文档内容
专题 01 一元二次方程的解法（100 题）（举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共100题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对一元二次方程的解法的理解，提
升各种方法解一元二次方程的水平！
1．（24-25九年级上·全国·期中）解下列方程：
(1)(2x−1) 2=4(2x−1)；
(2)3x2−4x−2=0．
5 1
【答案】(1)x = ，x = ；
1 2 2 2
2+❑√10 2−❑√10
(2)x = ，x = ．
1 3 2 3
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵(2x−1) 2=4(2x−1)，
∴(2x−1) 2−4(2x−1)=0，
∴(2x−1−4)(2x−1)=0，
∴2x−1−4=0或2x−1=0，
5 1
解得x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：∵3x2−4x−2=0，
∴a=3，b=−4，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×3×(−2)=40>0，
−b±❑√b2−4ac 4±❑√40
∴x= = ，
2a 62+❑√10 2−❑√10
解得x = ，x = ．
1 3 2 3
2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)x2−6x=−9；
(2)(x+1)(x−3)=6．
【答案】(1)x =x =3
1 2
(2)x =1+❑√10,x =1−❑√10
1 2
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）移项后，利用因式分解法进行求解即可；
（2）先根据乘法法则展开，再利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：x2−6x=−9，
x2−6x+9=0，
(x−3) 2=0，
∴x =x =3；
1 2
（2）原方程整理，得：x2−2x=9，
x2−2x+1=9+1，
(x−1) 2=10，
x−1=±❑√10，
∴x =1+❑√10,x =1−❑√10．
1 2
3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）解方程：2x2+3x+1=x2+1．
【答案】x =0，x =−3
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程．
先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解：2x2+3x+1=x2+1，
x2+3x=0，
x(x+3)=0，
x=0或x+3=0，
解得x =0，x =−3．
1 2
4．（24-25八年级下·北京海淀·期中）解方程(1)4x2+2=66
(2)x2−8x+1=0（配方法）
【答案】(1)x =4,x =−4
1 2
(2)x =4+❑√15,x =4−❑√15
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：4x2+2=66，
4x2=64，
x2=16，
解得：x =4,x =−4；
1 2
（2）解：x2−8x+1=0，
x2−8x+1+15=15
(x−4) 2=15
x−4=±❑√15
解得：x =4+❑√15,x =4−❑√15．
1 2
5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）解方程：
(1)x2+8x−20=0
(2)3x2−6x=1
(3)(2x+1) 2=(x−1) 2
(4)(x−1)(x+2)=2(x+2)
【答案】(1)x =−10，x =2
1 2
2❑√3 2❑√3
(2)x =1+ ，x =1−
1 3 2 3
(3)x =−2，x =0
1 2
(4)x =3，x =−2
1 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点，选择合适的解法是解题的关键．
（1）直接用因式分解法解一元二次方程；
（2）先移项，将方程化为一般式，再利用公式法解一元二次方程；（3）直接利用开平方法解一元二次方程；
（4）先移项，再用因式分解法解一元二次方程；
【详解】（1）方程x2+8x−20=0因式分解得(x+10)(x−2)=0，
∴x+10=0或x−2=0，
解得x =−10，x =2．
1 2
（2）方程变形得3x2−6x−1=0，
∵a=3,b=−6,c=−1，
∴Δ=b2−4ac=36−4×(−3)=48>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
−b±❑√b2−4ac 6±❑√48 2❑√3
∴x= = =1± ，
2a 6 3
2❑√3 2❑√3
∴x =1+ ，x =1− ．
1 3 2 3
（3）方程(2x+1) 2=(x−1) 2直接开平方得
2x+1=x−1或2x+1=−(x−1)
解得x =−2，x =0．
1 2
（4）方程移项得(x−1)(x+2)−2(x+2)=0，
∴(x−3)(x+2)=0，
∴x−3=0或x+2=0，
解得x =3，x =−2．
1 2
6．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）解方程：3x2+5(2x+1)=0．
−5+❑√10 −5−❑√10
【答案】x = ，x =
1 3 2 3
【分析】本题考查解一元二次方程，方程整理后运用公式法求解即可．
【详解】解：原方程可化为3x2+10x+5=0．
∵a=3，b=10，c=5，
Δ=b2−4ac=102−4×3×5=100−60=40，
−10±❑√40 −5±❑√10
∴x= = ，
2×3 3
−5+❑√10 −5−❑√10
∴x = ，x = ．
1 3 2 3
7．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程：(1)x2−2x−1=0；
(2)(2x+1) 2=−6x−3．
【答案】(1)x =1+❑√2，x =1−❑√2；
1 2
1
(2)x =− ，x =−2．
1 2 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式
法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：x2−2x−1=0
移项，得x2−2x=1，
配方，得x2−2x+1=1+1，
(x−1) 2=2．
方程两边同时开方，得
x−1=±❑√2，
则x−1=❑√2，或x−1=−❑√2．
x =1+❑√2，x =1−❑√2；
1 2
（2）解：(2x+1) 2=−6x−3
(2x+1) 2+3(2x+1)=0．
(2x+1)[(2x+1)+3)=0，
(2x+1)(2x+4)=0．
2x+1=0，或2x+4=0．
1
x =− ，x =−2．
1 2 2
8．（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)(2x−1) 2−4=0；(2)x2−4x−1=0；
(3)x2−5x+6=0．
3 1
【答案】(1)x = ,x =−
1 2 2 2
(2)x =2+❑√5,x =2−❑√5
1 2
(3)x =3,x =2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法进行求解是解题的关键．
（1）根据直接开平方法进行求解即可；
（2）根据配方法进行求解即可；
（3）根据因式分解法进行求解即可．
【详解】（1）(2x−1) 2−4=0，
(2x−1) 2=4
∴2x−1=±2,
3 1
∴x = ,x =− ；
1 2 2 2
（2）x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=5，
∴(x−2) 2=5，
∴x−2=±❑√5，
∴x =2+❑√5,x =2−❑√5．
1 2
（3）x2−5x+6=0
(x−3)(x−2)=0，
∴x−3=0或x−2=0，
∴x =3,x =2．
1 2
9．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）解一元二次方程：
(1)x2−4x−7=0 （公式法）；
(2)x(x−2)+x−2=0（因式分解法）．【答案】(1)x =2−❑√11，x =2+❑√11
1 2
(2)x =2，x =−1
1 2
【分析】（1）利用公式法解答即可；
（2）利用因式分解法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ a=1，b=−4，c=−7，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×(−7)=44>0，
4±❑√44
∴x= =2±❑√11，
2×1
∴x =2−❑√11，x =2+❑√11；
1 2
（2）解：∵x(x−2)+x−2=0，
∴(x−2)(x+1)=0，
∴x−2=0或x+1=0，
∴x =2，x =−1．
1 2
10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程：
(1)(x−4) 2=9；
(2)x2−2x−8=0．
【答案】(1)x =7，x =1；
1 2
(2)x =−2，x =4．
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，常用的解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公
式法、分解因式法．
(1)利用直接开平方法解一元二次方程(x−4) 2=9，可得：x−4=3或x−4=−3，分别解两个一元一次方程
