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专题 21.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】..............................................................................................................1
【题型2 配方法解一元二次方程】..........................................................................................................................4
【题型3 根的判别式】..............................................................................................................................................5
【题型4 公式法解一元二次方程】..........................................................................................................................5
【题型5 因式分解法解一元二次方程】..................................................................................................................6
【题型6 换元法解一元二次方程】..........................................................................................................................7
【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】.........................................................................................................8
【题型8 配方法】......................................................................................................................................................8
知识点 1 直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为❑√a，平方根为±❑√a．
例如：144的算术平方根为❑√144=12，平方根为±❑√144=±12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如x2=25，解得x=±5．
一般地，对于方程x2=p．
方程有两个不等的实数根x =❑√p，
p>0 1
x =−❑√p
2
p=0 方程有两个相等的实数根x =x =0
1 2
p<0 方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为 p或 的形式；
x2= (mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点 2 配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全
(x+a) 2=b
平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤 方法 实例(9 y2−18 y−4=0)
将常数项移到方程的右边，
一移 移项 含未知数的项移到方程的左 9 y2−18 y=4
边
二化 二次项系数化为1
方程左、右两边同时除以二 y2−2y= 4
次项系数 9
4
y2−2y+1= +1
方程左、右两边同时加上一 9
三配 配方
次项系数一半的平方 13
即(y−1) 2=
9
利用平方根的意义直接开平 ❑√13
四开 开平方 (y−1)=±
方 3
❑√13
y =1+ ，
1 3
五解 得出两个根 移项，合并同类项
❑√13
y =1−
2 3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等
的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就
没有实数根．
3. 解题依据： ，把公式中的 看作未知数 ，并用 代替，则
(a±b) 2=a2±2ab+b2 a x x (x±b) 2=x2±2bx+b2
．
知识点 3 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程 ，通过配方可得 b 2 b2−4ac，则方程根的情况由
ax2+bx+c=0(a≠0) (x+ ) =
2a 4a2
b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即
∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
知识点 4 公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
1. 当∆≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这个式
2a
子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法
叫做公式法．
−b±❑√b2−4ac
∆>0 方程有两个不相等的实数根x=
2a
b
∆=0 方程有两个相等的实数根x =x =−
1 2 2a
∆<0 方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定 a ， b ， c 的值；
（2）求出∆=b2−4ac的值；
−b±❑√b2−4ac
（3）若∆≥0，则将a，b，c的值代人求根公式x= 求出方程的根，若∆<0，则方程无实
2a
数根．
知识点 5 因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
四解 写出方程的两个解
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
【例1】若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0
【变式1-1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程： ．
(3x−1) 2=(x−1) 2
【变式1-2】形如 的方程，它的根是（ ）
(x+m) 2=n(n≥0)
A．x=±❑√n B．x=±m+❑√n C．x=±❑√n−m D．x=−m±❑√n
【变式1-3】（2025·广东佛山·二模）新定义：a⊗b=a2−b．若(x−1)⊗3=1，则x的值为 ．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责
完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始
出现的．”则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程x2+8x+3=0时，若将方程变形为
，则 （ ）
(x+p) 2=q q−p=
A．9 B．17 C．13 D．5
【变式2-2】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程：
．
(1)x2−8x+12=0
；
(2)4x2−7x+2=0【变式2-3】（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相
