– –
−√5 5√7
【答案】（1） ；（2） ．
9 计算：
−−
−− 1 1 −−
√27 −15√ + √48
（1） 3 4 ；
−− – –
(√50 −√8)+√2
（2） ．
– – – –
【答案】（1）原式=
3√3−5√3+√3=−√3；
– – – –
（2）原式=
(5√2−2√2)+√2=4√2．
−−
−− 1 −− –
10 √45 −3√ +√12 +√4
计算： 3 ．
– – –
=3√5−√3+2√3+2
【答案】原式
– –
=3√5+√3+2
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 二次根式的运算
课堂落实答案
−− –
1 计算 √24 ×√3 的结果为（ ）
A： 6
–
6√2
B：
−−
√72
C：
–
3√8
D：
【答案】B
−−− −−−
2 5
2 −√1 ÷√
计算 3 96的结果正确的是（ ）
–
−3√6
A：–
−4√2
B：
–
4√2
C：
–
−2√6
D：
【答案】B
−−−− −−−−−
3 如果最简二次根式 √1+a 与 √4a−2 能合并，那么 a= _____．
【答案】1
1+a=4a−2
【解析】根据题意得， ，
3a=3
移项合并，得 ，
a=1
系数化为1，得 ．
故答案为：1．
−−
−− 2
4 √24 +9√
计算 3的结果是（ ）
–
5√6
A：
–
−√6
B：
4 –
C： − √6
3
4 –
D： √6
3
【答案】A
5 计算：
−−
−− – 1
√18 −√8+√
（1） 8；
−−
−− 1
√27 −6√
（2） 3．
–
– – √2
【答案】
（1）原式
=3√2−2√2+
4
5 –
= √2
4
– –
=3√3−2√3
（2）原式
–
=√3
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 二次根式的运算
精选精练
1 如果 ab>0 ， a+b<0 ，那么下面各式：
−− −− −− −− −−
a √a a b −− a
√ = √ ×√ =1 √ab ÷√ =−b
① b √b ，② b a ，③ b ，其中正确的是（ ）
A： ①②
B： ②③C： ①③
D： ①②③
【答案】B
ab>0 a+b<0
【解析】解：∵ ， ，
a<0 b<0
∴ ，
−− −−
a √a
①√ = ，被开方数应 ≥0 ， a ， b 不能做被开方数， ( 故①错误 ) ，
b √b
−− −− −− −− −−−−−−
a b a b a b –
②√ ⋅√ =1 ，√ ⋅√ =√ × =√1=1 ， ( 故②正确 ) ，
b a b a b a
−− −− −−
−− a −− a −− √ab −− −b
③
√ab ÷√ =−b
，
√ab ÷√ =√ab ÷ =√ab ×
−−
=−b
，
(
故③
b b −b √ab
)
正确 ．
故选：B．
2 √ − 1 − 2 × √3 – ÷√3 – √ − 4 − 5 ÷√ − 6 − ×√ − 1 −− 2 ×(√ − 1 − ) 3
（1） 4 （2） 5 3 3
−−− −−−
b −−− a2
√ ÷√ab2 ×√ a>0 b>0
（3） 2a 2b （ ， ）
– −−
√3 5√30 1
【答案】
（1） （2） （3）
2 18 2b
−−
3 下列各式中，与 √a 是同类二次根式的是（ ）
−−
√2a
A：
−−−
√3a2
B：
−−
C：
2√a
−−
√a4
D：
【答案】C
4 下列运算正确的是（ ）
−− −− –
A：
√x +√2x =√3x
– –
3√3−2√3 =1
B：
– –
2+√5 =2√5
C：
−− −− −−
D：
m√x −n√x =(m−n)√x
【答案】D
5 下列计算错误的是（ ）
– –
3√2−√2 =3
A：
−− – –
√60 ÷√5 =2√3
B：
−−− −− −−
C：
√25a+√9a =8√a
−− – –
√14 ×√7 =7√2
D：
【答案】A–
【解析】A、原式 =2√2 ，所以A选项的计算错误；
−−−−− –
B、原式 =√60÷5=2√3 ，所以B选项的计算正确；
−− −− −−
C、原式 =5√a +3√a =8√a ，所以C选项的计算正确；
−−−−− –
D、原式 =√14×7=7√2 ，所以D选项的计算正确．
故选：A．
6 计算：
−−
– −− −− – 1 −− −− −−
√3+√27 −√12 2√8−6√ +√12 −(√18 −√27)
（1） ； （2） 3 ．
– – –
2√3 √2+3√3
【答案】（1） （2）
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 勾股定理初步
例题练习题答案
例1 在 Rt△ABC 中， ∠C =90∘ ， a=8 ， c=17 ，则 b 的长是（ ）
A： 25
B： 12
C： 15
D： 13
【答案】C
练1.1 等腰三角形的底边长为24，底边上的高为5，它的腰长为（ ）
A： 10
B： 11
C： 12
D： 13
【答案】D
【解析】解：如图所示，
∵△ABC是等腰三角形，且 AB=AC ，AD是底边BC的高，
1 1
BD= BC = ×24=12
∴ ，
2 2
−−−−−−−−−− −−−−−−−
∴AB=√AD2+BD2 =√52+122 =13．
练1.2 如图，在△ABC中， AD⊥BC 于点D， AB =17 ， BD=15 ， DC =6 ，则AC的长为
（ ）A： 11
B： 10
C： 9
D： 8
【答案】B
例2 若一个直角三角形的两边长为12，13，则第三边长为（ ）
A： 5
B： 17
C： 5或17
−−−
√313
D： 5或
【答案】D
练2.1 直角三角形中两边长为8，15，第三边长为____________．
−−−
√161
【答案】17或
【解析】解：①8和15均为直角边，则第三边为17．
−−−
√161
②15为斜边，8为直角边，则第三边为 ，
−−−
√161
故答案为17或 ．
练2.2 直角三角形的三边长分别是5，4，x，则 x2 = ____________．
【答案】41或9．
【解析】解：（1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
42+52 =x2
，所以
x2 =41
；
（2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： 42+x2 =52 ，所以 x2 =9 ．
例3 下列选项中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，图中字母所代表的正方形
的面积为144的选项为（ ）
A：
B：C：
D：
【答案】C
A A=400−225 =175
【解析】解： 、根据题意得： ，不合题意；
B B=225+400 =625
、根据题意得： ，不合题意；
C C =256−112 =144
、根据题意得： ，符合题意；
D D=400−120 =280
、根据题意得： ，不合题意，
C
故选： ．
练3.1 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面
积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（ ）
A： 9
B： 18
C： 27
D： 45
【答案】A
练3.2 如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中最大
的直角三角形两直角边长分别为2，3，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）
A： 13
B： 26
C： 47
D： 94【答案】A
例4 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
– –
√2 √2
A： 1， ，
B： 6，8，10
C： 4，5，9
D： 5，12，18
【答案】B
【解析】B选项中，6,8,10属于经典勾股数组.
