文档内容
专题 21.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】..............................................................................................................1
【题型2 配方法解一元二次方程】..........................................................................................................................5
【题型3 根的判别式】..............................................................................................................................................8
【题型4 公式法解一元二次方程】........................................................................................................................10
【题型5 因式分解法解一元二次方程】................................................................................................................12
【题型6 换元法解一元二次方程】........................................................................................................................14
【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】.......................................................................................................18
【题型8 配方法】....................................................................................................................................................20
知识点 1 直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为❑√a，平方根为±❑√a．
例如：144的算术平方根为❑√144=12，平方根为±❑√144=±12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如x2=25，解得x=±5．
一般地，对于方程x2=p．
方程有两个不等的实数根x =❑√p，
p>0 1
x =−❑√p
2
p=0 方程有两个相等的实数根x =x =0
1 2
p<0 方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为x2=p或(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的形式；
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点 2 配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全
(x+a) 2=b
平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤 方法 实例(9 y2−18 y−4=0)
将常数项移到方程的右边，
一移 移项 含未知数的项移到方程的左 9 y2−18 y=4
边
二化 二次项系数化为1
方程左、右两边同时除以二 y2−2y= 4
次项系数 9
4
y2−2y+1= +1
方程左、右两边同时加上一 9
三配 配方
次项系数一半的平方 13
即(y−1) 2=
9
利用平方根的意义直接开平 ❑√13
四开 开平方 (y−1)=±
方 3
❑√13
y =1+ ，
1 3
五解 得出两个根 移项，合并同类项
❑√13
y =1−
2 3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等
的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就
没有实数根．
3. 解题依据：(a±b) 2=a2±2ab+b2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则(x±b) 2=x2±2bx+b2
．
知识点 3 一元二次方程根的判别式
b 2 b2−4ac
1. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，通过配方可得(x+ ) = ，则方程根的情况由
2a 4a2
b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即
∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
知识点 4 公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
1. 当∆≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这个式
2a
子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法
叫做公式法．
−b±❑√b2−4ac
∆>0 方程有两个不相等的实数根x=
2a
b
∆=0 方程有两个相等的实数根x =x =−
1 2 2a
∆<0 方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定 a ， b ， c 的值；
（2）求出∆=b2−4ac的值；
−b±❑√b2−4ac
（3）若∆≥0，则将a，b，c的值代人求根公式x= 求出方程的根，若∆<0，则方程无实
2a
数根．
知识点 5 因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
四解 写出方程的两个解
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
【例1】若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0
【答案】B
【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然
后求得a的取值范围．
【详解】∵方程(x﹣4)2＝a有实数解，
∴x﹣4＝±❑√a，
∴a≥0，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a
（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把
方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．解答该题时，还利
用了二次根式有意义的条件这一知识点．
【变式1-1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：(3x−1) 2=(x−1) 2．
1
【答案】x =0，x = ．
1 2 2
【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可．
【详解】解：(3x−1) 2=(x−1) 2，
开方得3x−1=±(x−1)，
∴3x−1=x−1或3x−1=−x+1，
1
∴x =0，x = ．
1 2 2【变式1-2】形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程，它的根是（ ）
A．x=±❑√n B．x=±m+❑√n C．x=±❑√n−m D．x=−m±❑√n
【答案】D
【分析】因为方程的左边是一个完全平方式，且被开方数n≥0，所以可以利用数的开方直接求解．
【详解】因为n≥0，开方得x＋m＝±❑√n，
移项得：x＝−m±❑√n．
故选D．
【点睛】本题需要运用整体思想，会把被开方数看成整体，且要注意n为正数，以使方程有解．
【变式1-3】（2025·广东佛山·二模）新定义：a⊗b=a2−b．若(x−1)⊗3=1，则x的值为 ．
【答案】3或−1
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
根据题意得到(x−1) 2−3=1，即(x−1) 2=4，得到x−1=±2，求出x=3或x=−1，即可得到答案．
【详解】解：∵新定义：a⊗b=a2−b，(x−1)⊗3=1，
∴ (x−1) 2−3=1，即(x−1) 2=4，
∴ x−1=±2，
解得：x=3或x=−1，
故答案为：3或−1．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责
完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始
出现的．”则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把2x2+4x−1=0进行移项，再把二次项系数化1，然
后配方，再解出x的值，即可作答．
【详解】解：依题意，2x2+4x−1=0，移项得2x2+4x=1，
1
整理得x2+2x=
，
2
3
∴x2+2x+1=
2
3
∴(x+1) 2= ，
2
√3 ❑√6
∴x+1=±❑ =±
2 2
❑√6 ❑√6
∴x = −1,x =− −1．
1 2 2 2
观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的，
故选：B
【变式2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程x2+8x+3=0时，若将方程变形为
(x+p) 2=q，则q−p=（ ）
A．9 B．17 C．13 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键；
先将原方程配方得到(x+4) 2=13，即可得出p、q的值，进而可得答案.
