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第二十一章《一元二次方程》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．A【分析】将x=1代入ax+bx+1=0即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax+bx+1=0的一个解是x=1，
∴a+b+1=0，
∴a+b=−1，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
2．A【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程 +4x-1=0，
移项得： +4x=1，
配方得： +4x+4=1+4，即 =5．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．D【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
4．B【分析】求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长．
【详解】解：方程x2-3x-4=0因式分解得：（x-4）（x+1）=0，
解得：x=4或x=-1（舍去），
∴等腰直角三角形斜边上的高为4，即为斜边上的中线，
则这个直角三角形斜边的边长为8．故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练
掌握性质是解本题的关键．
5．B【分析】根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值
是解题关键．
6．C【分析】设长方形的宽为x，则长为( x+1 ) ，利用长方形的面积计算公式，即可得出关于x的一元次方程，
解之即可得出x的值，将其正值代入2[ ( x+1 ) +x]中即可求出该长方形的周长．
【详解】解∶设长方形的宽为x，则长为(x+l)，
依题意得x(x+1)=1，
解得∶ ， (不合题意，舍去)，
∴该长方形的周长
故选∶C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．A【分析】如果营业额每月平均增长率为x，根据某商店今年1月份的营业额为100万元，3月份营业额为360
万元，可列方程．
【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x）万元，
∴三月份营业额为100×（1+x）×（1+x），∴可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为
b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
8．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解可得 ， ，且 ，
即 ，则 = ，进行计算即可得．
【详解】解：∵p，q是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，且 ，即 ，
则
=
=
=
=12
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握这些知识点．
9．D【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：∵
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当Δ＞0时，
方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．D【分析】m＝0化为一元一次方程，即可得；当 时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得 ，
即可得方程的另一个根，根据求根公式得， ，解得当 时， ，
根据求根公式得当 时，方程有两个不相等的实数根，综上即可得．
【详解】解：当m＝0时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得 ，，
∴当m＝0时，方程只有一个实数根，
当 时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得 ，
解得， ，
此时方程为 ，
，
，
， ，
则方程的另一个根为-1；
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
解得， ， ，
∴无论m取何值，方程都有一个负数根，
∴当 时，方程有两个不相等的实数根，
综上，选项A、B、C正确，
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系和分类讨论．
11．D【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得 ，再根据一元二次方程的解的意义得
，即 ，再把 代入计算即可．
【详解】∵ 、 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本
题的关键．
12．C【分析】先根据一元二次方程的定义得到 ，则 可化为 ，再根据
根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵ 是方程 的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
．也考查了一元二次方程的解．
13．-1【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不
为0，（3）是整式方程，据此即可求解．
【详解】解：根据题意得，|m−1|＝2且m−3≠0，
解得：m＝−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且
a≠0），特别要注意a≠0的条件．14．①③【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为 ，
由此求解即可．
【详解】解；∵一元三次方程 三个非零实数根分别 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴①③正确，②不正确；
∵
，
∴④不正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题
的关键．
15． 【分析】根据题意列出2022年人均收入的代数式即可解答．
【详解】解：设2020年到2022年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
根据题意，可得
2021年人均收入将达到 万元，
2022年人均收入将达到 万元，
即为 ．故答案为∶ ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，审清题意、列出2022人均收入达到的代数式是解答
本题的关键．
16．4【分析】先设 ，原方程可化为 ，解此一元二次方程，再验根即可．
【详解】解：设 ，原方程可化为 ，
化为一般式得： ，
解得：t=4或t=-2，
∵ ，
∴t=4，
∴ 4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程．
17．2036【分析】由m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根可得：m2=2m+1，n2=2n+1，m+n=2，代入所求式子即可
得到答案．