练4.1 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1） 3 ，4，5；（2） 5 ，12，13；（3） 8 ，15，17；
32 42 52
（4） ， ， ，其中能构成直角三角形的有（ ）
A： 4组
B： 3组
C： 2组
D： 1组
【答案】B
练4.2 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A： 3，4，5
B： 7，24，25
C： 8，15，17
D： 5，7，9
【答案】D
−−−−−−−−−−
例5 已知a，b，c是△ ABC 的三边长，且满足关系式 √ c2−a2 −b2 +|a−b|=0 ，则△ABC的形
状为__________．
【答案】等腰直角三角形
−−−−−−−−−−
∵√c2−a2−b2 +|a−b|=0
【解析】解： ，
∴c2−a2−b2 =0 a−b=0
，且 ，
∴c2 =a2+b2 a=b
，且 ，
ΔABC
则 为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
−−−−−−
练5.1 △ABC的三边a，b，c满足 (a−13)2+|b−12|+√2c−10 =0 ，则△ABC为（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 等边三角形D： 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】解：
∵(a−13)2+|b−12|+√ − 2 − c − − −− 1 − 0 =0
，
∴a−13=0 b−12=0 2c−10=0
， ， ，
a=13 b=12 c =5
解得， ， ， ，
c2+b2 =52+122 =169 a2 =169
， ，
c2+b2 =a2
则 ，
∴ΔABC
为直角三角形，
A
故选： ．
练5.2 三角形的三边长为 a ， b ， c ，且满足 (a+b)2 =c2+2ab ，则这个三角形是（ ）
A： 等边三角形
B： 钝角三角形
C： 直角三角形
D： 锐角三角形
【答案】C
例6 在△ABC中，D是BC上一点， AB =10 ， BD=6 ， AD=8 ， AC =17 ，求△ABC的面积．
AB=10 BD=6 AD=8
【答案】解：∵ ， ， ，
∴
BD2
+AD
2
=6
2
+8
2
=10
2
=AB
2
，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，
∵AC=17，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
∴CD= √AC2 −AD2 =√172−82 =15
∴BC=BD+CD=6+15=21，
BC ⋅AD 21×8
∴S
ΔABC
=
2
=
2
=84．
【解析】根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾
股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
练6.1 如图， AD=13 ， BD=12 ， ∠C =90∘ ， AC =3 ， BC =4 ．则阴影部分的面积
=
_________．
【答案】24
−−−−−−−−−−
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=√AC2 +BC2 =5，
∵AD=13，BD=12，
∴AB2+BD2 =AD2 ，即可判断△ABD为直角三角形，1 1
= AB×BD− AC ×BC =30−6=24
阴影部分的面积 ．
2 2
答：阴影部分的面积=24．
故答案为：24．
练6.2 如图，四边形 ABCD 中， ∠B =90∘ ， ∠ACB =30∘ ， AB =2 ， CD=3 ， AD=5 ．
AC⊥CD
（1）求证： ；
ABCD
（2）求四边形 的面积．
Rt△ABC ∠B=90∘ ∠ACB=30∘ AB=2
【答案】（1）证明：在 中， ， ， ，
AC =2AB=4
∴ ，
△ACD AC =4 CD=3 AD=5
在 中， ， ， ，
42+32 =52 AC2 +CD2 =AD2
∵ ，即 ，
∠ACD=90∘
∴ ，
AC⊥CD
∴ ；
Rt△ABC ∠B=90∘ AB=2 AC =4
（2）解：在 中， ， ， ，
−−−−−− –
BC =√42−22 =2√3
∴ ，
1 1 – –
Rt△ABC AB⋅BC = ×2×2√3=2√3
∴ 的面积为 ，
2 2
1 1
又∵Rt△ACD的面积为 AC ⋅CD= ×4×3=6，
2 2
–
ABCD 2√3+6
∴四边形 的面积为： ．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 勾股定理初步
自我巩固答案
1 一直角三角形两直角边长分别为3和4，则下列说法不正确的是 ( )
A： 斜边长是25
B： 斜边长是5
C： 面积是6
D： 周长是12
【答案】A
–
2 若直角三角形的两条边的长分别为 √3 和2，则该直角三角形第三边的长为 ( )
A： 1
–
√7
B：
C： 5–
√7
D： 1或
【答案】D
−−−−−−−−−
–
=√22−(√3)2 =1
【解析】当2是斜边长时，由勾股定理得，另一条直角边 ，
−−−−−−−−−
– –
=√22+(√3)2 =√7
当2是直角边时，由勾股定理得，斜边长 ，
–
∴ √7
该直角三角形第三边的长为1或 ，
3 若一直角三角形两边长分别为 12 和 5 ，则第三边长为（ ）
13
A：
−−−
13 √119
B： 或
13 15
C： 或
15
D：
【答案】B
4 若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（ ）
A： 6
B： 7
C： 9
D： 12
【答案】D
【解析】解：如图：
AB=AC =13 BC =10
， ．
ΔABC AB=AC AD⊥BC
中， ， ；
1
∴BD=DC = BC =5
；
2
RtΔABD AB=13 BD=5
中， ， ；
−−−−−−−−−− −−−−−−−
AD=√AB2−BD2 =√132−52 =12
由勾股定理，得： ．
D
故选： ．
5 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正
方形A，B，C，D的边长分别是 3 ， 5 ， 2 ， 3 ，则最大正方形E的面积是（ ）
A： 13B： 26
C： 47
D： 89
【答案】C
【解析】设中间两个正方形的边长分别为x,y,最大正方形E的边长为Z，则由勾股定理得：
x2 =32+52 =34
y2 =22+32 =13
z2 =x2+y2 =47
即最大正方形的面积为47
6 如图，在锐角三角形ABC中，高 AD=12 ，边 AC =13 ， BC =14 ，求AB的长．
【答案】解：如图：
∵ AD=12 AC =13
高 ，边 ，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
∴ CD=√AC2 −AD2 =√132−122 =5
由勾股定理得， ，
∵BC =14
，
∴BD=14−5=9
，
−−−−−−−−−− −−−−−−−
RtΔABD AB=√AD2+BD2 =√122+92 =15
在 中， ．
7 △ABC的三边分别为 a=1.2 cm， b=1.6 cm， c=2 cm，则 ∠C 是（ ）
A： 锐角
B： 直角
C： 钝角
D： 以上三种都有可能
【答案】B
– –
8 如果一个三角形的三边分别为1， √2 ， √3 ，则其面积为（ ）
–
√2
A：
–
√2
B：
2
–
√3
C：
2
–
√6
D：
2
【答案】B−−−− –
9 已知三角形三边分别为 a ， b ， c ，且满足 |a−2|+√b−2+(c−2√2)2 =0 ，此三角形的形
状是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰直角三角形
C： 等边三角形
D： 钝角三角形
【答案】B
–