即可求出一元二次方程的解；
(2)利用十字相乘法分解因式，可得：(x−4)(x+2)=0，可得：x+2=0或x−4=0，分别解两个一元一次
方程即可求出一元二次方程的解．
【详解】（1）解：∵(x−4) 2=9，
∴x−4=±3，∴x−4=3或x−4=−3，
解得：x =7，x =1；
1 2
（2）解：x2−2x−8=0，
分解因式可得：(x−4)(x+2)=0，
∴x+2=0或x−4=0，
解得：x =−2，x =4．
1 2
11．（24-25八年级下·山东青岛·期中）解方程：
(1)(x−3) 2=2(x−3)；
(2)(x+1)(x−1)=2❑√2x．
【答案】(1)x =3,x =5
1 2
(2)x =❑√2+❑√3,x =❑√2−❑√3
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：(x−3) 2=2(x−3)
(x−3) 2−2(x−3)=0
(x−3)[(x−3)−2]=0
(x−3)(x−5)=0
x−3=0，x−5=0，
x =3,x =5
∴
1 2
∴（2）解：(x+1)(x−1)=2❑√2x
x2−2❑√2x−1=0
Δ=(2❑√2) 2 −4×(−1)=12>0，
2❑√2±❑√12
x= =❑√2±❑√3，
2
x =❑√2+❑√3,x =❑√2−❑√3．
1 2
∴
12．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）解下列方程：(1)x2−4x+2=0
(2)x(x−5)=2x−10
【答案】(1)x =2−❑√2，x =2+❑√2
1 2
(2)x =2，x =5
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即
可；
（2）先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可．
【详解】（1）解：∵x2−4x+2=0，
∴x2−4x=−2，
∴x2−4x+ ( − 4) 2 =−2+ ( − 4) 2 ，即x2−4x+4=2，
2 2
∴(x−2) 2=2，
∴x−2=±❑√2，
解得x =2−❑√2，x =2+❑√2；
1 2
（2）解；∵x(x−5)=2x−10，
∴x2−5x=2x−10，
∴x2−7x+10=0，
∴(x−2)(x−5)=0，
∴x−2=0或x−5=0，
解得x =2，x =5．
1 2
13．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程：
(1)x2−6x+4=0；（配方法）
(2)5x2−3x=x+1；（公式法）
【答案】(1)x =❑√5+3，x =−❑√5+3
1 2
1
(2)x =1，x =−
1 2 5
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一
元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可；
（2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：x2−6x+4=0，
x2−6x+9=5，
(x−3) 2=5，
x−3=±❑√5，
所以x =❑√5+3 x =−❑√5+3．
1 2
（2）解：5x2−3x=x+1，
5x2−4x−1=0，
∴a=5,b=−4,c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×(−1)×5=36>0，
−(−4)±❑√36 2±3
∴x= = ，
2×5 5
1
∴x =1 x =− ．
1 2 5
14．解方程：x2−4x+3=0．
【答案】x =3，x =1
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，熟练掌握解一元二次方程的
方法是解此题的关键．
【详解】解：∵x2−4x+3=0，
∴(x−3)(x−1)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
解得：x =3，x =1．
1 2
15．（24-25八年级下·黑龙江黑河·期中）解方程：x(3x−4)=7−8x
7
【答案】x =1，x =−
1 2 3
【分析】本题考查了解一元二次方程，先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可，掌握解一元
二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵x(3x−4)=7−8x，
∴3x2+4x−7=0，∴(x−1)(3x+7)=0，
∴x−1=0或3x+7=0，
7
∴x =1，x =− ．
1 2 3
16．（24-25八年级下·山东烟台·期中）按要求解下列关于x的一元二次方程：
(1)2x2−4x−1=0（公式法）
(2)3(x−2) 2=x2−4（因式分解法）
❑√6 ❑√6
【答案】(1)x =1+ ,x =1−
1 2 2 2
(2)x =2,x =4
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：2x2−4x−1=0
∴a=2，b=−4，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=16+8=24，
4±❑√24 2±❑√6
∴x= = ，
2×2 2
❑√6 ❑√6
解得：x =1+ ,x =1−
1 2 2 2
（2）3(x−2) 2=x2−4
因式分解得3(x−2) 2=(x+2)(x−2)
移项得3(x−2) 2−(x+2)(x−2)=0，
提取公因式得[3(x−2)−(x+2))(x−2)=0，
即(2x−8)(x−2)=0，
解得x =2,x =4
1 2
17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）解方程：
(1)x2+4x−21=0；
(2)x2−4x+2=0．【答案】(1)x =−7,x =3
1 2
(2)x =2+❑√2,x =2−❑√2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；
（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：x2+4x−21=0，
(x+7)(x−3)=0，
∴x+7=0或x−3=0，
解得：x =−7，x =3．
1 2
（2）解：x2−4x+2=0．
∴a=1,b=−4,c=2，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×2=16−8=8>0，
4±2❑√2
∴x= =2±❑√2，
2
∴x =2+❑√2，x =2−❑√2．
1 2
18．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）解方程．
(1)x2−4x−7=0；
(2)x2−4x−12=0；
【答案】(1)x =2+❑√11，x =2−❑√11
1 2
(2)x =−2，x =6
1 2
【分析】本题考查解一元二次方程，
（1）将原方程转化为x2−4x=7，然后用配方法求解；
（2）将原方程转化为(x2+2x)−(6x+12)=0，然后用因式分解法求解；
解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法）并能根据
具体情况选择合适的方法求解．
【详解】（1）解：x2−4x−7=0，
x2−4x=7，∴x2−4x+4=7+4，即(x−2) 2=11，
∴x−2=±❑√11，
∴x−2=❑√11或x−2=−❑√11，
解得：x =2+❑√11，x =2−❑√11；
1 2
（2）x2−4x−12=0，
∴x2+2x−6x−12=0，即(x2+2x)−(6x+12)=0，
∴x(x+2)−6(x+2)=0，
∴(x+2)(x−6)=0，
∴x+2=0或x−6=0，
解得：x =−2，x =6．
1 2
19．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）解方程：
(1)x2−6x+5=0．
(2)x2−3x−2=0．
【答案】(1)x =1，x =5；
1 2
3±❑√17
(2)x= ．
2
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用公式法即可求解；
【详解】（1）解：x2−6x+5=0
分解因式得，(x−1)(x−5)=0，
∴ x−1=0或x−5=0，
∴ x =1，x =5；
1 2
（2）解：x2−3x−2=0
Δ=(−3) 2−4×1×(−2)=17>0
3±❑√17
∴x= ．
2
20．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程：
(1)3x(x−1)=2(x−1)(2)x2−4x−7=0
2
【答案】(1)x =1，x =
1 2 3
(2)x =2+❑√11，x =2−❑√11
1 2
【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【详解】（1）解：3x(x−1)=2(x−1)，
方程整理得：3x(x−1)−2(x−1)=0，
分解因式得：(x−1)(3x−2)=0，
2
解得：x =1，x = ．
1 2 3
（2）解：a=1，b=−4，c=−7，
∵ Δ=16+28=44，
4±❑√44
∴x= =2±❑√11，
2
则x =2+❑√11，x =2−❑√11；
1 2
21．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程：
(1)x(x−2)=x−2；
(2)2x2−❑√2x−1=0
【答案】(1)x =2，x =1
1 2
❑√2−❑√10 ❑√2+❑√10
(2)x = ，x =
1 4 2 4
