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专题 21.2 一元二次方程的解法【八大题型】
【人教版】
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】.........................................................................................................1
【题型2 配方法解一元二次方程】..........................................................................................................................2
【题型3 公式法解一元二次方程】..........................................................................................................................3
【题型4 因式分解法解一元二次方程】..................................................................................................................3
【题型5 用指定方法解一元二次方程】..................................................................................................................4
【题型6 用适当的方法解一元二次方程..................................................................................................................4
【题型7 用换元法解一元二次方程】......................................................................................................................5
【题型8 配方法的应用】..........................................................................................................................................6
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为 或 的形式；
x2=p(p≥0) (mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（2023春·九年级课时练习）将方程 的两边同时开平方，
(2x－1) 2=9
得2x－1=________，
即2x－1＝________或2x－1＝________，
所以x ＝________，x ＝ ________．
1 2
【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）如果方程 可以用直接开平方求解，那么 的取
(x-5) 2=m-7 m
值范围是（ ）.
A．m>0 B．m⩾7
C．m>7 D．任意实数【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的
方程为( )
A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
(x+m) 2=n
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为 的形式；②方程两边同除以二
ax2+bx+c=0(a≠0)
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（2023春·九年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．
5 1
3x2- = x．
2 2
解：两边同除以3，得______________________________．
1 5
移项，得x2- x= ．
6 6
配方，得_________________________________，
1 2 121
即(x- ) = ．
12 144
两边开平方，得__________________，
1 11 1 11
即x- = ，或x- =- ．
12 12 12 12
5
所以x =1，x =- ．
1 2 6
【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程：
(1)x2-3x-1=0（配方法）；
(2)2x2-7x+3=0（配方法）．
【变式2-2】（2023春·山西太原·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x2-5x+2=0．请结合题意
填空，完成本题的解答．5 2 5 2
解：方程变形为2x2-5x+( ) -( ) +2=0，.......................第一步
2 2
5 2 17
配方，得(2x- ) - =0．.......................................第二步
2 4
5 2 17
移项，得(2x- ) = ．..........................................第三步
2 4
5 √17
两边开平方，得2x- =± ．...................................第四步
2 2
5 √17 5 √17
即2x- = 或2x- =- ．................................第五步
2 2 2 2
5+√17 5-√17
所以x = ，x = ．..................................第六步
1 4 2 4
（1）上述解法错在第 步；
（2）请你用配方法求出该方程的解．
【变式2-3】（2023春·全国·九年级专题练习）（1）请用配方法解方程2x2-6x+3=0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)．
【知识点3 公式法解一元二次方程】
-b±√b2-4ac
当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这个
2a
式子叫做一元二次方程 的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 公式法解一元二次方程】
【例3】（2023·上海·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)3x=5x2+6；
(x+3) 2 x(2x+8)
(2) +10= ．
2 5
【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用公式法解一元二次方程：2x2+7x-4=0（用公式法求
解）．
【变式3-2】（2023春·河南·九年级校考阶段练习）用公式法解方程：(x-1)(x-2)=5．
【变式3-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)9x2+1=6√6x；
(2)√2x2+4√3x-2√2=0．
【知识点4 因式分解法概念】当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方
程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2023·上海·九年级假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(√2+3)x2=x
(2) ．
(2x-1) 2-x(2x-1)=0
【变式4-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．
【变式4-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程： ；
(2x+1) 2+4(2x+1)+4=0
【变式4-3】（2023春·海南儋州·九年级专题练习）因式分解法解方程：
(1)3（x-5）2=2（5-x）；
(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；
【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2023春·九年级单元测试）按照指定方法解下列方程：
(1)3x2-15=0 （用直接开平方法）
(2)x2-8x+15=0 （用因式分解法）
(3)x2-6x+7=0 （用配方法）
(4)y2+2=2√2y（用求根公式法）
【变式5-1】（2023·全国·九年级专题练习）解方程：
(1)4x2=16．（直接开平方法）
(2)2x2-3x+1=0（配方法）
(3)x(x-2)+x-2=0（因式分解法）
(4)2x2-6x+1=0（公式法）
【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）解方程：
(1) （直接开平方法 ）
(x+6) 2=9
(2)x2+x-6=0；(公式法)
(3)x(x-2)+x-2=0；(因式分解法)
(4)x2+2x-120=0 (配方法)【变式5-3】（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x-1=0．
【题型6 用适当的方法解一元二次方程
【例6】（2023·全国·九年级假期作业）用适当方法解下列方程：
(1) ；
(2x-1) 2=9
(2)12x2-45x-525=0；
(3) ；
(3x-1) 2-(x+1) 2=0
(4) ；
(x-2) 2+x(x-2)=0
1
(5) x2-5√2x+1=0；
2
(6)0.3x2+0.5x=0.3x+2.1．
【变式6-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）请选择适当方法解下列方程：
(1)2x(x-3)+x=3
(2)x(x-6)=2(x-8)
(3)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)
【变式6-2】（2023春·山东枣庄·九年级统考期中）用适当方法解下列方程：
(1)9x2-1=0
(2)4 y2-4 y+1=0
(3)x2-6x-3=0
(4) ．
x2-6x+9=(5-2x) 2
【变式6-3】（2023·宁夏中卫·九年级校考期中）用适当方法解方程
(1) ；
(6x-1) 2-25=0
(2)y2- y=3(y-1)
1 √2
(3)x2+ = x；
8 2
(4)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8．
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】（2023春·山西忻州·九年级统考阶段练习）阅读和理解
下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务：利用换元法求方程的解
我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次
方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换
元法，下面举例说明：
5x+3 2
例：解方程：( ) -(5x+3)-15=0．
2
5x+3
解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设 = y，
2
则原方程可化为 ，∴ ，∴ ，∴ ，
y2-2y-15=0 (y-1) 2=16 y-1=±4 y =5,y =-3
1 2
5x+3 5x+3
∴ =5或 =-3，
2 2
7 9
∴方程的解为x = ，x =- ．
1 5 2 5
任务：
(1)上述小论文的解析过程中，解方程y2-2y-15=0的过程主要用了______．
A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
(2)解方程：x-2=3-2√x-2．
【变式7-1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）已知
(a2+b2) 2 -(a2+b2)-6=0
，求
a2+b2
的值．
【变式7-2】（2023春·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x满足 ，则代
(x2-x) 2-2(x2-x)-3=0
数式x2-x+2020的值为_______．
【变式7-3】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：
(1) ；
2(x2﹣7x) 2﹣21(x2﹣7x)+10＝0
(2) ．
(2x2+3x) 2 ﹣4(2x2+3x)﹣5=0
【题型8 配方法的应用】
【例8】（2023·全国·九年级假期作业）若W =5x2-4xy+ y2-2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小
值为__________．
【变式8-1】（2023·全国·九年级假期作业）已知N=6m-25，M=m2-2m(m为任意实数)，则M、N的
大小关系为（ ）
A．MN C．M=N D．不能确定【变式8-2】（2023·四川达州·模拟预测）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的
过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方： ；
x2-4x+2=(x-2) 2-2
②选取二次项和常数项配方： ，
x2-4x+2=(x-√2) 2+(2√2-4)x
或
x2-4x+2=(x+√2) 2-(4+2√2)x
③选取一次项和常数项配方：
x2-4x+2=(√2x-√2) 2-x2
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x2-8x+4的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+ y2+xy-3 y+3=0，求xy的值．
【变式8-3】（2023·四川成都·统考二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量
若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为时，设最佳值
为a，那么应为最小，此时_________；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为；又测
量了n次，这n次数据得到的最佳值为，则利用这次数据得到的最佳值为__________．