10 如图，在△ABC中， AB =4 ， BC =√5 ，点 D 在 AB 上，且 BD=1 ， CD=2 ．
CD⊥AB
（1）求证： ；
AC
（2）求 的长．
–
∵ ΔBCD BD=1 CD=2 BC =√5
【答案】（1） 在 中， ， ， ，
–
∴BD2+CD2 =12+22 =(√5)2 =BC2
，
∴ΔBCD ∠CDB=90∘
是直角三角形，且 ，
∴CD⊥AB
；
∵CD⊥AB
（2） ，
∴∠ADC =90∘
，
∵AB=4 DB=1
， ，
∴AD=3
，
RtΔACD ∵CD=2
在 中， ，
−−−−−−−−−− −−−−−− −−
∴AC =√AD2+CD2 =√32+22 =√13
，
−−
∴AC √13
的长为 ．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 勾股定理初步
课堂落实答案
∘
1 在 Rt△ABC 中, ∠C =90 , AB =2 , BC =1 ,则 AC 的长为（ ）
1
A：
–
√3
B：
–
√5
C：
3
D：【答案】B
2 已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（ ）
A： 9
B： 12
C： 15
D： 18
【答案】B
3 已知直角三角形的两边长为3，4，则另一条边长是________．
–
√7
【答案】 或5
−−−−−− –
√42−32 √7
【解析】解：（1）当边长为4的边为斜边时，另一条边长为 = ；
−−−−−−
√42+32
（2）当边长为4的边为直角边时，另一条边长为 =5，
–
√7
故另一条边长是 或5．
–
√7
故答案为： 或5．
4 如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 64
【答案】D
【解析】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
所以A=289-225=64．
故选：D．
5 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
a=1.5 b=2 c=3
A： ， ，
a=7 b=24 c=25
B： ， ，
a=6 b=8 c=10
C： ， ，
a=3 b=4 c=5
D： ， ，
【答案】A能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 勾股定理初步
精选精练
1 如图，以直角三角形 a ， b ， c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四
S +S =S
种情况的面积关系满足 1 2 3的图形个数为（ ）
1
A：
2
B：
3
C：
4
D：
【答案】D
2 如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为6，C的边长为
4，则正方形B的面积为__________．
【答案】52【解析】解：如图，∵根据正方形的性质得：DF=FG，∠DEF=∠GHF=∠DFG=90°，
∴∠EDF+∠DFE=90°，∠DFE+∠GFH=90°，
∴∠EDF=∠GFH，
在△DEF和△FHG中
⎧⎪ ∠DEF =∠FHG
⎨∠EDF =∠HFG，
⎩⎪
DF =FG
∴△DEF≌△FHG（AAS），
∴DE=FH=6，
∵GH=4，
−−−−−− −−
√62+42 =√52
∴在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG= ，
所以正方形B的面积为52．
故答案为：52．
3 在直线上依次摆着 7 个正方形(如图)，已知倾斜放置的 3 个正方形的面积分别为 1 ， 4 ， 9 ，水平放置
4 S S S S S +S =
的 个正方形的面积分别是 1， 2， 3， 4，则 1 4 __________．
【答案】6
4 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB =90∘ ， AC =5 cm， BC =12 cm，其斜边上的高为（
）
6cm
A：
8.5cm
B：
60
C： cm
13
30
D： cm
13
【答案】C
∵ RtΔABC AC =5cm BC =12cm
【解析】解： 在 中， ， ，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
∴AB=√AC2+BC2 =√52+122 =13cm
；
1
∴S = ×5×12=30cm2
ΔABC 2 ；
1
∴ ×13CD=30
，
2
60
CD= cm
．
13C
故选： ．
5 如图，在△ ABC 中，点M是AC边上一个动点，若 AB =AC =10 ， BC =12 ，则BM的最小
值为（ ）
A： 25
B： 9.6
C： 10
D： 4.5
【答案】B
【解析】解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∠ADB=90∘
则 ，
AB=AC
∵ ，
1
BD= BC =6
∴ ，
2
AD2 =AB2−BD2 =64
由勾股定理得： ，
AD=8
∴ ，
当BM⊥AC时，BM最小，
∠BMC =90∘
此时， ．
1 1
S = AC ⋅BM = BC ⋅AD
∵ △ABC 2 2 ，
1 1
×10×BM = ×12×8
即 ，
2 2
BM =9.6
∴ ，
故选：B．
6 △ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①
∠A =∠B−∠C a2 =(b+c)(b−c) ∠A :∠B :∠C =3 :4 :5
； ② ； ③ ； ④
a:b:c=5 :12 :13
．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
【答案】C
∠A=∠B−∠C ∠B=90∘
【解析】解：① ，可得： ，是直角三角形；a2 =(b+c)(b−c) a2+c2 =b2
② ，可得： ，是直角三角形；
∠A:∠B:∠C =3:4:5 ∠C =75∘
③ ，可得： ，不是直角三角形；
a:b:c =5:12:13 a2+b2 =c2
④ ，可得： ，是直角三角形．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 勾股定理的应用
例题练习题答案
–
例1 一个直角三角形，斜边长为 4√5 cm，两条直角边的长相差4 cm，求这个直角三角形的两条直角
边的长，可设较长直角边为x cm，根据题意可列方程__________．
x2+(x−4)2 =(4√5 – )2
【答案】
【解析】设较长直角边为xcm，则较短直角边为 (x−4) cm，
x2+(x−4)2 =(4√5 – )2
根据题意得： ．
x2+(x−4)2 =(4√5 – )2
故答案为： ．
练1.1 已知Rt△ABC中， ∠C =90∘ ， a+c=16 cm， b=8 cm，则Rt△ABC的面积等于__________．
cm2
【答案】24
–
练1.2 若直角三角形的一条直角边和斜边的比为1：2，另一条直角边长为 3√3 ，则直角三角形的斜边长
为（ ）
A： 3
B： 6
–
6√3
C：
–
6√2
D：
【答案】B
例2 如图，四边形 ABDC 中， AB =8 ， AC =6 ， CD=24 ， BD=26 ， ∠BAC =90∘ ，
ABDC
则四边形 的面积是___________．
【答案】144
练2.1 如图，在四边形ABDC中， ∠A =90∘ ， AB =9 ， AC =12 ， BD=8 ， CD=17 ．求四
边形ABDC的面积．【答案】解：连接BC,
∵∠A=90∘ AB=9 AC =12
， ，
−−−−−−−−−−
∴BC =√AB2+AC2 =15，
∵BC =15，BD=8，CD=17
∴BC2 +BD2 =CD2
∴ΔBCD是直角三角形
∴S =S +S
ABDC ΔABC ΔBCD
1 1
= ×9×12+ ×15×8=114
．
2 2
练2.2 如图，已知某开发区有一块四边形空地 ABCD ，现计划在该空地上种植草皮，经测量
∠ADC =90∘ CD=6 AD=8 BC =24 AB =26