【分析】（1）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；
（2）利用公式法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x(x−2)=x−2，
∴x(x−2)−(x−2)=0，
∴(x−2)(x−1)=0，
∴x−2=0或x−1=0，
∴x =2，x =1；
1 2（2）解：a=2，b=−❑√2，c=−1，
∵Δ=(−❑√2) 2 −4×2×(−1)=2+8=10>0，
❑√2±❑√10 ❑√2±❑√10
∴x= = ，
2×2 4
❑√2−❑√10 ❑√2+❑√10
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
22．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程
(1)4(x+1) 2=36；
(2)x2−2x+8=0；
(3)(y+3)(y−1)=2；
(4)2x2−2❑√2x+1=0．
【答案】(1)x =2，x =−4
1 2
(2)方程没有实数根
(3)y =−1+❑√6，y =−1−❑√6
1 2
❑√2
(4)x =x =
1 2 2
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．
（1）运用直接开方法求解即可；
（2）运用公式法求解即可；
（3）将方程整理后，运用公式法求解即可；
（4）运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：4(x+1) 2=36，
变形为：(x+1) 2=9，
开方，得：x+1=±3，
∴x =2，x =−4．
1 2
（2）解：x2−2x+8=0，
∵a=1，b=−2，c=8，
∴Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1×8=−28<0，∴该方程没有实数根．
（3）解：(y+3)(y−1)=2，
整理，得y2+2y−5=0，
∵a=1，b=2，c=−5，
∴Δ=b2−4ac=22−4×1×(−5)=24>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
−b±❑√b2−4ac −2±❑√24
y= = =−1±❑√6，
2a 2
∴y =−1+❑√6，y =−1−❑√6．
1 2
（4）解：2x2−2❑√2x+1=0，
因式分解，得(❑√2x−1) 2=0，
∴❑√2x−1=0，
❑√2
∴x =x = ．
1 2 2
23．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)(x−2) 2=9
(2)x2−3=2x
【答案】(1)x =5，x =−1
1 2
(2)x =3，x =−1
1 2
【分析】本题考查了利用直接开平方的方法以及因式分解的方法求解一元二次方程，准确计算为解题关
键．
（1）利用直接开平方的方法求解方程即可；
（2）先整理成一般式，再利用因式分解的方法求解即可．
【详解】（1）解：(x−2) 2=9，
∴x−2=±3，
∴x=2±3，
解得x =5 ，x =−1；
1 2
（2）x2−3=2x，
整理成一般式，得：x2−2x−3=0，∴(x−3)(x+1)=0，
则 x−3=0或x+1=0，
解得 x =3，x =−1．
1 2
24．（24-25八年级下·山东淄博·期中）解方程：
(1)x2+4x−5=0
(2)3x2+2x−1=0
【答案】(1)x =1，x =−5
1 2
1
(2)x = ，x =−1
1 3 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
（1）方程运用因式分解法解答即可；
（2）方程运用公式法解答即可．
【详解】（1）解：x2+4x−5=0，
(x−1)(x+5)=0，
x−1=0,x+5=0，
∴x =1，x =−5．
1 2
（2）解：3x2+2x−1=0
这里a=3，b=2，c=−1
Δ=b2−4ac=22−4×3×(−1)=16>0
−2±❑√4+12
∴x=
2×3
1
∴x = ，x =−1．
1 3 2
25．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）解方程：4(x+3) 2=x(x+3)．
【答案】x =−3，x =−4
1 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：4(x+3) 2=x(x+3)，
整理，得4(x+3) 2−x(x+3)=0，
因式分解，得(x+3)[4(x+3)−x)=0，(x+3)(3x+12)=0，
x+3=0,3x+12=0，
解得x =−3，x =−4．
1 2
26．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解方程
(1)x2−4x+1=0
(2)5x(x+2)=3(x+2)
【答案】(1)x =2+❑√3，x =2−❑√3
1 2
3
(2)x =−2, x =
1 2 5
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
【详解】（1）解：x2−4x+1=0
移项得x2−4x=−1，
配方得x2−4x+4=−1+4，即(x−2) 2=3，
开方得x−2=±❑√3，
解得x =2+❑√3，x =2−❑√3。
1 2
（2）解：5x(x+2)=3(x+2)
移项得5x(x+2)−3(x+2)=0，
提取公因式(x+2)得(x+2)(5x−3)=0，
则x+2=0或5x−3=0，
3
解得x =−2，x = ．
1 2 5
27．（24-25八年级下·江苏南通·期中）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)(x+2) 2−16=0；
(2)(x+1) 2=3(x+1)；
(3)x2−3x−28=0；
(4)2x2−3x+2=0．【答案】(1)x =2，x =−6；
1 2
(2)x =2，x =−1；
1 2
(3)x =7，x =−4；
1 2
(4)方程没有实数根．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式
法，因式分解法，
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：(x+2) 2−16=0，
整理得(x+2) 2=16，
开方得x+2=±4，
解得x =2，x =−6；
1 2
（2）解：(x+1) 2=3(x+1)，
整理得(x+1) 2−3(x+1)=0，
因式分解得(x+1)[(x+1)−3)=0，
即x−2=0，x+1=0，
解得x =2，x =−1；
1 2
（3）解：x2−3x−28=0，
因式分解得(x−7)(x+4)=0，
即x−7=0，x+4=0，
解得x =7，x =−4；
1 2
（4）解：2x2−3x+2=0，
a=2，b=−3，c=2，
Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×2×2=−7<0，
∴方程没有实数根．28．（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)36x2−12x+1=0；
1
(2)− x2−3x+6=0；
2
(3)(x−5) 2=2(5−x)．
1
【答案】(1)x =x =
1 2 6
(2)x =−3+❑√21，x =−3−❑√21
1 2
(3)x =5，x =3
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关
键．
（1）方程可变为(6x) 2−12x+1=0，用因式分解法即可求解；
（2）将方程去分母整理得x2+6x−12=0，利用公式法即可求解；
（3）先移项，用因式分解法求解即可；
【详解】（1）解：方程可变为，
(6x) 2−12x+1=0，
∴(6x−1) 2=0，
∴6x−1=0，
1
解得x =x = ；
1 2 6
（2）解：去分母整理得，x2+6x−12=0，
a=1，b=6，c=−12，
∴Δ=62−4×1×(−12)=84>0，
−6±❑√84 −6±2❑√21
∴x= = ，
2 2
∴x =−3+❑√21，x =−3−❑√21；
1 2
（3）解：方程移项得，(x−5) 2+2(x−5)=0，因式分解得，(x−5)(x−3)=0，
解得x =5，x =3．
1 2
29．（24-25八年级下·浙江金华·期中）解方程
(1)x2−4x−5=0
(2)(x−4) 2=10(x−4)
【答案】(1)x =5，x =−1，
1 2
(2)x =4，x =14
1 2
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）分解因式为(x−4)[(x−4)−10)=0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：(x−5)(x+1)=0，
解得：x =5，x =−1；
1 2
（2）解：整理，得：(x−4) 2−10(x−4)=0，
因式分解，得：(x−4)[(x−4)−10)=0，
即：x−4=0或x−14=0，
解得：x =4，x =14．
1 2
30．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：
(1)x2+2x−3=0；
(2)2x2−4x−5=0．
【答案】(1)x =1,x =−3
1 2
2+❑√14 2−❑√14
(2)x = ,x =
1 2 2 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法求解是关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2+2x−3=0，
∴(x+3)(x−1)=0，