【详解】解：方程x2+8x+3=0即为x2+8x=−3，
所以x2+8x+16=−3+16=13，
即(x+4) 2=13，
∴p=4,q=13，
∴q−p=13−4=9；
故选：A.
【变式2-2】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程：
(1)x2−8x+12=0．
(2)4x2−7x+2=0；
【答案】(1)x =6，x =2．
1 2【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解
题的关键．
【详解】解：(1)x2−8x+12=0
x2−8x+42=−12+42
(x−4) 2=4
x−4=±2
x−4=2或x−4=−2
∴x =6，x =2．
1 2
：(2)4x2−7x+2=0，
4x2−7x=−2
7 1
x2− x=− ，
4 2
配方得x2−
7
x+
(7) 2
−
(7) 2
=−
1
，
4 8 8 2
( 7) 2 49 1
∴ x− − =−
8 64 2
( 7) 2 17
∴ x− =
8 64
7 ❑√17
∴x− =± ，
8 8
7+❑√17 7−❑√17
∴x = ，x = ．
1 8 2 8
【变式2-3】（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相
应的任务．
解：3x2+12x−6=0
二次项系数化为1，得x2+4x−2=0 ……………………第一步
移项，得x2+4x=2．……………………第二步
配方，得x2+4x+4=2+4，即(x+2) 2=6．……………………第三步
由此，可得x+2=❑√6．……………………第四步
所以，x=−2+❑√6……………………第五步任务一、填空：
①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空）
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符
号语言填空）
③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：4x2−12x−2=0．
【答案】任务一：①等式的基本性质；②a2+2ab+b2=(a+b) 2；③四；没有正确运用平方根的意义
3 ❑√11 3 ❑√11
任务二：x = + ，x = −
1 2 2 2 2 2
【分析】本题考查等式的性质，完全平方公式，平方根意义，配方法解一元二次方程等．
任务一：①利用等式的基本性质作答即可；②利用完全平方公式作答即可；③利用平方根意义作答即可；
任务二：配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：任务一：①等式的基本性质；或填 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍
是等式
②a2+2ab+b2=(a+b) 2，
③ 四，没有正确运用平方根的意义；
任务二：解：原方程可化为：4x2−12x−2=0，
配方得：x2−3x+ (3) 2 = 1 + 9 ， 即 ( x− 3) 2 = 11 ，
2 2 4 2 4
3 √11
∴x− =±❑ ，
2 4
3 ❑√11 3 ❑√11
∴x = + 或x = − ．
1 2 2 2 2 2
【题型3 根的判别式】
【例3】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−(m+n)x+mn=0，其中m,n在数轴
上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．两根之和小于0 D．两根之积大于0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．根据数轴上表示的点的值和根的判别式Δ=(m+n) 2−4mn，判定根的情况有两个不相等
实数根，结合x +x =m+n<0，x x =mn<0可得答案．
1 2 1 2
【详解】解：由数轴看出m<0，n>0，|m)>|n)，
∵x2−(m+n)x+mn=0是关于x的一元二次方程，
∴Δ=(m+n) 2−4mn，x +x =m+n<0，x x =mn<0，
1 2 1 2
∵m<0，n>0，
∴−4mn>0
∴Δ=(m+n) 2−4mn>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
∴A，B，D不符合题意，C符合题意
故选：C．
【变式3-1】若关于x的方程3x2−5x+a=0没有实数根，则a的取值范围是（ ）
25 25 25 25
A．a> B．a< C．a≤ D．a≥
12 12 12 12
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式．根据没有实数根得到Δ=(−5) 2−4×3a<0，解不等式
即可．
【详解】解：∵关于x的方程3x2−5x+a=0没有实数根，
∴Δ=(−5) 2−4×3a<0，
25
解得a> ，
12
故选：A
【变式3-2】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m=0．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当方程的一个根是1时，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
2
(2)m=−
3
