文档内容
第二十一章 一元二次方程（压轴题专练）
一、填空题
1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程 的常数项是6，
则一次项是（ ）
A． B． C．x D．1
2．（2023春·福建南平·九年级专题练习）两个关于 的一元二次方程 和 ，其
中 ， ， 是常数，且 ，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是
方程 的根的是（ ）
A． 2020 B． C．-2020D．
3．（2023·全国·九年级假期作业）根据绝对值的定义可知 ，下列结论正确的个数有
（ ）
①化简 一共有8种不同的结果；
② 的最大值是5；
③若 ， （ 为正整数），则当 时， ；
④若关于 的方程 有2个不同的解，其中 为常数，则 或
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2023春·江苏·八年级期末）已知两个多项式 ， ，x为实数，将A、B进行加
减乘除运算：
①若A+B=10，则 ；
② ，则x需要满足的条件是 ；
③ ，则关于x的方程无实数根；④若x为正整数( )，且 为整数，则 1，2，4，5．
上面说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·全国·九年级假期作业）关于x的一元二次方程 （ab≠0）有两个相等的实数根
，则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则 D．若 ，则-1＜a＜0
6．（2023春·安徽·八年级期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
7．（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
8．（2023·全国·九年级假期作业）若方程 的两个不相等的实数根 满足
，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．9．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）空地上有一段长为a米的旧墙 ，利用旧墙和木栏围成一个矩
形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则有一种围法
B．若 ，则有一种围法
C．若 ，则有两种围法
D．若 ，则有一种围法
二、填空题
10．（2023·山东枣庄·统考一模）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将
表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法
称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且
．则 的值为 ．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一块矩形菜地 ，面积为 ．
现将边 增加 ．
（1）如图1，若 ，边 减少 ，得到的矩形面积不变，则 的值是 ．
（2）如图2，若边 增加 ，有且只有一个 的值，使得到的矩形面积为 ，则 的值是 ．
12．（2023·河北衡水·统考二模）六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相
邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示．（1）若 ，则矩形A的水平边长为 ；
（2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ；
（3）若矩形A，B的面积相等，则 ．
13．（2023春·浙江·八年级阶段练习）一个矩形内放入两个边长分别为 和 的小正方形纸片，按照
图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为 ；按照图②放置矩
形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 ，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没
有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 ．
14．（2023春·浙江·七年级期末）已知在长方形纸片 中， ， ，现将两个边长分别为
和 的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中
未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为
；若 时，则 ；若再在边长为 大正方形的左上角摆放一个边长为 的小正方形
（如图3），当 时，则图3中阴影部分的面积 ．三、解答题
15．（2023春·福建福州·八年级福州日升中学校考期末）阅读材料．材料：若一元二次方程
的两个根为 ， ，则 ， ．
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数 ， 分别满足 ， ，且 ，求 的值．
16．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：
问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，把 代入已知方程，得 ；化简，得
；故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于 的一元二次方程 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它
的根分别是已知方程根的倒数．
17．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）已知关于x的方程 ．
求证：不论 为何实数时，方程 有固定的自然数解，并求这自然
数；
设方程另外的两个根为 、 ，求 、 的关系式；
若方程 的三个根均为自然数，求 的值．
18．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料：选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方： ；
②选取二次项和常数项配方： ，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出 三种不同形式的配方；
(2)已知 ，求 的值
(3)当 ， 为何值时，代数式 取得最小值，最小值为多少？
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为 ，所以 ，所以，当 时，原式
的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若 ，则 ．
完成问题：
（1）求 的最小值；
（2）求 的最大值；
（3）若实数m，n满足 ．求 的最大值．
20．（2023·全国·九年级假期作业）对任意一个三位数 ，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位
上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如： ，因为
，所以 是“快乐数”．
(1)请通过计算判断 是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
(2)已知一个“快乐数” （ 、 、 ， 、 、 为自然数），且使关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，若 ，求满足条件的所有 的值．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，
且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：
k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所
满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝
m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
22．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于x的方程 ，其中p，q都是实数．
(1)若 时，方程有两个不同的实数根 ， ，且 ，求实数p的值．
(2)若方程有三个不同的实数根 ， ， ，且 ，求实数p和q的值．
(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根 ， ， ， 且 ？
若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．
23．（2023·全国·九年级假期作业）阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫
做换元法．
【材料2】
已知实数 ， 满足 ， ，且 ，显然 ， 是方程 的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为 ；(2)间接应用：
已知实数 ， 满足： ， 且 ，求 的值．
24．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知
， ，可以在不求 、 的值的情况下，求出 的值．具体做法如下：
．
(1)若 ，则 ______；
(2)若 满足 ，求 的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设 ， ，
则 ， ，
所以 ．
请参照上述方法解决下列问题：若 ，求 的值；
(3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙 ）围成一个长
方形花圃ABCD，花圃ABCD的面积为20平方米，其中墙AD足够长，墙 墙AD，墙 墙AD，
米．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃 旁分别以 边向外各扩建
两个正方形花圃，以 边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），请问新扩建花圃的总面
积为______平方米．
25．（2023·浙江温州·校考一模）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形 空地，建成一
个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道
均为平行四边形），剩余的地方种植花草．(1)如图1，要使种植花草的面积为 ，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示， 均为全等的直角三角
形，其中 ，设 米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都
为2m，且竖向道路出口位于 和 之间，横向弯折道路出口位于 和 之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
26．（2023春·浙江·八年级专题练习）有一块长为 米，宽为 米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相
垂直的宽都为 米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图 ，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和 ______（用含 、 的代数式表示）；