∴x+3=0或x−1=0，
∴x =1,x =−3；
1 2（2）解：2x2−4x−5=0，
a=2,b=−4,c=5，
∴Δ=b2−4ac=16−4×2×(−5)=56，
4±❑√56 2±❑√14
∴x= = ，
4 2
2+❑√14 2−❑√14
解得：x = ,x = ．
1 2 2 2
31．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：
(1)x2+6x−7=0(配方法)
(2)(x−4)(x+1)=6
【答案】(1)x =−7,x =1
1 2
(2)x =5,x =−2
1 2
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法和灵活选用解题方法是解题的关键．
（1）运用配方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：移项得：x2+6x=7，
配方得：x2+6x+9=7+9，
即(x+3) 2=16，
开方得：x+3=±4，
解得：x =−7,x =1；
1 2
（2）去括号整理得：x2−3x−4=6，
移项合并得：x2−3x−10=0，
因式分解得：(x−5)(x+2)=0，
∴x−5=0或x+2=0，
解得：x =5,x =−2．
1 2
32．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程：
(1)x−1=x(1−x)；
(2)3x2−4x+1=0．
【答案】(1)x =1,x =−1
1 2
1
(2)x =1,x =
1 2 3
【分析】本题主要考查了一元二次方程—因式分解法以及一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握提公因式法分解因式以及配方法．
（1）提公因式法因式分解解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：x−1=x(1−x)，
∴x−1=−x(x−1)，
∴x−1+x(x−1)=0，
∴(x−1)(x+1)=0，
∴x−1=0或x+1=0，
解得：x =1,x =−1．
1 2
（2）解：3x2−4x+1=0，
∴3 ( x2− 4 x ) +1=0，
3
∴3 ( x2− 4 x+ 4 − 4) +1=0，
3 9 9
( 2) 2 1
∴3 x− = ，
3 3
( 2) 2 1
∴ x− = ，
3 9
2 1
∴x− =± ，
3 3
1
∴x =1,x = ．
1 2 3
33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程
(1)x2−8x+1=0
(2)x(x+4)=2x+8
【答案】(1)x =4+❑√15，x =4−❑√15
1 2
(2)x =2，x =−4
1 2
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟悉一元二次方程的四种基本解法：直接开平方法，配方法，公
式法，因式分解法，是解题的依据．
（1）利用公式法解一元二次方程．
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2−8x+1=0∵a=1，b=−8，c=1
∴Δ=b2−4ac=(−8) 2−4×1×1=60
−b±❑√b2−4ac −(−8)±❑√60 8±2❑√15 2(4±❑√15)
∴x= = = = =4±❑√15
2a 2 2 2
∴x =4+❑√15或x =4−❑√15．
1 2
（2）解：x(x+4)=2x+8
x(x+4)=2(x+4)
x(x+4)−2(x+4)=0
(x+4)(x−2)=0
∴x =2或x =−4．
1 2
34．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解下列方程
(1)x2=x；
(2)x2+3x−4=0．
【答案】(1)x =1，x =0
1 2
(2)x =1，x =−4
1 2
【分析】（1）利用因式分解法计算即可．
（2）利用因式分解法计算即可．
本题考查了因式分解法求方程根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x2=x,
∴x2−x=0
∴x(x−1)=0
解得x =1，x =0．
1 2
（2）解：∵x2+3x−4=0，
∴(x−1)(x+4)=0
解得x =1，x =−4．
1 2
35．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用十字相乘法解下列一元二次方程：
(1)x2−2x−3=0
(2)2x2−3x−2=0
【答案】(1)x =3,x =−1
1 2
1
(2)x =− ,x =2
1 2 2【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知十字相乘法解一元二次方程是解题的关键．
（1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可；
（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵x2−2x−3=0，
∴(x−3)(x+1)=0，
∴x+1=0或x−3=0，
解得x =3,x =−1；
1 2
（2）解：∵2x2−3x−2=0，
∴(2x+1)(x−2)=0，
∴2x+1=0或x−2=0，
1
解得x =− ,x =2．
1 2 2
36．（24-25八年级下·重庆·期末）用适当的方法求解下列方程：
(1)2(x+1) 2−4=0
(2)x2−2x+3=0
(3)(x−1)(2x+3)=x−1
(4)3x2−6x+5=7
(5)x2−2❑√2x+2=0
8 2x
(6)
+ =−1
x2−2x 2−x
【答案】(1)x =❑√2−1，x =−❑√2−1
1 2
(2)无实数根
(3)x =1， x =−1
1 2
❑√15 ❑√15
(4)x =1+ ，x =1−
1 3 2 3
(5)x =x =❑√2
1 2
(6)x=−4
【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法和分式方程的验根是解题的关键，
（1）先移项、化简，再利用直接开平方法求解．（2）根据一元二次方程判别式Δ=b2−4ac判断根的情况．
（3）将通过移项，提取公因式，选择因式分解法，即可解得答案．
（4）选择公式法求解即可．
（5）利用完全平方公式因式分解求解．
（6）先对分式变形，然后去分母化为整式方程，因式分解求解，最后检验增根．
【详解】（1）解：2(x+1) 2−4=0，
∴2(x+1) 2=4，
∴(x+1) 2=2，
∴x+1=±❑√2．
∴x =❑√2−1 x =−❑√2−1；
1 2
（2）解：x2−2x+3=0，
∴Δ=(−2) 2−4×1×3=4−12=−8<0．
∵Δ<0，
∴此方程无实数根．
（3）解：(x−1)(2x+3)=x−1，
∴(x−1)(2x+3)−(x−1)=0，
∴(x−1)(2x+3−1)=0，
∴(x−1)(2x+2)=0，
∴x−1=0或2x+2=0，
解得：x =1， x =−1；
1 2
（4）解：3x2−6x+5=7，
∴3x2−6x+5−7=0，
∴ 3x2−6x−2=0，
Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×3×(−2)=36+24=60，
6±❑√60 6±2❑√15 3±❑√15
∴x= = = ，
2×3 6 3
❑√15 ❑√15
∴x =1+ ，x =1− ；
1 3 2 3（5）解；x2−2❑√2x+2=0 ，
∴(x−❑√2) 2=0，
解得x =x =❑√2；
1 2
8 2x
（6）解： + =−1，
x2−2x 2−x
∴8−2x⋅x=−x(x−2)，
∴8−2x2=−x2+2x，
∴x2+2x−8=0，
∴(x+4)(x−2)=0，
解得x=−4或x=2，
检验，当x=2时，x(x−2)=0，是增根，舍去；
当x=−4时，x(x−2)=0，
所以原方程的解是x=−4．
37．（24-25八年级下·浙江温州·期中）解方程：
(1)x2+2x=0
(2)x2−3x−4=0
【答案】(1)x =0，x =−2
1 2
(2)x =4，x =−1
1 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式
分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：x2+2x=0，
x(x+2)=0
x =0，x =−2；
1 2
（2）解：x2−3x−4=0，
(x−4)(x+1)=0
x =4，x =−1．
1 2
38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程
(1)x2−2x−3=0(2)3x(2x+1)=4x+2
【答案】(1)x =3，x =−1；
1 2
2 1
(2)x = ，x =−
1 3 2 2
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先整理成一般形式，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
则x−3=0或x+1=0，
解得：x =3，x =−1；
1 2
（2）解：3x(2x+1)=4x+2，
整理得：6x2−x−2=0，
则Δ=(−1) 2−4×6×(−2)=49>0，
1±❑√49 1±7
∴x= = ，
12 12
2 1
解得：x = ，x =− ．
1 3 2 2
39．（24-25八年级下·重庆·期中）解一元二次方程：
(1)(x+2) 2−5(x+2)=0
(2)x(x−4)−6=2(x−1)
【答案】(1)x =−2，x =3
❑1 ❑2
(2)x =3+❑√13,x =3−❑√13
❑1 ❑2
【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键．