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式判定即可；
（2）将x=1代入x2+(2m+1)x+m=0，求解即可．
【详解】（1）解：∵Δ=(2m+1) 2−4m
=4m2+4m+1−4m
=4m2+1>0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x=1代入x2+(2m+1)x+m=0，
得12+(2m+1)+m=0，
2
解得：m=− ．
3
【变式3-3】（2025·河南焦作·二模）定义运算：a※b=a2+ab−2b2，例如4※3=42+4×3−2×32，
则不解方程，判断方程(x+1)※2=0的根的情况是 ．
【答案】有两个不等实数根
【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键．
先利用新定义得到(x+1) 2+2(x+1)−2×22=0，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即
可．
【详解】解：∵(x+1)※2=0，
∴(x+1) 2+2(x+1)−2×22=0，
即x2+4x−5=0，
∵a=1,b=4,c=−5
∴Δ=b2−4ac=16+20=36>0
∴方程(x+1)※2=0有两个不等实数根，
故答案为：有两个不等实数根．
【题型4 公式法解一元二次方程】
【例4】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到
5±❑√(−5) 2−4×2×(−1)
x= ，则该一元二次方程可能为（ ）
2×2A．2x2+5x−1=0 B．2x2−5x−1=0
C．−2x2−5x+1=0 D．5x2−2x−1=0
【答案】B
−b±❑√b2−4ac
【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式x= ，对比已
2a
知式子确定a，b，c的值．
5±❑√(−5) 2−4×2×(−1)
通过求根公式x= ，分析出a，b，c．
2×2
−b±❑√b2−4ac 5±❑√(−5) 2−4×2×(−1)
【详解】一元二次方程求根公式为x= ，已知x= ，
2a 2×2
由2a=2×2，可得a=2，
由−b=5，可得b=−5，
由4ac=4×2×(−1)，可得c=−1，
将a=2，b=−5，c=−1代入一元二次方程ax2+bx+c=0，
得到2x2−5x−1=0，对应选项B．
故选：B．
【变式4-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程：(x−2)(3x−5)=0．
解：方程化为3x2−11x+10=0．
a=3,b= ，c=10．
Δ=b2−4ac= −4×3×10=1>0．
方程 实数根．
x= = ，
5
即x = ，x = ．
1 2 3−(−11)±❑√1 11±1
【答案】 −11 (−11) 2 有两个不相等的 2
2×3 6
【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．
【详解】解：方程化为3x2−11x+10=0．
a=3，b=−11，c=10．
Δ=b2−4ac= (−11) 2−4×3×10=1>0．
方程有两个不相等的实数根．
−(−11)±❑√1 11±1
x= = ，
2×3 6
5
即x =2，x = ．
1 2 3
−(−11)±❑√1 11±1
故答案为：−11；(−11) 2；有两个不相等的； ； ；2．
2×3 6
【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．
−b+❑√b2−4c
【变式4-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知x= （b2−4c≥0），则式子x2+bx+c
2
的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的求根公式，本题属于
基础题型，根据一元二次方程的求根公式即可求出答案．
−b+❑√b2−4c
【详解】解：由一元二次方程的求根公式可知：x2+bx+c=0的其中一个解为x= ，
2
故答案为：0．
【变式4-3】用公式法解方程：
(1)−3x=1−x2；
(2)2x2−4x−3=0．
3+❑√13 3−❑√13
【答案】(1)x = ,x =
1 2 2 2
2+❑√10 2−❑√10
(2)x = ,x =
1 2 2 2
【分析】（1）先算出Δ=b2−4ac=13，再代入公式进行计算，即可得到答案；
（2）先算出Δ=b2−4ac=40，再代入公式进行计算，即可得到答案；
本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：∵−3x=1−x2，
∴x2−3x−1=0，
∴Δ=b2−4ac=9−4×1×(−1)=13，
3±❑√13 3±❑√13
∴x= = ，
2×1 2
3+❑√13 3−❑√13
∴x = ,x = ；
1 2 2 2
（2）解：∵2x2−4x−3=0，
∴Δ=b2−4ac=16−4×2×(−3)=40，
4±❑√40 2±❑√10
∴x= = ，
2×2 2
2+❑√10 2−❑√10
∴x = ,x =
1 2 2 2
【题型5 因式分解法解一元二次方程】
【例5】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若方程x2−8x+12=0的两个根恰好是等腰△ABC的两条
边长，则△ABC的周长为（ ）．