【详解】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，
∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，m+n=2，
∴m2=2m+1，n2=2n+1，
∴2m2+4n2-4n+2022
=2（2m+1）+4（2n+1）-4n+2022
=4m+2+8n+4-4n+2022
=4（m+n）+2028
=4×2+2028
=2036，
故答案为：2036．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．
18．1【分析】根据方程的根得到 ， ，再将所求式子变形，整体代入计算即可．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个根，
， ，
，．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
19．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）将方程进行移项，配方，进行计算即可得；
（2）将方程左边进行配方，开方计算即可得．
（1）
解：
， ；
（2）
解：
， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由此方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，即可求得答案；
（2）由此方程的两根互为倒数，将方程系数化为1得 ，则 = =1，继而求得答案．
（1）
解：由方程有两个不相等的实数根可知
则∴解得
（2）
解：设此方程的两个根分别为： ，
将 系数化为1得
则 = =1，
则
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系： ， 是方程
的两根时， + =-p， =q．
21．(1)年平均增长率为20%
(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程
并对方程的解作出取舍即可．
（1）
设景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为x，
由题意得： ，
解得： （舍）．
答：年平均增长率为20%；
（2）
设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
∵要让顾客获得最大优惠，
∴y=20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．22．(1)
(2)50万元/台
【分析】（1）把 ， 代入 ，即可求解；
（2）根据题意，列出方程，即可求解．
（1）
解：把 ， 代入
∴
∴
∴
即年销售量y与销售单价x的函数关系式为 ．
（2）
解：根据题意得：
解得： ．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴ ．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
23．(1)甲校平均每班捐书量是50本，乙校平均每班捐书量是45本．
(2)第二轮甲校参与捐书的班级有28个
【分析】（1）设乙校平均每班捐书量是x本，则甲校平均每班捐书量是（x+5）本，利用班级数＝该校捐书量÷平
均每班捐书量，结合乙校的班级总数是甲校班级总数的 ，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出乙
校平均每班捐书量，再将其代入（x+5）中即可求出甲校平均每班捐书量；
（2）设第二轮甲校参与捐书的班级有y个，则第二轮乙校参与捐书的班级有（40﹣y）个，利用捐书总量＝平均每
班捐书量×参与班级数，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）
设乙校平均每班捐书量是x本，则甲校平均每班捐书量是（x+5）本，
依题意得： ＝ × ，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝45+5＝50．
答：甲校平均每班捐书量是50本，乙校平均每班捐书量是45本．
（2）
设第二轮甲校参与捐书的班级有y个，则第二轮乙校参与捐书的班级有（40﹣y）个，
依题意得：50×（1﹣28%）y+45×（1+ ）（40﹣y）＝1800+1080﹣1272，
解得：y＝28．
答：第二轮甲校参与捐书的班级有28个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分
式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．(1)
(2)把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到 元
【分析】（1）设出花边的宽，利用面积公式表示出其面积，即可列出方程求解；
（2）先根据题意设每件工艺品降价为 元出售，则降价 元后可卖出的总件数为 件，每件获得的利润
为 元，此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润-各种费用，列出二次方程，求解
即可．
（1）
解：设花边的宽度为 ，根据题意得，
，
整理得，
解得 或 （舍去），
答：丝绸花边的宽度为 ；
（2）
设每件工艺品降价 元出售，根据题意得，
，
整理得， ，
解得 ，
∴销售单价定为 （元），
答：把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到 元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型．25．(1) ，
(2) 为 秒或 秒
(3)存在， 为 秒
【分析】（1）先确定出 ，再用含 角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先确定出 ，再利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论；
（3）先确定点 是 的中点，，再利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
（1）
解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴线段 的长为 ，点 的坐标为 ．
（2）
如图，过点 作 于点 ，
∴ 轴， 是直角三角形，
∴ ，
∵ 从 出发以每秒 个单位长度的速度向终点 运动， 从 出发以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，两
点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 秒，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ 秒或 秒时， 的面积为 ．
（3）
如图，连接 、 ，过点 作 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，点 是 和 的中点，
∵ 轴恰好将平行四边形 的面积分成 两部分，
∴ ，
∴点 是 的中点，
∴点 的纵坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∵点 是 和 的中点，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，
由（2）可知： ，∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
∴当 为 秒时， 轴恰好将平行四边形 的面积分成 两部分．