（1）变形后利用因式分解法解方程即可；
（2）化为一般形式后利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：(x+2) 2−5(x+2)=0，
∴(x+2)[(x+2)−5)=0，
∴(x+2)(x−3)=0，∴x+2=0或x−3=0，
解得x =−2，x =3；
❑1 ❑2
（2）解：x(x−4)−6=2(x−1)，
∴x2−6x−4=0，
则a=1,b=−6,c=−4，
∵Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×1×(−4)=52，
6±❑√52
∴x= =3±❑√13，
2×1
即x =3+❑√13,x =3−❑√13．
❑1 ❑2
40．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）请用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)2x2−4x−1=0；
(2)(x−1)(2x+1)=5．
2+❑√6 2−❑√6
【答案】(1)x = ,x =
1 2 2 2
3
(2)x =2,x =−
1 2 2
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）根据公式法可进行求解方程；
（2）先化简，然后再根据因式分解法可进行求解方程．
【详解】（1）解：2x2−4x−1=0
∵a=2,b=−4,c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×2×(−1)=24>0，
−b±❑√b2−4ac 4±❑√24 2±❑√6
∴x= = = ，
2a 4 2
2+❑√6 2−❑√6
∴x = ,x = ；
1 2 2 2
（2）解：(x−1)(2x+1)=5
化简得：2x2−x−6=0，
(x−2)(2x+3)=0
3
解得：x =2,x =− ．
1 2 241．（24-25九年级下·广东深圳·期中）解方程
(1)x2−3x−5=0
(2)x2−4x−12=0
3+❑√29 3−❑√29
【答案】(1)x = ,x =
1 2 2 2
(2)x =−2,x =6
1 2
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
（1）利用公式法进行求解即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：x2−3x−5=0
∵a=1，b=−3，c=−5，
∴Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×1×(−5)=29
3+❑√29 3−❑√29
∴原方程的解为：x = ,x =
1 2 2 2
（2）∵x2−4x−12=0，
∴(x+2)(x−6)=0，
∴x =−2,x =6，
1 2
故原方程的根为x =−2,x =6
1 2
42．（24-25八年级下·重庆·期末）计算：
(1)(x2+2) 2−4(x2+2)=12
[ 1 )
(2)x 120− (x−60) =8800
2
【答案】(1)x=±2
(2)x =220,x =80
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）设y=x2+2，则原方程化为y2−4 y−12=0，得到y=6或y=−2，当y=6时x2+2=6，解得x=±2
；当y=−2时x2+2=−2，方程无实数解；即可得到答案；
（2）整理方程得到x2−300x+17600=0，用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：(x2+2) 2−4(x2+2)=12
设y=x2+2，则原方程化为y2−4 y−12=0，∴(y−6)(y+2)=0
解得y=6或y=−2，
当y=6时x2+2=6，解得x=±2；
当y=−2时x2+2=−2，方程无实数解；
∴x=±2；
[ 1 )
（2）解：x 120− (x−60) =8800
2
1
120x− x2+30x=8800
2
x2−300x+17600=0
(x−220)(x−80)=0
x−220=0或x−80=0
解得：x =220,x =80．
1 2
43．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程：
(1)x2−4x−8=0；
(2)3x(x−1)=2(1−x)；
(3)5x2−3x=x+1．
【答案】(1)x =2+2❑√3，x =2−2❑√3
1 2
2
(2)x =1，x =−
1 2 3
1
(3)x =1，x =−
1 2 5
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵x2−4x−8=0，
∴x2−4x=8，
∴x2−4x+4=8+4，即(x−2) 2=12，
∴x−2=±2❑√3，∴x =2+2❑√3，x =2−2❑√3；
1 2
（2）解：∵3x(x−1)=2(1−x)，
∴3x(x−1)+2(x−1)=0，
∴(x−1)(3x+2)=0，
∴x−1=0或3x+2=0，
2
∴x =1，x =− ；
1 2 3
（3）解：∵5x2−3x=x+1，
∴5x2−4x−1=0，
∴(5x+1)(x−1)=0，
∴5x+1=0或x−1=0，
1
∴x =1，x =− ．
1 2 5
44．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程
(1)x2+2x+1=4
(2)x2+x−12=0
【答案】(1)x =−3,x =1
1 2
(2)x =−4,x =3
1 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：x2+2x+1=4
(x+1) 2=4
x+1=2或x+1=−2，
解得：x =−3,x =1；
1 2
（2）解：x2+x−12=0
(x+4)(x−3)=0
x+4=0或x−3=0
解得x =−4,x =3
1 2
45．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程(1)x2+5x=0；
(2)x2−2x−5=0．
【答案】(1)x =0，x =−5
1 2
(2)x =1+❑√6,x =1−❑√6．
1 2
【分析】本题主要考查的是解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2+5x=0
x(x+5)=0
x =0，x =−5；
1 2
（2）解：x2−2x−5=0
x2−2x+1=5+1
(x−1) 2=6
x−1=±❑√6
x =1+❑√6,x =1−❑√6．
1 2
46．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）用适当的方法解下列方程
(1)x2−8=2x
(2)(x−2) 2=2(x−2)
(3)2x2−8x+5=0．
【答案】(1)x =−2,x =4
1 2
(2)x =2,x =4
1 2
2+❑√6 2−❑√6
(3)x = ，x =
1 2 2 2
【分析】（1）利用因式分解法求解即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
（3）利用公式法求解即可．
本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x2−8=2x，
∴x2−2x−8=0∴(x+2)(x−4)=0，
解得x =−2,x =4．
1 2
（2）解：∵(x−2) 2=2(x−2)，
∴(x−2) 2−2(x−2)=0
∴(x−2)(x−4)=0，
解得x =2,x =4．
1 2
（3）解：∵2x2−8x+5=0,
在这里，a=2,b=−8,c=5,b2−4ac=(−8) 2−4×2×5=24＞0
8±2❑√6 4±❑√6
∴x= = ，
4 2
2+❑√6 2−❑√6
解得x = ，x = ．
1 2 2 2
47．（24-25八年级下·山东威海·期中）用指定的方法解方程：
(1)x2−4x−1=0（用配方法）
(2)2x2−9x+8=0（用公式法）
(3)5(x−3) 2=x2−9（用因式分解法）
【答案】(1)x =❑√5+2，x =−❑√5+2
1 2
9+❑√17 9−❑√17
(2)x = ，x =
1 4 2 4
9
(3)x =3，x =
1 2 2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练地掌握一元二次方程的解法特别是因式分解法解一元
二次方程，可以大大降低计算量．
（1）根据配方法步骤进行配方，得出(x−2) 2=5，再开平方即可；
−b±❑√b2−4ac
（2）首先求出Δ=b2−4ac=(−9) 2−4×2×8=17>0，再套用公式x= ，即可求解；
2a
（3）利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式即可．
【详解】（1）解：x2−4x−1=0x2−4x=1
x2−4x+4=1+4
(x−2) 2=5
x =❑√5+2，x =−❑√5+2；
1 2
（2）解：2x2−9x+8=0
Δ=b2−4ac=(−9) 2−4×2×8=17>0，
9±❑√17 9±❑√17
x= =
2×2 4
9+❑√17 9−❑√17
x = ，x = ；
1 4 2 4
（3）5(x−3) 2=x2−9
5(x−3) 2−(x2−9)=0
5(x−3) 2−(x+3)(x−3)=0
(x−3)[5(x−3)−(x+3))=0
(x−3)(4x−18)=0
x−3=0，4x−18=0，
9
x =3，x = ．
1 2 2
48．（24-25八年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：
(1)2x2−8x−1=0（配方法）
