文档内容
专题 21.2 一元二次方程的解法【十大题型】
【人教版】
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】..............................................................................................................1
【题型2 配方法解一元二次方程】..........................................................................................................................2
【题型3 公式法解一元二次方程】..........................................................................................................................3
【题型4 因式分解法解一元二次方程】..................................................................................................................4
【题型5 十字相乘法解一元二次方程】..................................................................................................................5
【题型6 用适当方法解一元二次方程】..................................................................................................................7
【题型7 用指定方法解一元二次方程】..................................................................................................................7
【题型8 用换元法解一元二次方程】......................................................................................................................8
【题型9 解含绝对值的一元二次方程】..................................................................................................................8
【题型10 配方法的应用】..........................................................................................................................................9
知识点1：直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为 或 的形式；
x2=p(p≥0) (mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）将方程 的两边同时开平方，
(2x－1) 2=9
得2x－1= ，
即2x－1＝ 或2x－1＝ ，
所以x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程
为( )
A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0
【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 可以用直接
(x−5) 2=m−7开平方求解，则m的取值范围是 ．
【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x(x+4)=6．
解：原方程可变形，得： ． ， ．直接开平方并整理，
[(x+2)−2)[(x+2)+2)=6 (x+2) 2−22=6 (x+2) 2=10
得． ， ．
x =−2+❑√10 x =−2−❑√10
1 2
我们称小明这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+5)(x+9)=5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得： ． ，∴ ．直接开平方并整
[(x+a)−b)[(x+a)+b)=5 (x+a) 2−b2=5 (x+a) 2=5+b2
理，得．x =c，x =d．
1 2
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
(2)请用“平均数法”解方程：(x−5)(x+7)=12．
知识点2 配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
(x+m) 2=n
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为 的形式；②方程两边同除以二
ax2+bx+c=0(a≠0)
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用配方法解方程，补全解答过程．
5 1
3x2− = x．
2 2
解：两边同除以3，得______________________________．
1 5
移项，得x2− x= ．
6 6
配方，得_________________________________，
1 2 121
即(x− ) = ．
12 144两边开平方，得__________________，
1 11 1 11
即x− = ，或x− =− ．
12 12 12 12
5
所以x =1，x =− ．
1 2 6
【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）用配方法解方程x2−6x−1=0时，配方结果正确的是
（ ）
A． B． C． D．
(x−3) 2=9 (x−3) 2=10 (x+3) 2=8 (x−3) 2=8
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解方程：x2+2mx−m2=0．
【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x−8=0的过程，请认
真阅读并完成相应的任务．
解：移项，得2x2+4x=8 第一
步
二次项系数化为1，得x2+2x=4 第二
步
配方，得(x+2) 2=8 第三
步
由此可得x+2=±2❑√2 第四
步
所以，x =−2+2❑√2，x =−2−2❑√2 第
1 2
五步
①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
②请写出你认为正确的解答过程．
知识点3 公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，
2a
这个
式子叫做一元二次方程 的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 公式法解一元二次方程】
【例3】（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得−6±❑√62−4×4×1
x= ，则该一元二次方程是 ．
2×4
【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用公式法解一元二次方程：(x−2)(3x−5)=0．
解：方程化为3x2−11x+10=0．
a=3,b= ，c=10．
Δ=b2−4ac= −4×3×10=1>0．
方程 实数根．
x= = ，
5
即x = ，x = ．
1 2 3
【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）用公式法解方程 ，下列代入公
−ax2+bx−c=0 (a≠0)
式正确的是（ ）
A． −b±❑√b2−4a×(−c) B． b±❑√b2−4ac
x= x=
2×(−a) 2a
C． b±❑√b2−4a×(−c) D． −b±❑√b2−4ac
x= x=
2×(−a) 2a
【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用求根公式法解得某方程 的两个根
ax2+bx+c=0(a≠0)
互为相反数，则（ ）
A．b=0 B．c=0 C．b2−4ac=0 D．b+c=0
知识点4 因式分解法解一元二次方程
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方
程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 因式分解法解一元二次方程】
【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）关于x的一元二次方程x(x−2)=2−x的根是（ ）
A．−1 B．0 C．1和2 D．−1和2
【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程x2−3x=−2x+6的过程：
解：方程两边因式分解，得x(x−3)=−2(x−3)，①
方程两边同除以(x−3)，得x=−2，②
∴原方程的解为x=−2．③
(1)上面的运算过程第______步出现了错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2−2n，例
如：2※3=22−2×3=−2．若x※5x=0，则方程的根为（ ）
A．都为10 B．都为0 C．0或10 D．5或−5
【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程
（1）4 y2=3 y；
(2)(2x+3)(2x−3)−x(2x+3)=0．
【题型5 十字相乘法解一元二次方程】
【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）以下是解一元二次方程 的一种方法：二
ax2+bx+c=0(a≠0)
次项的系数a分解成
a
1
a
2
，常数项c分解成
c
1
c
2
，并且把
a
1
，a
2
，c
1
，c
2
排列为： 然后按斜
线交叉相乘，再相加，得到 ，若此时满足 ，那么 就可以因
a c +a c a c +a c =b ax2+bx+c=0(a≠0)
1 2 2 1 1 2 2 1
式分解为(a x+c )(a x+c )=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2−11x−10=0按照“十字相