， m， m， m， m，若每平方米草皮需
200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
【答案】解：连接AC，
在Rt△ACD中，
AC2 =CD2+AD2 =62+82 =102
，
在△ABC中，
AB2 =262
，
BC2 =242
，
102+242 =262
而 ，
AC2 +BC2 =AB2
即 ，
∠ACB=90∘
∴ ，
1 1
S =S −S = AC ⋅BC − AD⋅CD
ABCD △ACB △ACD 2 2
1 1
= ×10×24− ×8×6=96
（平方米）．
2 2
96×200 =19200
所以需费用 （元）．
例3 如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一
条“路”，他们仅仅少走了（ ）m路，却踩伤了花草．A： 1
B： 2
C： 5
D： 12
【答案】B
−−−−−−
【解析】解：由题意可得，直角三角形的斜边为：
√32+42 =5
，
3+4−5=2
则他们仅仅少走了 （米）．
练3.1 如图所示，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只鸟从一棵树的树梢飞到
( )
另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行
8 m
A：
10 m
B：
12 m
C：
14 m
D：
【答案】B
例4 为了提高技术工人的技能技巧，某石油分公司举办了一期岗位培训班，培训结业时出了如下一道
题：有一油罐，其直径为6米，高8米，如图，将一长为12米的金属棒置于其中，假如金属棒在外
h h
面的长为 米，试问 的取值范围是（ ）
6 ≤h≤8
A：
4 ≤h≤6
B：
2 ≤h≤6
C：
2 ≤h≤4
D：
【答案】D练4.1 如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯
h h
子外面的长度为 ，则 的取值范围是（ ）
12cm≤h≤19cm
A：
12cm≤h≤13cm
B：
11cm≤h≤12cm
C：
5cm≤h≤12cm
D：
【答案】C
【解析】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24−12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
如图所示：此时，
AB=√AC2+BC2 =√122+52 =13cm
，
h=24−13=11cm
故 ．
故h的取值范围是 11cm⩽h⩽12cm ．
故选：C．
例5 如图所示，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路
程（π取3）是（ ）
A： 20cm
B： 10cm
C： 14cm
D： 无法确定
【答案】B
【解析】如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
∵底面半径为2cm，
4π
BC = =2π≈6
∴ cm
2
在Rt△ABC中，AC =8cmBC =6cm
∵
−−−−−−−−−−
−−−−−−
AB=√AC2 +BC2 =√62+82 =10cm
∴ ．
故选：B．
练5.1 已知长方体盒子的长、宽、高分别为6cm，3cm，2cm，如图所示，在顶点A处的蚂蚁要去吃顶点
B处的食物，那么这只蚂蚁所要爬行的最短路线长为多少？
【答案】解：如图1所示，
−−−−−−−−−−−
AB=√(6+3)2+22 =√ − 8 − 5
；
如图2所示，
−−−−−−−−−−−
AB=√32+(2+6)2 =√ − 7 − 3
．
如图3所示，
−−−−−−−−−−−
AB=√(2+3)2+62 =√ − 6 − 1
；
−− −− −−
∵√85 >√73 >√61
，
−−
∴ √61cm
它需要爬行的最短路径的长是 ．
−−
√61
故答案为： ．
练5.2 如图，长方体的长 BE =15 cm，宽 AB =10 cm，高 AD=20 cm，点M在CH上，且
CM =5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】分三种情况比较最短距离：
−−−−−−−−−−−−
AM =√102+(20+5)2 =5√ − 2 − 9
如图1所示： （cm）；
−−−−−−−−−−−−
AM =√202+(10+5)2 =25
如图2所示： （cm），
−−−−−−−−−−−−
AM =√52+(10+20)2 =5√ − 3 − 7
如图3所示： （cm），−− −−
5√37 >5√29 >25
∵ ，∴第二种短些，此时最短距离为25cm．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 勾股定理的应用
自我巩固答案
1 某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（ ）
A： 8
B： 10
C： 15
D： 17
【答案】D
【解析】解：设直角三角形的斜边长为x，
x2 =82+(32−x)2
由勾股定理得， ，
x=17
解得， ．
2 在Rt△ABC中， ∠C =90∘ ，若 c=10 cm， a:b=3 :4 ，则△ABC的周长为（ ）
A： 12 cm
B： 20 cm
C： 24 cm
D： 48 cm
【答案】C
3 如图，点P是平面坐标系中一点，则点P到原点的距离是（ ）A： 3
–
√2
B：
–
√7
C：
−−
√53
D：
【答案】A
– –
【解析】解：连接PO，∵点P的坐标是 (√2,√7) ，
−−−−−−−−−
∴点P到原点的距离=√√2
–2+√7 –2
=3．
4 一棵大树在离地面6米高处断裂，树顶落在离树底部8米处，则大树断裂之前的高度为（ ）
A： 10
B： 16
C： 15
D： 14
【答案】B
5 一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明
（ ）
A： 没有危险
B： 有危险
C： 可能有危险
D： 无法判断
【答案】A6 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯
子外面的长度hcm，则 h 的取值范围是（ ）
h≤17
A：
h≥8
B：
15 ≤h≤16
C：
7 ≤h≤16
D：
【答案】D
7 如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那
么它所行的最短路线的长是（ ）
–
(3√2+8)cm
A：
10cm
B：
−−
√82cm
C：
D： 无法确定
【答案】B
8 如图，有一块土地的形状如图所示， ∠B =∠D=90∘ ， AB =20 米， BC =15 米，
CD=7
米，计算这块土地的面积．
【答案】解：连接AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，
在直角△ABC中，AC为斜边，
−−−−−−−−
则AC=√202+152 =25（米），
在直角△ACD中，AC为斜边
−−−−−−−
AD=√252−72 =24（米），1 1
四边形ABCD面积S= AB×BC+ AD×CD＝234（平方米）．
2 2
答：此块地的面积为234平方米．
9 自2019年1月8日15时起，合肥市进入冰雪灾害天气．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的
顶端落在离树杆底部4米处，求这棵树折断之前的高度．
−−−−−−
√32+42 =5
【答案】解：折断的部分长为 ，
∴ 5+3=8 )
折断前高度为 （米 ．
10 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5
米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直
的，结果保留根号）
【答案】解:在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
−−−−−−−
√132−52
