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专题 21.4 一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】.............................................................................................1
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】.....................................................................2
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】.....................................................................2
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】.........................................................................................................2
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】.............................................................................................3
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】.....................................................................................3
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】.........................................................................................3
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】.................................................................................4
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】.............................................................................................4
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】.........................................................................................5
知识点 一元二次方程根与系数的关系
−b+❑√b2−4ac
1. 由求根公式可得当∆≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x = ，
1 2a
−b−❑√b2−4ac b c
x = ,则x +x =− ，x x = ．
2 2a 1 2 a 1 2 a
例如：方程x2+px+q=0的两根为x ，x ，则x +x =−p，x x =q．
1 2 1 2 1 2
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
b a
【例1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）若a,b是关于x的方程x2−x−3=0的两实数根，则 + 的值
a b
为 ．【变式1-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知a,b是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，
则ab−a−b= ．
【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）一元二次方程x2+x−2=0的两个根分别是x ，x ，则
1 2
的值为 ．
x2+x2
1 2
【变式1-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程x2+2x−m2−m=0（m为正整数）的
两根分别记为α ，β ，如：当m=1时，方程的两根记为α ，β ，则
m m 1 1
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ + = ．
α β α β α β
1 1 2 2 2025 2025
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则代数式
2α2+6α+2β+5的值为 ．
【变式2-1】（2025·四川广安·中考真题）已知方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，则代数式
a2−4a+b的值为 ．
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知a和b是方程x2+4x−4=0的两个根，则
a2+5a−b(a−1)的值为 ．
【变式2-3】（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程x2−x=3的两个实数根，那么2n2−mn+2m的
值是 ．
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
【例3】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知α、β是方程x2+2x−1=0的两个实根，则α3+5β+2的
值是 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知α、β是方程x2+4x+2=0的两个实根，则
α3+14β+5的值是 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程x2+x−3=0的两个根，那
3
么多项式m3+3n−mn+ +2032的值是 ．
n
【变式3-3】（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知α，β是一元二次方程x2+x−3=0的两根，求
α6−40β+3的值为
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
【例4】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−mx+2m−1=0有两个实数6
根x ，x ．实数m满足(x −1)(x −1)= ，则实数m的值为 ．
1 2 1 2 m−1
【变式4-1】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知x ，x 是关于x的方程x2−mx+1=0的两个实数根，
1 2
且 ，则m的值等于 ．
(x −2)(x −2)=−3
1 2
【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知方程x2+(4−2m)x+m2−5=0的两根之积是两根
之和的2倍，则m= ．
【变式4-3】（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程x2−2mx+m2−4=0的两个根x ，x 满足
1 2
x =2x +3，且x >x ，则m的值为 ．
1 2 1 2
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
【例5】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程4x2−5x−(m+5)=0的解中，仅有一个正
数解，则m的取值范围是 ．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有两个
不相等的实数根x ,x ，且x ,x 满足2x x >x +x ，则m的取值范围是 ．
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式5-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的一元二次方程ax2+(a+2)x+1=0有两个不相
等的实数根x ,x ，且x <10，b>0，c<0，则
这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
【例8】（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其
中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实
1
数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则 是方
m
程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x=1，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【变式8-1】（22-23九年级上·江苏南京·期中）若关于 的一元二次方程 的两根分别为
x a(x+ ℎ) 2+k=0 −3
、 ，则方程 的根为 ．
2 a(x−1+ ℎ) 2+k=0
【变式8-2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）若x =2025，x =1是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个
1 2
2027
根，则方程ax2+bx− c=0的解为 ．
2025【变式8-3】关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程
y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．
(p−2) 2+(q−2) 2＜8
C．q是正数，p是负数 D．
(p−2) 2+(q−2) 2≥8
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】
【例9】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程
x2−2( m+1)x+m2+5=0的两个根，则m的值是 ．
【变式9-1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次
方程x2−6x+m=0的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ．
【变式9-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x
m 1
的方程x2−mx+ − =0的两个实数根，当四边形ABCD是菱形时，其周长为 ．
2 4
【变式9-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程
x2−(k+2)x+4k=0的两根，则该直角三角形的斜边长为 ．
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
【例10】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m+1)x+2=0．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为 ，求代数式 的值．
x ,x m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江·期中）关于x的一元二次方程x2−5x+k=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−5x+k=0有
一个相同的根，求此时m的值．
(3)若方程x2−5x+k=0的两个实数根为x ,x ，满足x =4x ，求此时k的值．
1 2 1 2
【变式10-2】（2025·四川南充·二模）已知a、b是一元二次方程x2−2x+k2−2=0的两个实数根．
(1)求整数k的取值；
(2)若等式a2+2b−5=0成立，求整数k的值．
【变式10-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根 ，且满足 ，则称此类方程为“和积方程”．
ax2+bx+c=0(a≠0) x ,x |x +x )=|x ⋅x )
1 2 1 2 1 2
例如：x2− 9 x+ 9 =0，即(x−3) ( x− 3) =0，解得x =3,x = 3
2 2 2 1 2 2
3 3 9 9
∵∣3+ ∣=∣3× ∣，∴x2− x+ =0是“和积方程”．
2 2 2 2
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两
b c
个实数根为x ，x ，则：x +x =− ,x ⋅x = ，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达
1 2 1 2 a 1 2 a
定理”．
(1)方程x2−5x+6=0 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程x2−(n+3)x+3n=0是“和积方程”，则n=_____
(3)若关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+2m=0是“和积方程”，求m的值．
