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专题 12 直线与圆中的最值和范围问题
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题型01 与对称有关的三点共线最值问题...............................................................................................................1
题型02 点与圆的位置关系最值（范围）问题.......................................................................................................2
题型03 代数式的几何意义最值（范围）问题.......................................................................................................4
题型04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题...................................................................................................5
题型05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题...........................................................................................6
题型 01 与对称有关的三点共线最值问题
【解题规律·提分快招】
1、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+BP) =AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是
min
点B关于直线l的对称点.
2、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP| =AB(当点A、P、B共线时取到).
max
3、点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP| =AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'
max
是点B关于直线l的对称点.【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l： ，点 ， ，P为l上任意
一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东·阶段练习）若一束光线从点 处出发，经过直线 上一点 反射后，
反射光线与圆 交于点 ，则光线从点A到点 经过的最短路线长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（24-25高三上·重庆·期中）已知直线 与圆 ，点 在直线 上，
过点 作圆 的切线，切点分别为 ，当 取最小值时，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南益阳·三模）已知 是抛物线 上一点，圆 关于直线 对
称的圆为 ， 是圆 上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型 02 点与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
1、若点M在圆内，则M N =M N =r−OM，M N =M N =r+OM；
min 1 max 2
2、若点M在圆外，则M N =M N =OM−r，M N =M N =r+OM；
min 1 max 2
3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r
为圆半径，则PE =P F=d−r，PE =P F=d+r.
min 1 max 2
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知 是圆 上的动点，点 满足 ，点
，则 的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
2．（2024·广东茂名·二模）已知平面 内的动点 ，直线 ： ，当 变化时点 始终不
在直线 上，点 为 ： 上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为
亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比
（ ， ），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点 和定点 的
距离之比为2，其方程为 ，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·广西桂林·开学考试）已知直线 ： 与直线 ： 交于点
，则 的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
5．（24-25高三上·广东·期中）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个
不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆
与圆 ， 是这两个圆根轴上一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．题型 03 代数式的几何意义最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
y−b
1、形如
y=
，可以转化为过点 和点 的动直线斜率；
x−a (x,y) (a,b)
2、形如z=(x−a) 2 +(y−b) 2 ，可以转化为点(x,y)和点(a,b)的距离的平方；
3、形如
z=ax+by
，可以转化为动直线纵截距
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知 且 ．则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·四川南充·期中）已知点 是圆 上的动点，则下面说法正
确的是（ ）
A．圆的半径为2 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为5
4．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知圆 是圆上的两个动点，
且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·吉林·期末）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数
形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知
，则 的最小值为 ．题型 04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直
的弦弦长为
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·天津和平·期末）若直线 ： 与圆 ：
相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点 、 在圆 上，点 在直线 上，
点 为 中点，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线 与圆 交于 两
点，则线段 的长度的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆 与圆 ，过
动点 分别作圆 ､圆 的切线 （ 分别为切点），若 ，则 到圆
距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知 ，直线 ， 为
上的动点.过点 作 的切线 ，切点为 ，当四边形 面积最小时，直线 的方程为
（ ）.
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·安徽芜湖·期中）已知 是圆 上的两个不同的点，
若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．7．（24-25高三上·重庆·期中）圆 ， 是直线 上的动点，过点 作圆 的
切线，切点为 ， ，那么 的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
8．（2025高三·全国·专题练习）已知 为椭圆 上一动点，过点 作圆 的两条切
线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型 05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题
【解题规律·提分快招】
圆的标准方程(x−a) 2+(y−b) 2=r2，圆心为(a , b)，半径为r，
它对应的圆的参数方程：
{x=rcosθ+a
(θ是参数).
y=rsinθ+b
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知点 在圆 上，则 的最大
值是( )
A． B．10 C． D．
2．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知 ， ， 三点，点 在圆 上运动，
则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆
上(正方形ABCD内部，含边界)，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽·期中）已知直线 恒过点 ，圆 ，则圆 上的点到直线 的
距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东济南·阶段练习） ，函数 的最小
值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知圆C： ，直线l： ，则直线l
被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（23-24高三上·海南海口·期中）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．9
5．（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知点 是直线 上的动点，过点 引圆
的两条切线 为切点，当 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）若线段 与圆 有两个
交点 ，则弦 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，
很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数问题，可以转化为点
与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数 的最小值
是（ ）
A． B．4 C． D．
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知 为直线 上一点，过点 作圆 的切
线 （ 点为切点）， 为圆 上一动点． 则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
9．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知点 ，且点 在直线 上，则下列
命题中错误的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C． 的最小值为
D． 的最大值为3
10．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知圆 ，点 为直线 上的动
点，以 为直径的圆与圆 相交于 两点，则四边形 面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
11．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知 ，点P为直线 上的一动点，点Q为
上的一动点，则| 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三下·河南开封·阶段练习）已知点 ，点 为圆 上一动点，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·湖南岳阳·二模）已知点 是圆 上的两点，若 ，则
的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
14．（23-24高三上·山西运城·阶段练习）设平面点集 包含于 ，若按照某对应法则 ，使得 中每一点
都有唯一的实数 与之对应，则称 为在 上的二元函数，且称 为 的定义域， 对应的值 为
在点 的函数值，记作 ，若二元函数
，其中 ， ，则二元
函数 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题15．（24-25高三上·河南洛阳·期末）已知O为坐标原点，点M满足 ，则点M到直线
距离的最大值为 .
16．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知O为坐标原点，直线 与直线 相
交于点P，则 的最大值为 ．
17．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知动圆C的半径为 ，其圆心到点 的距离为2，点P为圆
C上的一点，则点P到直线 距离的最大值为 ．
18．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知P，Q，R是半径为2的圆C上的点，若 ，则 的
取值范围是 ．
19．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如
下：在直角坐标平面上任意两点 的“曼哈顿距离”为 ，已知
动点 在圆 上，定点 ，则 两点的“曼哈顿距离”的最大值为 .
20．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知圆 ，圆 ，点
分别是圆 ，圆 上的动点， 为 轴上的动点，，则 的最大值为 .
21．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知圆 是圆 上的动点，则
的最大值为 ； 的最小值为 ．
22．（24-25高三上·江苏常州·期末）动点 是两直线 与 的交点，过 作圆
的两条切线 ，切点分别为A，B，则 的最大值为 .