∴AB= =12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
−−−−−−−−−−
−−−−−− −−
√CD2−AC2=√64−25=√39
∴AD= （米），
−−
12−√39
∴BD=AB﹣AD= （米），
−−
(12−√39)
答：船向岸边移动了 米．
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第 4 讲 勾股定理的应用
课堂落实答案
1 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A： 121
B： 120
C： 90
D： 不能确定
【答案】C
【解析】设另一直角边为a，斜边为 a+1 ．(a+1)2−a2 =92
根据勾股定理可得， ．
a=40 a+1=41 9+40+41=90
解之得 ．则 ，则直角三角形的周长为 ．
故选：C．
2 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆
折断之前的高度是________．
【答案】18m
【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂
直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
−−−−−−−
√122+52 =13m
根据勾股定理，折断的旗杆为 ，
13+5=18m
所以旗杆折断之前高度为 ．
16
3 BC =12 P A BC
如图，圆柱的底面直径为 π ， ，动点 从 点出发，沿着圆柱的侧面移动到 的中
S ( )
点 ，则移动的最短距离为
A： 10
B： 12
C： 14
D： 20
【答案】A
−−−
4 如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm，6cm和 √300 cm的长方体无盖盒子
中，则细木棒露在盒外面的最短长度是________cm．
【答案】5
−−−−−−
√62+82 =10
【解析】由题意知：盒子底面对角长为 ，
−−−−−−−−−−−−
√102+(10√3 – )2 =20
盒子的对角线长： ，
细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20=5cm．
故答案为：5．5 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形 ABCD ），经测量，在四边形
−−
ABCD AB =6 BC =8 CD=12 DA =2√61 ∠B =90∘
中， m， m， m， m， ．四边形
ABCD
的面积是多少？
【答案】解：连接AC,
Rt△ABC
由题意可知：在 中，
由勾股定理得：
−−−−−−−−−−
AC =√AB2+BC2 =10
m，
∴AC2 +CD2 =AD2
，
∴∠ACD=90∘
，
△ACD
即 是直角三角形，
S =S +S
ABCD △ABC △ACD
1 1
= ×AB×BC + ×AC ×DC
2 2
=84
ABCD cm2
即四边形 的面积是84 ．
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第 4 讲 勾股定理的应用
精选精练
–
1 如图，在四边形ABCD中， AB =AD=4 ， ∠A =60∘ ， BC =4√5 ， CD=8 ．求
∠ADC
的度数．
BD
【答案】解：连接 ，
∵AB=AD ∠A=60∘
， ，
∴ΔABD
是等边三角形，
∴∠ADB=60∘ DB=4
， ，
∵42+82 =(4√5 – )2
，
∴DB2+CD2 =BC2
，∴∠BDC =90∘
，
∴∠ADC =60∘+90∘ =150∘
；
2 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以
每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C，B两岛相距
50海里，请你求出乙船的航行方向．
【答案】解：根据题意得；AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；
302 402 502
∵ + = ，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴180°-90°-35°=55°，
∴乙船的航行方向为南偏东55°．
【解析】根据题意得出AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；由勾股定理的逆定理证出△ABC是
直角三角形，∠BAC=90°，即可求出乙船的航行方向．
3 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一
手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线螺旋前进的，难道植物也懂数学？
通过阅读以上信息，解决下列问题：
(1) 如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30 cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40
cm，则它爬行一圈的路程是多少？
【答案】如图，⊙O的周长为30cm，即AC =30cm，
高是40cm，则BA=40cm，
BC2 =AC2 +AB2
故绕行一圈的路程是50cm；
【解析】如图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为BA的长，求出CB
的长即为葛藤绕树的最短路程．(2)如果树干的周长为80 cm，绕一圈爬行100 cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
【答案】解：树干的周长为80cm，
绕一圈100cm，
−−−−−−−−−
√1002−802 =60
则绕一圈上升高度为 cm，
共10圈，
=60×10=600cm=6m
∴树干高 ，
故树干高6m．
【解析】先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．
4 如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm，4cm，12cm，插吸管处的出口到
相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在
3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是
__________．
16cm≤L≤17cm
【答案】
【解析】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最短，杯内最短为12cm；
②露出部分最短时，因为插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1 cm，底面距定点最远距
离为5cm，高为12cm，
−−−−−−−
√52+122 =13cm
由勾股定理可得杯里面管长为 ，
∵外露的吸管长度要在3cm至5cm间
∴设计的吸管总长度L的范围是 16cm≤L≤17cm ．
5 一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了2米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】解：（1）根据勾股定理：
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
AB=√AC2 −BC2 =√132−52 =12
梯子距离地面的高度为： 米；
A′B=12−2=10
（2）梯子下滑了2米即梯子距离地面的高度为 米，
−−−−−−−−−−−
BC′ =√A′C′2−A′B2 =√ − 6 − 9
根据勾股定理： 米，
−−
(√69 −5)
∴当梯子的顶端下滑2米时，梯子的底端水平后移了 米.