若 ，且草坪的总面积为 ，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图 ，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中 条水平方向的小路， 条竖直方向的小路（ 为
常数），若 ，且草坪的总面积为 平方米，求 的值．
27．（2023春·广东佛山·九年级校考开学考试）已知矩形 中， ，P是 边上一点，连接
，将 沿着直线 折叠得到 ．(1)若 ；
①如图1，若点E在 边上， 的长为 ；
②P、E、C三点在同一直线上时，求 的长；
(2)如图3，当点P是 的中点时，此时点E落在矩形 内部，延长 交 于点F，若点F是 的
三等分点，求 的长．
28．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线 与x轴相交于点A，与y轴相
交于点B，直线 经过点B，与x轴相交于点C，点D是线段AB上的一个动点．
(1)b的值是______；
(2)如图1，过点D作BC的平行线与直线 相交于点P，直线 与直线AB相交于点Q．当
时，求点D坐标；
(3)如图2，点D在移动过程中，是否存在点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，
求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，动点P、Q分
别以 ， 的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是 ？
(2)若点P沿着 移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试
探求经过多长时间 的面积为 ？
30．（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ，点P从点A
沿 向点B以 的速度移动，同时点Q从点B沿 边向点C以 的速度移动．当其中一点达
到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为 ，求：
(1)当x为何值时， 为等腰三角形；
(2)当x为何值时， 的面积为 ；
(3)当x为何值时， 为等腰三角形．
31．（2023·全国·九年级假期作业）已知正方形 ， 为 上动点， ， 于 ，
延长 交 于点 ．
(1)如图1，当 时， ；
(2)如图2， ，求 ；
(3)如图3，若 ，直线写出 的值______．32．（2023春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，动点P从点B出发，沿射线 的方向以每秒 的速度运动到C点返回，动
点Q从点A出发，在线段 上以每秒 的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q
运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．
(1)求 、 的代数表达式；
(2)当t为何值时，四边形 是平行四边形；
(3)当 时，是否存在点P，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；
若不存在，请说明理由．
33．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，
AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，
以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动
了t秒．
(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；
若不存在，请说明理由．
34．（2023春·浙江·八年级期中）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工
汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉
（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工
汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按
售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全
部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
35．（2023春·全国·八年级专题练习）2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游
客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的
桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可
以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒是桑葚酱单价的 ，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500
千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元．
(1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价；
(2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减
少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低 销售，桑葚酒比预计单
价降低 元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销
售总额比预计减少了3500a元．求a的值
36．（2023·全国·九年级专题练习）葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍
品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经
过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销
售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是
“黑珍珠”质量的3倍．
（1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？
（2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是
原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，
按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了 ，同时
为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价 （降价幅度不超过50%），最
终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求 的值．
37．（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市朝阳中学校考期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出
售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地
砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平
方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进
价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖
无剩余）
（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？
（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了 ，铺满
B种地砖的公寓套数增加了 ，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了
，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了 ，求a的值．
38．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品，某药店销售
普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表：
普通口罩 N95口罩
进价（元/包） 8 20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩
和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均
销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，
求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包 ，
该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于 ，则N95口罩每包售价是
________元．（直接写出答案，售价为整数元）39．（2023春·浙江·八年级阶段练习）健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出 两种健
康食品套餐，到年底共卖出 万份，其中 套餐卖出 万份，两种套餐共获利润 万元、已知销售一份
套餐可获利润 元，销售一份 套餐可获利润 元．
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份 套餐的利润增加到 元，
每份 套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中 套餐的销售量增加
，两种套餐的总利润增加 万元．
①求2017年每种套餐的销售量；
②由于 套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份 套餐的利润在2017
年的基础上增加 ，2019年在2018年的基础上又增加 、若 套餐在近三年销售量不变的情况下，仅
2019年一年就获利 万元，求 的值．
40．（2023·重庆·九年级专题练习）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套
数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且
每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米
和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提离大家的积极性，6月份准备把活动一升级为
活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动
二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户
型户数的基础上将增加 ，每户物管费将会减少 ；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份
参加活动的同户型户数的基础上将增加 ，每户物管费将会减少 ．这样，参加活动的这部分住户6
月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 ，求 的值．