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得x =2，x =6，然后根
1 2
据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长，进行分类讨论是解题的关
键．
【详解】解：x2−8x+12=0，
解得x =2，x =6，
1 2
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2=14；
②当△ABC的腰为2，底边为6时，不能构成三角形．
综上所述，该三角形的周长的14．
故选：B．
【变式5-1】（24-25八年级下·浙江金华·期中）解方程
(1)x2−4x−5=0
(2)(x−4) 2=10(x−4)
【答案】(1)x =5，x =−1，
1 2(2)x =4，x =14
1 2
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）分解因式为(x−4)[(x−4)−10)=0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：(x−5)(x+1)=0，
解得：x =5，x =−1；
1 2
（2）解：整理，得：(x−4) 2−10(x−4)=0，
因式分解，得：(x−4)[(x−4)−10)=0，
即：x−4=0或x−14=0，
解得：x =4，x =14．
1 2
【变式5-2】（2025·广东广州·一模）根据如图所示的程序计算函数y的值．若输入x的值为4，则输出y的
值为7．若输出的y值为13，则输入的x值为 ．
【答案】−3或7/7或−3
【分析】本题考查函数值、解一元二次方程，先根据已知求得b值，再由y=13分别解方程求得x值即
可．
【详解】解：∵输入x的值为4，则输出y的值为7，且4>3，
∴2×4+b=7，解得b=−1，
若输出的y值为13，
则当x>3时，由2x−1=13得x=7；
当x<3时，由x2−x+1=13得x =−3，x =4（舍去），
1 2
综上，若输出的y值为13，则输入的x值为−3或7，
故答案为：−3或7．
【变式5-3】（2025·江苏常州·一模）若a2−b2=20，ab=24，则2a−b的值是（ ）
A．±8 B．±12 C．±14 D．±16
【答案】A【分析】根据ab=24得到a=
24
且a，b同号，结合a2−b2=20得到
(24) 2
−b2=20，整理后，解方程即
b b
可．
本题考查了非负性，解方程，求代数式的值，熟练掌握解方程是解题的关键．
24
【详解】解：由ab=24得到a= 且a，b同号，
b
∵a2−b2=20
∴
(24) 2
−b2=20
b
∴(b2) 2 +20b2−242=0，
∴(b2+36)(b2−16)=0，
又b2+36≥36，
∴b2−16=0，
解得b=±4，
{a=6) {a=−6)
故 或 ，
b=4 b=−4
当a=6,b=4时，2a−b=8；
当a=−6,b=−4时，2a−b=−8；
故选：A．
【题型6 换元法解一元二次方程】
【例6】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x满足方程(x2+x)(1−x2−x)+6=0，则x2+x的值是
．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元二次方程，令t=x2+x，则原式为t(1−t)+6=0，解方程即可解答，注意方程
无实数根的情况是解题的关键．
【详解】解：令t=x2+x，
则原式为t(1−t)+6=0，
解得t =3,t =−2，
1 2
当x2+x=3时，Δ=12+4×1×3=13>0，方程有实数根，
当x2+x=−2时，Δ=12−4×1×2=−7<0，方程没有实数根，∴x2+x=3，
故答案为：3．
【变式6-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知实数x满足(a2+b2) 2 −4(a2+b2)−12=0，则代数
式a2+b2+1的值是（ ）
A．7 B．−1 C．7或−1 D．−5或3
【答案】A
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握换元法解一元二次方程，代数式求值
是解题的关键．
设a2+b2=x，x>0，则x2−4x−12=0，可求满足要求解为x=6，然后代值求解即可．
【详解】解：设a2+b2=x，x>0，
∴x2−4x−12=0，
(x+2)(x−6)=0，
解得，x=−2（舍去）或x=6，
∴a2+b2+1=6+1=7，
故选：A．
【变式6-2】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）关于x的方程a(x+k) 2+2025=0的解是x =−3，
1
x =2（a、k、b均为常数，a≠0）．
2
问题：
（1）关于x的方程a(x+1+k) 2+2025=0的根是 ；
（2）关于x的方程a(x−k+4) 2+2025=0的根为 ．
【答案】 x =−4，x =1 x =−1，x =−6
1 2 1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键．
（1）将x+1看作整体，由题意可知x+1=−3，x+1=2再求解即可；
（2）仿照（1）计算即可．
【详解】解：（1） 方程a(x+k) 2+2025=0的解是x =−3，x =2，
1 2
∵
设c=x+1，则a(x+1+k) 2+2025=0可化为a(c+k) 2+2025=0，