6 一架梯子AC长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米到
A′
，那
么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】解：根据勾股定理：
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
AB=√AC2 −BC2 =√252−72 =24
梯子距离地面的高度为： 米；
A′B=24−4=20
梯子下滑4米后梯子距地面为 米，
−−−−−−−−−−−
BC′ =√A′C′2−A′B2 =15
根据勾股定理： 米，
15−7=8
米，
∴当梯子的顶端下滑4米时，梯子的底端水平后移了8米．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 平行四边形
例题练习题答案
例1 平行四边形的一边长为6，周长为28，则这边的邻边长为（ ）
A： 22
B： 16
C： 11
D： 8
【答案】D
练1.1 如图，将平行四边形 OABC 放置在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，若点 C 的坐标是
(1,3) A (5,0) B
，点 的坐标是 ，则点 的坐标是______．
(6,3)
【答案】
练1.2 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列式子中不一定成立的是（ ）
AB // CD
A：
OA =OC
B：∠ABC +∠BCD=180∘
C：
AB =BC
D：
【答案】D
例2 如图，在□ABCD中， AD=8 ，AB=12，AE平分∠BAD，交DC边于点E，则CE的长为
_______________．
4
【答案】
练2.1 如图，在平行四边形ABCD中， AD=9 ，CE平分∠BCD交AD边于点E，且 AE =5 ，则AB的长
为（ ）
A： 4
B： 5
C： 3
D： 6
【答案】A
−−
练2.2 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC⊥AB ，DE平分 ∠ADC ， AC =3 ， AD=√13 ，则
BE的长为（ ）
−−
√10
A：
−− −−
√13 −√10
B：
C： 2
−−
√13 −2
D：
【答案】D
例3 (1)□ABCD中， ∠A =100∘ ，则 ∠B+∠D 的度数是__________．
【答案】160°
(2)□ABCD中，若 ∠C =∠B+∠D ，则 ∠A = ______________．
【答案】120°练3.1 如图，已知在□ABCD中， ∠A+∠C =140∘ ，则∠B的度数是（ ）
110∘
A：
120∘
B：
140∘
C：
160∘
D：
【答案】A
练3.2 已知□ABCD中， ∠B =4∠A ，则∠D =（ ）
18∘
A：
36∘
B：
72∘
C：
144∘
D：
【答案】D
例4 平行四边形的一边长是10，一条对角线长是6，则它的另一条对角线a的取值范围为（ ）
4 AB) ，点E是BC上一点，且 DE =DA ，AF⊥DE，垂足为点F，
AB =AF
求证： ．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE
∴∠C =∠AFD=90∘ ，AD∥BC
∴∠ADF =∠DEC
在△AFD和△DCE中
⎧⎪ ∠ADF =∠DEC
⎨ ∠AFD=∠C
⎩⎪
AD=DE
∴△AFD≌△DCE（AAS）
AF =DC
∴
AB=CD
又∵
AB=AF
∴
9 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形， AB =4 ，求
BC的长．
【答案】解：∵△ABO是等边三角形
OA=OB=AB=4
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC OB=OD
∴ ，
OA=OC =OB=OD
∴
AC =BD=8
∴
∴四边形ABCD是矩形
∠ABC =90∘
∴
由勾股定理得：
−−−−−−−−−−
−−−−−− –
BC=√AC2 −AB2 =√82−42 =4√3
OA=OB=AB=4
【解析】根据等边三角形性质求出 ，根据平行四边形的性质求出
OA=OC ， OB=OD ，得出 AC =BD=8 ，证出四边形ABCD是矩形，得出
∠ABC =90∘ ，由勾股定理求出BC即可．1
10 如图， AC =BC ，D是AB中点，CE∥AB，CE= 2 AB，求证：四边形CDBE是矩形．
AC =BC
【答案】证明：∵ ，
∴△ACB是等腰三角形，
∵D是AB中点，
1
∴ DB= AB ，CD⊥DB，
2
1
CE = AB
∵ ，
2
DB=CE
∴ ，
∵CE∥AB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
又∵CD⊥DB，
∴四边形CDBE是矩形．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 矩形
课堂落实答案
1 已知矩形一边的长为 5 ，另一边的长为 4 ，则它的对角线的长为（ ）
3
A：
−−
√41
B：
4
C：
−−
2√41
D：
【答案】B
2 如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD交于点O， AB =3 ， ∠1 =60∘ ，则 AC = ____．
【答案】6
3 如图，在△ABC中， ∠ACB =90∘ ， ∠A =30∘ ，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，则
∠CPD=
（ ）30∘
A：
45∘
B：
60∘
C：
75∘
D：
【答案】C
4 下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A： 对角线相等的四边形是矩形
B： 对角线互相平分的四边形是矩形
C： 矩形的对角线互相垂直且平分
D： 矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
【解析】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选：D．
5 如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：
（1）△ADE≌△CBF；
（2）四边形BFDE为矩形．
【答案】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∠AED=∠CFB=90∘
∴ ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
AD=BC ∠A=∠C
∴ ， ，
在△ADE和△CBF中，
⎧⎪∠AED=∠CFB
⎨ ∠A=∠C ，
⎩⎪
AD=BC
∴△ADE≌△ CBF (AAS) ；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∠CDE+∠DEB=180∘
∴ ，
∠DEB=90∘
∵ ，
∠CDE =90∘
∴ ，
∠CDE =∠DEB=∠BFD=90∘
∴ ，则四边形BFDE为矩形．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 矩形
精选精练
1 如图，矩形 ABCD 中， DE⊥AC 于点 E ，且 ∠ADE :∠EDC =3 :2 ，则 ∠BDE 的度数为
（ ）
A： 36°
B： 18°
C： 27°
D： 9°
【答案】B
【解析】解：已知∠ADE：∠EDC=3：2⇒∠ADE=54°，∠EDC=36°，