(2)3x2−5x+1=0（公式法）
(3)x2−6x−27=0（因式分解法）
(4)2(3x−2)=9x2−4（用适当的方法）
4+3❑√2 4−3❑√2
【答案】(1)x = ，x =
❑1 2 ❑2 2
5+❑√13 5−❑√13
(2)x = ，x =
1 6 2 6
(3)x =9，x =−3
1 22
(4)x = ，x =0
1 3 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式
法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）把−1移到等号的右边，方程两边同时除以2把二次项系数化为1，然后等号两边同时加上一次项一
半的平方，再开方求解即可；
（2）首先找出方程中a、b和c的值，求出Δ，进而代入求根公式求出方程的解即可；
（3）利用十字相乘法，将原方程左边整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可；
（4）利用平方差公式将方程右边分解因式，再移项，提取公因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最
后解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：2x2−8x−1=0，
移项得，2x2−8x=1，
1
∴x2−4x=
，
2
1
∴x2−4x+22= +22
，
2
9
则(x−2) 2= ，
2
3❑√2 3❑√2
∴x−2= 或x−2=− ，
2 2
4+3❑√2 4−3❑√2
解得x = ，x = ；
❑1 2 ❑2 2
（2）解：3x2−5x+1=0，
∵a=3，b=−5，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−5) 2−4×3×1=13>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
−b±❑√b2−4ac 5±❑√13
∴x= = ，
2a 6
5+❑√13 5−❑√13
∴x = ，x = ；
1 6 2 6
（3）解：∵x2−6x−27=0，
∴(x−9)(x+3)=0，
∴x−9=0或x+3=0，∴x =9，x =−3；
1 2
（4）解：2(3x−2)=9x2−4，
2(3x−2)=(3x−2)(3x+2)，
2(3x−2)−(3x−2)(3x+2)=0，
(3x−2)(2−3x−2)=0，
3x−2=0或2−3x−2=0，
2
∴x = ，x =0．
1 3 2
49．（24-25八年级下·浙江金华·期中）解方程：
(1)2(x−2) 2=18；
(2)(x−3) 2=(2x+1)(x−3)．
【答案】(1)x =5，x =−1；
1 2
(2)x =3，x =−4．
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、
因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：2(x−2) 2=18
(x−2) 2=9，
x−2=±3，
∴x =5，x =−1；
1 2
（2）解：(x−3) 2=(2x+1)(x−3)，
(x−3) 2−(2x+1)(x−3)=0
(x−3)[(x−3)−(2x+1))=0
(x−3)(−x−4)=0，
x−3=0或−x−4=0，
∴x =3，x =−4．
1 250．（24-25八年级下·山东淄博·期中）解方程
(1)3x2=2−5x
(2)2x−6=(x−3) 2
1
【答案】(1)x = ，x =−2
1 3 2
(2)x =3，x =5
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程的知识内容，涉及到因式分解法以及公式法；正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据公式法进行作答即可；
（2）运用因式分解法进行作答即可．
【详解】（1）解：3x2=2−5x，
∴3x2+5x−2=0，
∴b2−4ac=52−4×3×(−2)=49>0，
−b±❑√b2−4ac −5±❑√49
∴x= = ，
2a 2×3
1
∴ x = ，x =−2．
1 3 2
（2）解：2x−6=(x−3) 2，
则2(x−3)−(x−3) 2=0，
∴ (x−3)(2−x+3)=0，
∴ x−3=0或5−x=0，
∴ x =3，x =5．
1 2
51．（24-25八年级下·浙江·期中）解方程：
(1)x2−16=0
(2)x2−4x−7=0．
【答案】(1)x =4，x =−4；
1 2
(2)x =2+❑√11，x =2−❑√11．
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可；
【详解】（1）解：x2−16=0，
x2=16，
∴x =4，x =−4；
1 2
（2）解：x2−4x−7=0，
∴Δ=(−4) 2−4×1×(−7)=44>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
4±❑√44
∴x= =2±❑√11，
2×1
∴x =2+❑√11，x =2−❑√11．
1 2
52．（24-25八年级下·山东泰安·期中）解下列方程：
(1)x(x−4)=2−8x；
(2)3x2−2x−1=0．
【答案】(1)x =−2+❑√6，x =−2−❑√6
1 2
1
(2)x =1，x =−
1 2 3
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：x(x−4)=2−8x，
整理后得：x2+4x=2，
配方得：(x+2) 2=6，
开方得：x+2=❑√6或x+2=−❑√6，
所以x =−2+❑√6，x =−2−❑√6；
1 2
（2）解：3x2−2x−1=0，
∵a=3，b=−2，c=−1，
∵Δ=(−2) 2−4×3×(−1)=16>0，−(−2)±❑√16 2±4
∴x= = ，
2×3 6
1
即x =1，x =− ．
1 2 3
53．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）解方程：ax2−2=2x2
❑√2a−4 ❑√2a−4
【答案】a≤2时，方程没有实数解；a>2时，x =− ，x = ．
1 a−2 2 a−2
【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法．先移项得到(a−2)x2=2，讨论：当a=2时，方程
无解；当a≠2时，方程为一元二次方程，若a−2<0时，方程没有实数解；a−2>0，利用直接开平方法解
方程．
【详解】解：ax2−2=2x2，
(a−2)x2=2，
当a=2时，方程无解；
2
当a≠2时，x2=
，
a−2
a−2<0时，即a<2，方程没有实数解；
√ 2 ❑√2a−4
a−2>0，即a>2，x=±❑ =± ，
a−2 a−2
❑√2a−4 ❑√2a−4
即x =− ，x = ，
1 a−2 2 a−2
❑√2a−4 ❑√2a−4
综上所述，a≤2时，方程没有实数解；a>2时，x =− ，x = ．
1 a−2 2 a−2
54．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）解方程
(1)x2+8x−1=0；
(2)(x−5) 2=2(5−x)
【答案】(1)x =❑√17−4，x =−❑√17−4
1 2
(2)x =5，x =3
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解答即可；
（2）移项，再利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：x2+8x−1=0，即x2+8x=1
∴x2+8x+16=17，则(x+4) 2=17，
∴x+4=±❑√17，
∴x =❑√17−4，x =−❑√17−4；
1 2
（2）解：(x−5) 2=2(5−x)，
∴(x−5) 2+2(x−5)=0，即(x−5)(x−5+2)=0，
∴x−5=0或x−3=0，
∴x =5，x =3．
1 2
55．（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程：7−bx2=x2+6(b≠−1)．
❑√b+1
【答案】当b>−1时，x=± ，当b<−1时，方程无实数根
b+1
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
先变形，再利用直接开平方法求解可得．
【详解】解：7−bx2=x2+6(b≠−1)，
1
整理得：(1+b)x2=7−6，即x2= (b≠−1,即b+1≠0)，
b+1
❑√b+1
当b>−1时，x=± ，
b+1
当b<−1时，方程无实数根．
56．（24-25八年级下·湖南·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)(x+5) 2=25；
(2)x2+10x+16=0；
(3)x2−6x+2=0；
(4)4x(x−1)=3(x−1)．
【答案】(1)x =−10，x =0；
1 2
(2)x =−2，x =−8；
1 2
(3)x =3+❑√7，x =3−❑√7；
1 23
(4)x =1，x = ；
1 2 4
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键。
（1）运用平方差公式因式分解，化为两个一元一次方程，求解即可；
（2）利用因式分解法，即可解答；
（3）利用配方法，即可解答；
（4）提公因式后利用因式分解法解一元二次方程即可；
【详解】（1）解：(x+5) 2=25
(x+5) 2−25=0
(x+5+5)(x+5−5)=0
∴x+10=0或x=0
∴x =−10，x =0；
1 2
（2）解：x2+10x+16=0
(x+2)(x+8)=0
∴x+2=0或x+8=0