1 1 2 2
乘法”可因式分解为（ ）
A．(x−2)(6x+5)=0 B．(2x+2)(3x−5)=0
C．(x−5)(6x+2)=0 D．(2x−5)(3x+2)=0
【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）试用十字相乘法解下列方程
(1)x2+5x+4=0；
(2)x2+3x−10=0．
【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）解关于x的方程x2−7mx+12m2=0得（ ）A．x =−3m，x =4m B．x =3m，x =4m
1 2 1 2
C．x =−3m，x =−4m D．x =3m，x =−4m
1 2 1 2
【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）阅读下面材料：
材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式
分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+c y2，如图1，将x2项系
数a=a ⋅a ，作为第一列，y2项系数c=c ⋅c ，作为第二列，若a c +a c 恰好等于xy项的系数b，那么
1 2 1 2 1 2 2 1
可直接分解因式为：
ax2+bxy+c y2 ax2+bxy+c y2=(a x+c y)(a x+c y)
1 1 2 2
示例1：分解因式：x2+5xy+6 y2
解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；
∴ ；
x2+5xy+6 y2=(x+2y)(x+3 y)
示例2：分解因式：x2−4xy−12y2．
解：如图3，其中1=1×1，−12=−6×2，而−4=1×2+1×(−6)；
∴ ；
x2−4xy−12y2=(x−6 y)(x+2y)
材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+c y2+dx+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式
的乘积．如图4，将a=a a 作为一列，c=c c 作为第二列，f =f f 作为第三列，若a c +a c =b，
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
a f +a f =d，c f +c f =e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解
1 2 2 1 1 2 2 1
因式的结果为： ；
ax2+bxy+c y2+dx+ey+f =(a x+c y+f )(a x+c y+f )
1 1 1 2 2 2示例3：分解因式：x2−4xy+3 y2−2x+8 y−3．
解：如图5，其中1=1×1，3=(−1)×(−3)，−3=(−3)×1；
满足−4=1×(−3)+1×(−1)，−2=1×(−3)+1×1,8=(−3)×(−3)+(−1)×1；
∴
x2−4xy+3 y2−2x+8 y−3=(x−y−3)(x−3 y+1)
请根据上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：x2+3x+2= ；x2−5xy+6 y2+x+2y−20= ；
（2）若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy−6 y2−2x+my−120可用“十字相乘法”
分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy−6 y2−2x+my−120=−1的整
数解．
【题型6 用适当方法解一元二次方程】
【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)x2=4x；
(2) ；
(x−3) 2−4=0
(3)2x2−4x−5=0；
(4)(x−1)(x+2)=2(x+2)．
【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2+4x−2=0；
(2)x(x+3)=5x+15.
【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程
(1)3x2=54；
(2)(x+1)(3x−1)=1；
(3)4x(2x+1)=3(2x+1)；
(4)x2+6x=10．
【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用适当的方法解下列方程．
(1) ；
(x+2) 2−25=0
(2)x2+4x−5=0；
(3)2x2−3x+1=0．
【题型7 用指定方法解一元二次方程】
【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：
(1)x2−4x−1=0（用配方法）
(2)3x2−11x=−9（用公式法）
(3) （用因式分解法）
5(x−3) 2=x2−9
(4)2y2+4 y= y+2（用适当的方法）
【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用指定的方法解方程：
1
(1) x2−2x−5=0（用配方法）
2
(2)x2=8x+20（用公式法）
(3) （用因式分解法）
(x−3) 2+4x(x−3)=0
(4)(x+2)(3x−1)=10（用适当的方法）
【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）按指定的方法解下列方程：
(1)x2=8x+9（配方法）；
(2)2y2+7y+3=0（公式法）；
(3) （因式分解法）．
(x+2) 2=3x+6
【题型8 用换元法解一元二次方程】
【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知 ，求 的值．
(a2+b2)(a2+b2+2)−15=0 a2+b2
【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程
(x2+x) 2 +2x2+2x−3=0
，则
x2+x
的值是（
）
A．−3 B．1 C．−3或1 D．3或−1
【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）若(a+5b)(a+5b+6)=7，则a+5b= ．
【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）利用换元法解下列方程：
(1)2x4−3x2−2=0；(2) ．
(x2−x) 2−5(x2−x)+4=0
【题型9 解含绝对值的一元二次方程】
【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：
x2 −3| x|−10=0．解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2 −3x−10=0解得x =5,x =−2（舍去）；
1 2
②当x<0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x =−5, x =2（舍去）．
3 4
综上所述，原方程的解是x =5,x =−5．
1 2
请参照上述方法解方程x2 −|x+1|−1=0．
【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）解方程x2+2|x+2|−4=0．
【变式9-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）解方程x2 −2|2x+3)+9=0．
【变式9-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）解方程x2 −|x− 5|−2=0
【题型10 配方法的应用】
【例10】（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将
一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式
的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式y2+4 y+8的最小值．
解： ，
y2+4 y+8= y2+4 y+4+4=(y+2) 2+4
∵ ，∴
(y+2) 2≥0 (y+2) 2+4≥4
∴当y=−2时，y2+4 y+8的最小值是4．
(1)【类比探究】
求代数式x2−6x+12的最小值；
(2)【举一反三】
若y=−x2−2x当x=________时，y有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；
(3)【灵活运用】
已知x2−4x+ y2+2y+5=0，则x+ y=________；
(4)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m
），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m．当BF为
多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【变式10-1】（2023·河北石家庄·一模）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是
（ ）
A．B−A的最大值是0 B．B−A的最小值是−1
C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数
【变式10-2】（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）已知三角形的三条边为a,b,c，且满足
a2−10a+b2−16b+89=0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
【变式10-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法
还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．
解： ；
x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1) 2+2
无论 取何实数，都有 ，
∵ x (x+1) 2≥0
，即 的最小值为 ．
∴(x+1) 2+2≥2 x2+2x+3 2
【尝试应用】（1）请直接写出2x2+4x+10的最小值______ ；
【拓展应用】（2）试说明：无论 取何实数，二次根式 都有意义；
x ❑√x2+x+2
【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最
大值．