又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°-36°=54°，
根据矩形的性质可得∠DOC=180°-2×54°=72°
所以∠BDE=180°-∠DOC-∠DEO=18°
故选：B．
2 如图，在矩形ABCD中， BD=8 ，AE⊥BD，垂足为点E， ∠BAE =30∘ ，那么△ECD的面积是
（ ）
–
4√3
A：
–
9√3
B：
2
–
5√3
C：
–
6√3
D：
【答案】D
3 如图，在矩形 ABCD 中， O 为 AC 中点，EF过 O 点，且EF⊥AC，分别交 DC 于F，交 AB 于E，
1
点G是AE中点且 ∠AOG=30∘ ，则下列结论：① DC =3OG ；② OG= 2 BC ；③△OGE是
1
S = S
等边三角形；④ △AOE 6 矩形ABCD ．正确的个数为（ ）A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
【答案】C
4 如图，矩形ABCD中，AE平分 ∠BAD 交BC于E， ∠CAE =15∘ ，则下列结论：①△ODC是等边
BC =2AB ∠AOE =135∘ S =S
三角形；② ；③ ；④ △AOE △COE．其中正确的结论有
______________．
【答案】①③④
5 已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线
于点F，且 AF =DC ，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果 AB =AC ，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
⎧⎪ ∠FAE =∠BDE ，
⎨∠AFE =∠DBE
，
⎩⎪
AE =DE
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF＝BD．
∵AF＝DC，
∴BD＝DC．
即：D是BC的中点．（2）四边形ADCF是矩形．
证明：∵AF＝DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC即∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
6 如图，在△ABC中，点 O 在 AB 边上，过点 O 作 BC 的平行线交 ∠ABC 的平分线于点 D ，过点
B BE⊥BD OD E
作 交直线 于点 ．
OE =OD
(1)求证： ；
BD ∠ABC
【答案】解：∵ 是 的角平分线，
∠ABD=∠DBC
∴ ；
∵ED∥BC，
∠ODB=∠DBC =∠ABD
∴ ，
OB=OD
∴ ，
∠ABD+∠ABE =90∘ ∠ODB+∠BED=90∘
∵ ， ，
∠BED=∠ABE
∴ ，
OB=OE OE =OD
∴ ， ．
O AB BDAE
(2)当点 在 的什么位置时，四边形 是矩形？说明理由．
O AB BDAE
【答案】 为 的中点时，四边形 为矩形．
OA=OB OE =OD
证明：∵ ， ，
BDAE
∴四边形 为平行四边形，
BE⊥BD
又∵ ，
BDAE
∴四边形 为矩形．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 7 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
−−
1
A： √
2−−
√17
B：
−−
√75
C：
−−−
√5a3
D：
【答案】B
2 下列三个长度的线段能组成直角三角形的是（ ）
– –
1 √2 √3
A： ， ，
– –
1 √3 √5
B： ， ，
2 4 6
C： ， ，
5 5 6
D： ， ，
【答案】A
3 如图，在平行四边形 ABCD 中， O 是对角线 AC 、 BD 的交点，下列结论错误的是（ ）
AB // CD
A：
AB =CD
B：
AC =BD
C：
OA =OC
D：
【答案】C
4 在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A： 两组邻边相等
B： 一组对边平行且另一组对边相等
C： 两组对边分别平行
D： 对角线互相垂直
【答案】C
【解析】解：A、两组邻边相等的四边形是筝形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，故本选项不
符合题意；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意．
−−−−−
5 如果 √3x+2 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（ ）
2
A： x≠−
32
B： x<−
3
2
C： x≥−
3
3
D： x≥−
2
【答案】C
6 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是（ ）
∠ABC =90∘
A：
AC =BD
B：
OA =AB
C：
OA =OB
D：
【答案】C
−−−−
√a+1
7 式子 a−2 有意义，则实数a的取值范围是（ ）
a≥−1
A：
a≠2
B：
a≥−1 a≠2
C： 且
a>2
D：
【答案】C
8 如果一个直角三角形的两边分别是2、5，那么第三边的平方是（ ）
A： 21
B： 26
C： 29
D： 21或29
【答案】D
9 矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）
cm2
A： 3
cm2
B： 4
cm2
C： 12
cm2 cm2
D： 4 或12
【答案】D10 如图所示， △ABC 中， CD⊥AB 于D，若 AD=2BD ， AC =5 ， BC =4 ，则BD的长为
（ ）
–
√5
A：
–
√3
B：
C： 1
1
D：
2
【答案】B
1
11 若式子 −−−−−有意义，则x的取值范围是______________．
√2x+3
3
【答案】x>−
2
12 直角三角形的三边长分别是5，4，x，则 x2 = ____________．
【答案】41或9．
【解析】解：（1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
42+52 =x2
，所以
x2 =41
；
（2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： 42+x2 =52 ，所以 x2 =9 ．
−−−− a
13 若实数a、b满足 (a+2)2+√b−4=0 ，则b = ________．
1
【答案】−
2
14 已知平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC的长为5，则 △ABC 的周长为______________
【答案】15
15 如图，矩形ABCD的对角线AC的长为6，
∠AOD=120∘
，则AB的长为__________________．
【答案】3
16 如图，数轴上点A所对应的数是___．
–
√5
【答案】-
−−−−−− –
√22+12 =√5
【解析】解：根据勾股定理可知该直角三角形斜边的长度为 ，
–
√5
∴点A到原点的距离是 ，∵点A在原点的左侧，
–
−√5
∴点A表示的数是 ，
–
−√5
故答案为： ．
17 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K，分别作矩形两边的平行线MN和PQ，则图中矩形
AMKP的面积a与矩形QCNK的面积b的大小关系是a______b．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】=
18 如图，在平行四边形ABCD中， AB =13 ， AD=5 ， AC⊥BC ，则 BD= ________．
