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专题 21.1 一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 识别一元二次方程】..................................................................................................................................2
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】..............................................................................................................2
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】.................................................................................................3
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】.........................................................................................3
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】.........................................................................................................3
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】.........................................................................................................4
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】.........................................................................................................4
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】.............................................................................................5
知识点 1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫
做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、 未知数的最高次数是 2.
1
例如： +x=2，x2+1，x2+ y−3=0，x3−3x+8=0，(x−1)(x−2)=x2−1均不是一元二次方程.
x2
知识点 2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项.
2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是 b ， c 可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可
以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0)；
（2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)；
（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(a≠0).
知识点 3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x ，x 是一
1 2
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参
数： ( )， ( ).
ax 2+bx +c=0 a≠0 ax 2+bx +c=0 a≠0
1 1 2 2
【题型1 识别一元二次方程】
【例1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；
④ =1中，不是一元二次方程的是（ ）
❑√x2−2x+1
A．① B．② C．③ D．④
【变式1-1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是
（ ）
1
A．x2+ =0 B．ax2+bx+c=0
x2
C．x2+x−2=0 D．3x−2xy+5 y2=0
【变式1-2】（24-25八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，不是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+1=0 B．x−2y−3=0 C．2x2=0 D．y2−3 y+4=0
【变式1-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元二次方程的有（ ）
1
①3x2−x=0；②ax2+bx+c=0；③3x+ =0；④2x2−1=(x−1)(x−2)；⑤(5x−2)(3x−7)=15x2
x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程(m+1)x|4m)−2+27mx+5=0是一元二次方
程，则m= ．
【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程ax2−x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的取值
范围为（ ）
A．a≠0 B．a>3 C．a=0 D．a≥0
【变式2-2】（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）若方程 是关于 的一元二次方程，则
(a+1)x3a2−1=0 x
a= ．
【变式2-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−1=0有一个解是0，则m=
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
【例3】（24-25九年级上·河南商丘·期中）方程(3x+1)(x−1)=5整理成一元二次方程的一般形式后，它
的二次项系数与一次项系数的比值是 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，
一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3,−5,−2 B．3,−5x,2 C．3,5x,−2 D．3,−5,2
【变式3-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程x2+4x−1=x+5化为一般形式后，一次项系数和常数
项分别为（ ）
A．1和3 B．1和−6 C．3和−6 D．3和4
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为−3，常数项
为−4的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
【例4】（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程mx2+mx=3x+12中不含x的一次项，
则此方程的解为 ．
【变式4-1】（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程(m−1)x2+5x+m2−1=0的常
数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．±1
【变式4-2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于 的一元二次方程 化成一般形
x 3x2+x−2=ax(x−2)
式后，其二次项系数为1，常数项为−2 ，则该方程中的一次项系数为 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·四川广元·期中）若关于的一元二次方程2x2−(m+1)x=x(x+1)化成一般形
式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，则m的值为 ．
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
【例5】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）若x=4是关于x的方程ax2−bx=8的解，则2025−8a+2b的
值为 ．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知a是方程x2+3x−1=0的一个根，则
(a+4)(a−1)的值为（ ）
A．1 B．3 C．−3 D．−5
【变式5-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程x2−3x−1=0的一个根，则−2m2+6m+19的
值为 ．【变式5-3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知m是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式
的值为 ．
(m+1) 2+(m+1)(m−1)
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
【例6】（2025·重庆·一模）已知m为方程x2+x−3=0的一个根，则代数式m3+2m2−2m+6的值为
．
【变式6-1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如果a是一元二次方程x2=3x−2的根，则代数式
a2−3a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式6-2】（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程x2+x−4=0的一个根，则a3+2a2−3a+7的值为
【变式6-3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个
根，则 a2−11 的值等于 ．
2a3−3a2+11
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例7】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为200万元，按计划第一季度的总营
业额要达到950万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月
平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
200[1+(1+x)+(1+x) 2)=950 200(1＋x) 2=950
C． D．
200[(1+x)+(1+x) 2)=950 950(1+x) 2=200
【变式7-1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有
互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ．
【变式7-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为
40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是
3
整个矩形空地面积的 ，则此时通道的宽为 ．
8【变式7-3】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火
轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日
可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x灵石，则列出方
程为（ ）
( x ) ( x )
A．(50−x) 80+ ×10 =4000 B．(50−x−30) 80+ ×10 =4000
2 2
C．(50−x−30)(80+10x)=4000 D．(50−2x−30)(80+10x)=4000
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
【例8】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)有一根为
x=2024，则关于y的一元二次方程c y2+by+a=0(ac≠0)必有一根为（ ）
1 1
A．2024 B．−2024 C． D．−
2024 2024
【变式8-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的方程 （h，k均为常数）的解
(x+ ℎ) 2+k=0
是 ， ，则关于x的方程 的解是 ．
x
1
=−3 x
2
=2 (x+ ℎ−3) 2+k=0
【变式8-2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为
，则一元二次方程 必有根为（ ）．
x=2022 a(x+1) 2+bx+b=−2
A．2023 B．2020 C．2021 D．2022
【变式8-3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程 有一根为
ax2+bx+2=0(a≠0)
，则一元二次方程 必有一根为（ ）
x=2025 a(x−1) 2+bx+2=b
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