∴x =−2，x =−8；
1 2
（3）解：x2−6x+2=0
x2−6x=−2
x2−6x+9=−2+9
(x−3) 2=7
(x−3)=±❑√7
∴x−3=❑√7或x−3=−❑√7
∴x =3+❑√7，x =3−❑√7；
1 2
（4）解：4x(x−1)=3(x−1)
4x(x−1)−3(x−1)=0
(x−1)(4x−3)=0
∴x−1=0或4x−3=0
3
∴x =1，x = ；
1 2 457．（24-25九年级上·山东济宁·期中）解一元二次方程：
(1)x2+2x−35=0；
(2)4x(2x−1)=1−2x．
【答案】(1)x =−7，x =5；
1 2
1 1
(2)x =− ，x = ．
1 4 2 2
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵x2+2x−35=0，
∴(x+7)(x−5)=0，
∴(x+7)=0或x−5=0，
解得：x =−7，x =5；
1 2
（2）解：∵4x(2x−1)=1−2x，
∴4x(2x−1)+(2x−1)=0，
∴(4x+1)(2x−1)=0，
∴4x+1=0或2x−1=0，
1 1
解得：x =− ，x = ．
1 4 2 2
58．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）用适当方法解方程：
(1)2x2−7x−6=0；
(2)x(x−2)=3x−6．
7+❑√97 7−❑√97
【答案】(1)x = ，x = ；
1 4 2 4
(2)x =2，x =3．
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：2x2−7x−6=0，
∵Δ=(−7) 2−4×2×(−6)=97>0，
∴方程有两个不相等的实数根，7±❑√97 7±❑√97
∴x= = ，
2×2 4
7+❑√97 7−❑√97
∴x = ，x = ；
1 4 2 4
（2）解：x(x−2)=3x−6，
x(x−2)=3(x−2)
x(x−2)−3(x−2)=0
(x−2)(x−3)=0，
x−2=0或x−3=0，
∴x =2，x =3．
1 2
59．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程：
(1)x2−2x−10=5
(2)(x−2) 2=4−2x
【答案】(1)x =5，x =−3
1 2
(2)x =0，x =2
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：x2−2x−10=5，即x2−2x−15=0，
∴(x−5)(x+3)=0，则x−5=0或x+3=0，
∴x =5，x =−3；
1 2
（2）解：(x−2) 2=4−2x，即(x−2) 2+2(x−2)=0，
∴(x−2)(x−2+2)=0，即x(x−2)=0，
则x=0或x−2=0，
∴x =0，x =2．
1 2
60．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程：
(1)2x2−4x−5=0；
(2)(y−1) 2+2y(1−y)=0．
2+❑√14 2−❑√14
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2(2)y =−1，y =1
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键；
（1）利用公式法解方程即可；
（2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解；∵2x2−4x−5=0，
∴a=2，b=−4，c=−5，
∴Δ=(−4) 2−4×2×(−5)=56>0，
−b±❑√b2−4ac 4±2❑√14
∴x= = ，
2a 4
2+❑√14 2−❑√14
解得x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：∵(y−1) 2+2y(1−y)=0，
∴(y−1−2y)(y−1)=0，
∴y−1−2y=0或y−1=0，
解得y =−1，y =1．
1 2
61．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）解方程：
(1)2y2+3 y−1=0；
(2)(x−3) 2−2x(x−3)=0．
−3+❑√17 −3−❑√17
【答案】(1)y = ，y =
1 4 2 4
(2)x =3，x =−3
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和因式分解法解一元二次方程成为解题的关
键．
（1）直接运用公式法解一元二次方程即可解答；
（2）直接运用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】（1）解：∵Δ=32−4×2×(−1)=17>0，
∴该方程有两个不等的实数根，
−3±❑√17 −3+❑√17 −3−❑√17
∴y= ，即y = ，y = ．
4 1 4 2 4
（2）解：(x−3) 2−2x(x−3)=0，(x−3)(x−3−2x)=0，
(x−3)(−x−3)=0，
∴x−3=0或−x−3=0，
∴x =3，x =−3．
1 2
62．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：
(1)4t2=81；
(2)x2+10x+25=0；
1
(3)x2−❑√2x− =0；
4
(4)y2+ y−12=0．
9 9
【答案】(1)t = ，t =− ；
1 2 2 2
(2)x =x =−5；
1 2
❑√2+❑√3 ❑√2−❑√3
(3)x = ，x = ；
1 2 2 2
(4)y =3，y =−4．
1 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
（1）直接开方法运算即可；
（2）因式分解法运算即可；
（3）公式法运算即可；
（4）因式分解法运算即可．
【详解】（1）4t2=81
81
解：t2=
4
9
t=±
2
9 9
∴t = ，t =− ；
1 2 2 2
（2）x2+10x+25=0
解：(x+5) 2=0
∴x =x =−5；
1 2
1
（3）x2−❑√2x− =0
41
解：由题意可得：a=1，b=−❑√2，c=−
4
∴Δ=b2−4ac=(−❑√2) 2 −4×1× ( − 1) =2+1=3
4
−b±❑√b2−4ac −(−❑√2)±❑√3 ❑√2±❑√3
∴x= = =
2a 2×1 2
❑√2+❑√3 ❑√2−❑√3
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）y2+ y−12=0
解：(y+4)(y−3)=0
y+4=0或y−3=0
∴y =3，y =−4．
1 2
63．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）解方程：
(1)9x+6=(3x+2) 2；
(2)150(1+x) 2=216；
(3)(x−100)[510+3(x−120))=30000．
2 1
【答案】(1)x =− ，x =
1 3 2 3
(2)x =0.2，x =−2.2
1 2
(3)x =150，x =−100
1 2
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，直接开方法解一元二次方程等．
（1）先将等式左侧因式分解，再将右侧移项后提公因式，继而计算即可；
216
（2）先计算 ，再直接开方法即可；
150
（3）先将第二个括号内展开合并再去括号，再用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：9x+6=(3x+2) 2，
提公因式得：3(3x+2)=(3x+2) 2，
移项得：3(3x+2)−(3x+2) 2=0，
提公因式得：(3x+2)(1−3x)=0，即：3x+2=0或1−3x=0，
2 1
解得：x =− ，x = ；
1 3 2 3
（2）解：150(1+x) 2=216，
216
(1+x) 2= ，
150
36
(1+x) 2=
25
6
∴1+x=± ，
5
即：x =0.2，x =−2.2；
1 2
（3）解：(x−100)[510+3(x−120))=30000，
去括号得：(x−100)(150+3x)=30000，
即：x2−50x−15000=0，
因式分解得：(x−150)(x+100)=0，
即：x−150=0或x+100=0，
解得：x =150，x =−100．
1 2
64．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程：
(1)x2−2x+1=0
(2)2x2+5x−1=0
(3)2(x−3)=x2−9
【答案】(1)x =x =1；
1 2
−5+❑√33 −5−❑√33
(2)x = ，x =
1 4 2 4
(3)x =3，x =−1．
1 2
【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，公式法，以及因式分解法．
（1）利用完全平方公式得(x−1) 2=0，再直接开方，解一元一次方程即可；
（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（3）方程右边利用平方差公式因式分解后，移项，再提取公因式进得因式分解，得到两个一元一次方
程，解之即可．
【详解】（1）解：∵x2−2x+1=0，配方得，(x−1) 2=0，
∴x−1=0，
∴x =x =1；
1 2
（2）解：∵2x2+5x−1=0，
∴a=2，b=5，c=−1，
∴b2−4ac=52−4×2×(−1)=33，
−b±❑√b2−4ac −5±❑√33
∴x= = ，
2a 4
−5+❑√33 −5−❑√33
∴x = ，x = ；
1 4 2 4
（3）解：2(x−3)=x2−9，