应的任务．
解：3x2+12x−6=0
二次项系数化为1，得x2+4x−2=0 ……………………第一步
移项，得x2+4x=2．……………………第二步
配方，得 ，即 ．……………………第三步
x2+4x+4=2+4 (x+2) 2=6
由此，可得x+2=❑√6．……………………第四步
所以，x=−2+❑√6……………………第五步
任务一、填空：
①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空）
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符
号语言填空）
③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：4x2−12x−2=0．
【题型3 根的判别式】
【例3】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−(m+n)x+mn=0，其中m,n在数轴
上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．两根之和小于0 D．两根之积大于0
【变式3-1】若关于x的方程3x2−5x+a=0没有实数根，则a的取值范围是（ ）
25 25 25 25
A．a> B．a< C．a≤ D．a≥
12 12 12 12
【变式3-2】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m=0．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当方程的一个根是1时，求m的值．
【变式3-3】（2025·河南焦作·二模）定义运算：a※b=a2+ab−2b2，例如4※3=42+4×3−2×32，
则不解方程，判断方程(x+1)※2=0的根的情况是 ．
【题型4 公式法解一元二次方程】
【例4】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到5±❑√(−5) 2−4×2×(−1)，则该一元二次方程可能为（ ）
x=
2×2
A．2x2+5x−1=0 B．2x2−5x−1=0
C．−2x2−5x+1=0 D．5x2−2x−1=0
【变式4-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程：(x−2)(3x−5)=0．
解：方程化为3x2−11x+10=0．
a=3,b= ，c=10．
Δ=b2−4ac= −4×3×10=1>0．
方程 实数根．
x= = ，
5
即x = ，x = ．
1 2 3
−b+❑√b2−4c
【变式4-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知x= （b2−4c≥0），则式子x2+bx+c
2
的值是 ．
【变式4-3】用公式法解方程：
(1)−3x=1−x2；
(2)2x2−4x−3=0．
【题型5 因式分解法解一元二次方程】
【例5】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若方程x2−8x+12=0的两个根恰好是等腰△ABC的两条
边长，则△ABC的周长为（ ）．
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【变式5-1】（24-25八年级下·浙江金华·期中）解方程
(1)x2−4x−5=0(2)
(x−4) 2=10(x−4)
【变式5-2】（2025·广东广州·一模）根据如图所示的程序计算函数y的值．若输入x的值为4，则输出y的
值为7．若输出的y值为13，则输入的x值为 ．
【变式5-3】（2025·江苏常州·一模）若a2−b2=20，ab=24，则2a−b的值是（ ）
A．±8 B．±12 C．±14 D．±16
【题型6 换元法解一元二次方程】
【例6】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数 满足方程 ，则 的值是
x (x2+x)(1−x2−x)+6=0 x2+x
．
【变式6-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知实数x满足
(a2+b2) 2 −4(a2+b2)−12=0
，则代数
式a2+b2+1的值是（ ）
A．7 B．−1 C．7或−1 D．−5或3
【变式6-2】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）关于 的方程 的解是 ，
x a(x+k) 2+2025=0 x =−3
1
x =2（a、k、b均为常数，a≠0）．
2
问题：
（1）关于 的方程 的根是 ；
x a(x+1+k) 2+2025=0
（2）关于 的方程 的根为 ．
x a(x−k+4) 2+2025=0
【变式6-3】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程
的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形
式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
【例如】解一元二次方程x2−4x−6=0，
设x= y+m（m为常数），
将原方程化为 ，①
(y+m) 2−4(y+m)−6=0方程①整理，得y2+(2m−4)y+m2−4m−6=0，②
令2m−4=0，解得m=2．
当m=2时，m2−4m−6=22−4×2−6=−10，
方程②化为 ，解得 ，
∴ y2−10=0 y =❑√10，y =−❑√10
1 2
∴x = y +m=___________，x = y +m=___________．
1 1 2 2
任务：
(1)直接写出材料中“ ”部分方程的解x =___________，x =___________．
1 2
(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3x2+12x+1=0．
【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】
【例7】（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思
想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程x2−2|x|−3=0．
解：①当x≥0时，原方程为x2−2x−3=0，
解得x =−1（与x≥0矛盾，舍去），x =3．
1 2
②当x<0时，原方程为x2+2x−3=0，
解得x =1（与x<0矛盾，舍去），x =−3．
1 2
所以原方程的根是x =3，x =−3．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类
讨论．
任务：请参照上述方法解方程：x2−|x|−2=0．
【变式7-1】（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程x2 −|x+1|−1=0．
【变式7-2】解方程x2 −2|2x+3)+9=0．
【变式7-3】（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）解方程x2 −|x− 5|−2=0
【题型8 配方法】
【例8】（2025·安徽六安·一模）已知x，y，z为实数，且y+z=5−4x+3x2，z−y=1−2x+x2，则
x，y，z之间的大小关系是（ ）
A．x0，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b>2,a2+5a+2b<4 B．a+b<2,a2+5a+2b<4
C．a+b>2,a2+5a+2b>4 D．a+b<2,a2+5a+2b>4
【变式8-3】（2025·山东淄博·一模）已知 为实数，设 ，则 的最大值是
x d=❑√x2+6x+25−❑√x2−2x+5 d
（ ）
A．2❑√2 B．2❑√5 C．5 D．6