∴
c =−3，c =2，
1 2
∴x+1=−3，x+1=2，
∴解得：x =−4，x =1．
1 2
故答案为：x =−4，x =1．
1 2
（2）设x+4=−t，则a(x−k+4) 2+2025=0可化为a(−t−k) 2+2025=0，
即a(t+k) 2+2025=0，
关于x的方程a(x+k) 2+2025=0的解是x =−3，x =2，
1 2
∵
t =−3，t =2，即−t =3,−t =−2，
1 2 1 2
∴x+4=3,x+4=−2，
∴解得：x =−1，x =−6．
1 2
故答案为：x =−1，x =−6．
1 2
【变式6-3】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程
的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形
式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
【例如】解一元二次方程x2−4x−6=0，
设x= y+m（m为常数），
将原方程化为(y+m) 2−4(y+m)−6=0，①
方程①整理，得y2+(2m−4)y+m2−4m−6=0，②
令2m−4=0，解得m=2．
当m=2时，m2−4m−6=22−4×2−6=−10，
∴方程②化为y2−10=0，解得y =❑√10，y =−❑√10，
1 2
∴x = y +m=___________，x = y +m=___________．
1 1 2 2
任务：
(1)直接写出材料中“ ”部分方程的解x =___________，x =___________．
1 2
(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3x2+12x+1=0．
【答案】(1)❑√10+2，−❑√10+2；
❑√33 ❑√33
(2)x = −2，x =− −2
1 3 2 3【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
（1）根据材料中的方法求出解即可；
1
（2）设x= y+m（m为常数），将原方程化为(y+m) 2+4(y+m)+ =0，方程整理，得
3
1 1 11
y2+(2m+4)y+m2+4m+ =0，令2m+4=0解得m=−2，当m=−2时，m2+4m+ =− ，方程化
3 3 3
11 ❑√33 ❑√33
为y2− =0，解得y = ，,y =− ，即可求出答案．
3 1 3 2 3
【详解】（1）解：解一元二次方程x2−4x−6=0，
设x= y+m（m为常数），
将原方程化为(y+m) 2−4(y+m)−6=0，①
方程①整理，得y2+(2m−4)y+m2−4m−6=0，②
令2m−4=0，解得m=2．
当m=2时，m2−4m−6=22−4×2−6=−10，
∴方程②化为y2−10=0，解得y =❑√10，y =−❑√10，
1 2
∴ x = y +m=❑√10+2，x = y +m=−❑√10+2
1 1 2 2
故答案为：❑√10+2，−❑√10+2；
（2）设x= y+m（m为常数），
1
将原方程化为(y+m) 2+4(y+m)+ =0①
3
方程①整理，得
1
y2+(2m+4)y+m2+4m+ =0②
3
令2m+4=0解得m=−2，
1 11
当m=−2时，m2+4m+ =− ，
3 3
11
∴方程②化为y2− =0
3
❑√33 ❑√33
解得 y = ，y =− ，
1 3 2 3❑√33 ❑√33
∴ x = y +m= −2，x = y +m=− −2．
1 1 3 2 2 3
【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】
【例7】（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思
想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程x2−2|x|−3=0．
解：①当x≥0时，原方程为x2−2x−3=0，
解得x =−1（与x≥0矛盾，舍去），x =3．
1 2
②当x<0时，原方程为x2+2x−3=0，
解得x =1（与x<0矛盾，舍去），x =−3．
1 2
所以原方程的根是x =3，x =−3．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类
讨论．
任务：请参照上述方法解方程：x2−|x|−2=0．
【答案】x =2，x =−2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思
考问题．
本题先分类讨论，将绝对值方程化为一元二次方程，进而求解一元二次方程，舍弃不符合条件的答案，即
可得到本题的答案；
【详解】解：分两种情况讨论
（1）当x≥0时，原方程可化为x2−x−2=0，
解得：x =2，x =−1（舍去）；
1 2
（2）当x<0时，原方程可化为x2+x−2=0，
解得：x =−2，x =1（舍去）；
1 2
∴综上所述，原方程的根是x =2，x =−2．
1 2
【变式7-1】（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程x2 −|x+1|−1=0．
【答案】x =2,x =−1
1 2
【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：分两种情况：