−−
【答案】
2√61
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中， AB=13 ， AD=5 ，
BC =AD=5
∴
AC⊥BC
∵
−−−−−−−
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知 AC =√132−52 =12
∵四边形ABCD为平行四边形
OA=OC OB=OD
∴ ，
1
OC = AC =6
∴
2
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得：
−−−−−−−−−−
−−−−−− −−
OB=√BC2 +OC2 =√52+62 =√61
−−
BD=2OB=2√61
∴ ．
19 计算：
1 −1 – −−
(− ) +|−√3|−(π−2015)0+√27
（1） 3
−−
1 −− −−
√ ÷(−√12)×3√24
（2） 2
–
【答案】1）
−4+4√3
−3
2）
20 矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；EG=FH
（2） ．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ AD//BC ， AD=BC ，
1 1
∵E、F分别是AD、BC的中点，∴ AE = AD ， CF = BC ，
2 2
∴ AE =CF ，∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是平行四边形，
CE //AF ∠DGE =∠AHD=∠BHF
∴ ，∴ ，
AD//BC ∠EDG=∠FBH
∵ ，∴ ，
△DEG △BFH
在 和 中
⎧∠DGE =∠BHF
⎨∠EDG=∠FBH
⎩
DE =BF
△DEG≅△BFH
∴ （AAS）
EG=FH
∴ ．
21 如图，四边形ABCD中， ∠B =90∘ ， AB =8 ， BC =6 ， CD=26 ， AD=24 ，求四边
形ABCD的面积．
【答案】144．
【解析】连接AC，则 AC =10 ， AC2 +AD2 =CD2
∴△ABC，△ACD均为直角三角形
S =S +S =144
∴ ABCD ΔABC ΔACD ．
22 如图，①路与②路公交车都是从体育馆到少年宫．
（1）比较①路和②路这两条线路的长短；
（2）小明坐出租车由体育馆去少年宫．假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米后每千米
为1.8元，用式子表示出租车的收费p（元）与行驶路程s（千米 s>3 ）之间的关系；
（3）若这段路程有4.5千米，小明身上有10元钱，请问够付车费吗？【答案】⑴一样长；
P =1.8s+1.6(s>3)
⑵ ；
s=4.5 P =9.7<10
⑶当 时， ，∴小明身上有10元钱，够付车费．
P =7+1.8(s−3)=1.8s+1.6
【解析】2） ．
23 如图，在 △ABC 中，D是边BC上一点，若 AB =10 ， BD=6 ， AD=8 ， AC =17 ，求
BC的长．
∵BD2+AD2 =62+82 =102 =AB2
【答案】 ，
∴△ABD
是直角三角形，
∴AD⊥BC
，
Rt△ACD CD=15
在 中 ，
∴BC =BD+CD=6+15=21 CD=15
，
【解析】
24 如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，
且 AF =BD ，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若 AB =AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∠AFE =∠DCE
∴ ，
∵点E为AD的中点，
AE =DE
∴ ，
在△AEF和△DEC中，
⎧∠AFE =∠DCE
⎩
⎨∠AEF =∠DEC，
AE =DE
∴△AEF≌△ DEC(AAS) ，
AF =CD
∴ ，
AF =BD
∵ ，
CD=BD
∴ ，
∴D是BC的中点；
（2）解：若 AB=AC ，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD， AF =BD ，
∴四边形AFBD是平行四边形，AB=AC BD=CD
∵ ， ，
∠ADB=90∘
∴ ，
∴平行四边形AFBD是矩形．
25 如图，▱ ABCD 中，O是AB的中点， CO=DO ．
ABCD
(1)求证：▱ 是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AD=BC AD//BC
∴ ， ，
∠A+∠B=180∘
∴ ，
∵O是AB的中点，
AO =BO
∴ ，
在△DAO和△CBO中
⎧⎪ AD=BC
⎨AO =BO
⎩⎪
DO =CO
△DAO △CBO(SSS)
∴ ≌ ，
∠A=∠B
∴ ，
∠A+∠B=180∘
∵ ，
∠A=90∘
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
AD=3 ∠COD=60∘ ABCD
(2)若 ， ，求▱ 的面积．
△DAO △CBO ∠DOC =60∘
【答案】解：∵ ≌ ， ，
1
∠DOA=∠COB= (180∘−∠DOC)=60∘
∴ ，
2
∠A=90∘
∵ ，
∠ADO =30∘
∴ ，
AD=3
∵ ，
DO =2AO
，
AO2 +32 =(2AO)2
由勾股定理得： ，
–
AO =√3
解得： ，
–
AB=2AO =2√3
∴ ，
– –
ABCD AB×AD=2√3×3=6√3
∴▱ 的面积是 ．
【解析】
26 阅读材料1：
对于两个正实数a、b，由于 (√ −− a −√b)2 ≥0 ，所以 (√ −− a)2−2√ −− a√b+(√b)2 ≥0 ，−− −− −−
a−2√ab +b≥0 a+b≥2√ab a=b a+b=2√ab
则 ，所以得到 ，并且当 时， ；
阅读材料2：
x2 +1 x2 1 1 1
x>0 = + =x+ x>0 >0
若 ，则 x x x x，因为 ，x ，所以由阅读材料1可得：
−−−−
1 1
x+ ≥2√x⋅ =2
x x ，
x2 +1 1
x= x=1
即 x 的最小值是2，只有 x时，即 时取得最小值．
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
1
（1）比较大小： x2 +1 ______2x（其中 x≥1 ）； x+ x________ −2 （其中 x<−1 ）
x2 +3x+3 1
（2）已知代数式 x+1 变形为 x+n+ x+1，则常数n的值是_________；
−−
x+3+3√x
x=
（3）当 _____时， √ − x − +1 有最小值，最小值为_______．（直接写出答案）
≥ <
【答案】1） ，
2）2
3）0，3
1 1
【解析】1） x+ =−[(−x)+(− )]
x x
1 1
x<−1 −x>0 − >0 (−x)+(− )>2
当 时， ， ，∴
x x
1 1
∴−[(−x)+(− )]<−2即x+ <−2
x x
x2+3x+3 (x+1)(x+2)+1
=
2）
x+1 x+1
1
=x+2+
x+1
−− −− −−
x+3+3√x (√x +1)(√x +2)+1
=
3） −− −−
√x +1 √x +1
−− 1
=√x +1+
−−
+1
√x +1
−− 1
∵√x +1>0
， −−
>0
√x +1
−−−−−−−−−−−−−−−
−− 1 −− 1
∴√x +1+
−−
≥2√(√x +1)
−−
=2
，
√x +1 √x +1
−− 1
当√x +1= −− 即 x=0 时取“=”
√x +1
−− 1
∴√x +1+
−−
+1≥3
，当
x=0
时取“=”．
√x +1