①当x+1≥0，即x≥−1时，原方程化为x2 −(x+1)−1=0，解得x =2,x =−1；
1 2
②当x+1<0，即x<−1时，原方程化为x2+(x+1)−1=0，解得x =0（舍去），x =−1（舍去）．
3 4
综上所述，原方程的解是x =2,x =−1．
1 2【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
【变式7-2】解方程x2 −2|2x+3)+9=0．
【答案】x =1,x =3
1 2
3 3
【分析】仿照例题，分x≥− 与x<− ，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．
2 2
3
【详解】当2x+1≥0，即x≥− 时，
2
原方程可化为：x2 −2(2 x+3)+9=0
整理得：x2 −4x+3=0
解得：x =1,x =3
1 2
3
当2x+1<0，即x<− 时，
2
原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0
整理得x2+4x+15=0
∵Δ=42 − 4×1×15=−44<0,
∴此方程无实数解，
综上所述，原方程的解为：x =1,x =3
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．
【变式7-3】（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）解方程x2 −|x− 5|−2=0
−1+❑√29 − 1−❑√29
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】根据题意分x-5≥0和x-5＜0两种情况，分别解方程即可．
【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2 −x+5−2=0，即x2 −x+3=0，
a=1,b=−1, c=3，
∴Δ=b2 −4ac=(−1) 2 − 4×，1×3=−11<0
∴原方程无解，
②当x-5＜0时，即x＜5时，原方程化为x2+x− 5−，2=即0x2+x−7=0，
a=1,b=1,c=−7，
∴Δ=b2 −4ac=12 −4×1× (−7)=29>0
−1±❑√29
x=
2×1
−1+❑√29 − 1−❑√29
解得：x = ，x = ．
1 2 2 2【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．
【题型8 配方法】
【例8】（2025·安徽六安·一模）已知x，y，z为实数，且y+z=5−4x+3x2，z−y=1−2x+x2，则
x，y，z之间的大小关系是（ ）
A．xx，z≥ y，由此即可得出答案．
【详解】解：∵y+z=5−4x+3x2，z−y=1−2x+x2，
解得y=x2−x+2，z=2x2−3x+3，
∴y−x=x2−x+2−x=x2−2x+2=(x−1) 2+1>0，
∴y>x；
∵z−y=1−2x+x2=(x−1) 2≥0，
∴z≥ y，
∴x0，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b>2,a2+5a+2b<4 B．a+b<2,a2+5a+2b<4
C．a+b>2,a2+5a+2b>4 D．a+b<2,a2+5a+2b>4
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质及配方法的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及配方法的
4−a 4−a 2a+4−a a+4 a+4 4
应用，由a+2b=4可得b= ，可得a+b=a+ = = .可得出 > =2， 即
2 2 2 2 2 2
a+b>2对所有a>0成立．将2b=4−a代入a2+5a+2b得：
a2+5a+2b=a2+5a+(4−a)=a2+4a+4=(a+2) 2.可得(a+2) 2>22=4， 再判断即可．
4−a
【详解】解：由a+2b=4可得b= ，
2
4−a 2a+4−a a+4
∴ a+b=a+ = = .
2 2 2
∵a>0，
∴a+4>4，
a+4 4
∴ > =2，
2 2
即a+b>2对所有a>0成立．
将2b=4−a代入a2+5a+2b得：
a2+5a+2b=a2+5a+(4−a)=a2+4a+4=(a+2) 2.
∵a>0，
∴a+2>2，
∴(a+2) 2>22=4，
即a2+5a+2b>4对所有a>0成立．
故选：C．
【变式8-3】（2025·山东淄博·一模）已知x为实数，设d=❑√x2+6x+25−❑√x2−2x+5，则d的最大值是
（ ）
A．2❑√2 B．2❑√5 C．5 D．6【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解
题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的
距离公式列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，x2+6x+25=x2+6x+16+9=(x+3) 2+42，
上式表示A(x,0)与B(−3,4)之间的距离，
x2−2x+5=x2−2x+1+4=(x−1) 2+22，
上式表示A(x,0)与C(1,2)之间的距离，
由勾股定理得BC=❑√(−3−1) 2+(4−2) 2=2❑√5，
结合三角形三边关系得d的最大值是点B和点C的距离，即d的最大值=2❑√5，
故选：B．