∴2(x−3) 2=(x+3)(x−3)，
∴2(x−3) 2−(x+3)(x−3)=0，
∴(x−3)[2(x−3)−(x+3))=0，
∴(x−3)(x−9)=0，
∴x−3=0，x−9=0，
∴x =3，x =9．
1 2
65．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）选用适当的方法解下列方程：
(1)x2−5x−4=0；
(2)(x−2) 2−4(x−2)=−4．
5+❑√41 5−❑√41
【答案】(1)x = ,x =
1 2 2 2
(2)x =x =4
1 2
【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
（1）根据公式法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据完全平方公式可以解答此方程．
【详解】（1）解：x2−5x−4=0，
a=1，b=−5，c=−4，Δ=b2−4ac=(−5) 2−4×1×(−4)=41>0，
5±❑√41
∴x= ，
2
5+❑√41 5−❑√41
∴x = ,x = ；
1 2 2 2
（2）解：(x−2) 2−4(x−2)=−4，
(x−2) 2−4(x−2)+4=0，
2
[(x−2)−2) =0，
(x−4) 2=0，
解得x =x =4．
1 2
66．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）解方程．
(1)x(x−3)=0
(2)3x(x−2)=2(x−1)(x+1)−7
【答案】(1)x =0；x =3
1 2
(2)x =x =3
1 2
【分析】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
（1）利用因式分解法求一元二次方程的解即可；
（2）先整理，然后利用因式分解法求一元二次方程的解即可．
【详解】（1）解：x(x−3)=0
x=0或x−3=0，
解得x =0，x =3；
1 2
（2）解：3x(x−2)=2(x−1)(x+1)−7
整理得x2−6x+9=0，
(x−3) 2=9，
解得x =x =3．
1 2
67．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）解方程：
(1)9x2−81=0；
(2)x2+2x−3=0．【答案】(1)x =3，x =−3
1 2
(2)x =1，x =−3
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用直接开平方法解方程即可．
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：9x2−81=0
9x2=81
x2=9，
x =3，x =−3；
1 2
（2）解：x2+2x−3=0
(x+3)(x−1)=0
x+3=0或x−1=0，
x =1，x =−3．
1 2
68．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）解方程：
(1)x2+2x−3=0；
(2)(2x−1) 2=2(2x−1)；
(3)x2−4x−2=0（配方法）．
【答案】(1)x =−3，x =1
1 2
1 3
(2)x = ，x =
1 2 2 2
(3)x =2+❑√6，x =2−❑√6
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解答即可；
（2）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；
（3）把常数移到右边，再利用配方法解答即可；
【详解】（1）解：（1）∵x2+2x−3=0，
∴(x+3)(x−1)=0，
∴x+3=0或x−1=0
∴x =−3，x =1；
1 2
（2）解：∵(2x−1) 2=2(2x−1)，∴(2x−1) 2−2(2x−1)=0，
∴(2x−1)(2x−3)=0，
∴2x−1=0或2x−3=0，
1 3
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（3）解：∵x2−4x−2=0，
∴x2−4x=2，
∴x2−4x+4=2+4，
即(x−2) 2=6，
∴x−2=±❑√6，
∴x =2+❑√6，x =2−❑√6．
1 2
69．（24-25九年级上·全国·期末）（1）用公式法解方程：3x2−6x−2=0；
（2）用配方法解方程：x2+6x+8=0．
3+❑√15 3−❑√15
【答案】（1）x = ,x = ；（2）x =−2,x =−4
1 3 2 3 1 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、公式法是解答本题的关键．
（1）先求出b2−4ac=60>0，然后代入公式即可；
（2）先把8移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两
边同时开平方即可．
【详解】解：（1）∵a=3,b=−6,c=−2，
∴b2−4ac=(−6) 2−4×3×(−2)=60>0，
6±❑√60 3±❑√15
∴x= = ，
2×3 3
3+❑√15 3−❑√15
即x = ,x = ．
1 3 2 3
（2）原方程变形为x2+6x=−8，
配方，得x2+6x+9=−8+9，
即(x+3) 2=1，
∴x+3=1或x+3=−1，∴x =−2,x =−4．
1 2
70．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）解方程：
(1)x2−4x−3=0；
(2)(x−2) 2=(2x+3) 2．
【答案】(1)x =2+❑√7,x =2−❑√7
1 2
1
(2)x =− ,x =−5
1 3 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式
法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2−4x−3=0，
∴x2−4x+4=3+4，
∴(x−2) 2=7，
∴x−2=±❑√7，
解得：x =2+❑√7,x =2−❑√7；
1 2
（2）解：(x−2) 2=(2x+3) 2，
∴(x−2) 2−(2x+3) 2=0，
∴(x−2+2x+3)(x−2−2x−3)=0，
∴(3x+1)(−x−5)=0，
∴3x+1=0或−x−5=0，
1
解得：x =− ,x =−5．
1 3 2
71．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：(x+3)(x+7)=−2．
【答案】x =−5+❑√2,x =−5−❑√2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公
式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再利用配方法解一元二次方程即可得．
【详解】解：(x+3)(x+7)=−2，
x2+10x+21=−2，
x2+10x+21+4=−2+4，
x2+10x+25=2，
(x+5) 2=2，
x+5=±❑√2，
x=−5±❑√2，
所以方程的解为x =−5+❑√2,x =−5−❑√2．
1 2
72．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）解方程：
(1)2x2−2❑√2x+1=0；
(2)x(x−2)+x−2=0
❑√2
【答案】(1)x =x =
1 2 2
(2)x =2,x =−1
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次
方程是解题关键．
（1）利用完全平方公式将等号左边进行因式分解，再用直接开平方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：2x2−2❑√2x+1=0，
左边化成完全平方，得(❑√2x−1) 2=0，
❑√2
∴x =x = ．
1 2 2
（2）x(x−2)+x−2=0，
提公因式分解因式，得(x−2)(x+1)=0，
∴x =2，x =−1．
1 2
73．（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：x2−16=(x−4)(2x−1)．
【答案】x =4，x =5
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，先运用平方差公式将左边的式子因式分解，再移项、提取公因式，
即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【详解】解：x2−16=(x−4)(2x−1)，
(x−4)(x+4)=(x−4)(2x−1)，
(x−4)(x+4)−(x−4)(2x−1)=0，
(x−4)(x+4−2x+1)=0，
(x−4)(−x+5)=0，
∴x−4=0或−x+5=0，
∴x =4，x =5．
1 2
74．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）解方程：
(1)(x−1) 2=36
(2)x2+2x−8=0
(3)2(x+3) 2=x(x+3)
【答案】(1)x =7或x =−5
❑1 ❑2
(2)x =−4，x =2．
1 2
(3)x =−3，x =−6．
1 2
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握根据一元二次方程的特征选择合适的解法是关键．
（1）用开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：(x−1) 2=36
∴x−1=6或x−1=−6
解得x =7或x =−5
❑1 ❑2
（2）x2+2x−8=0，
(x+4)(x−2)=0，
x+4=0或x−2=0，
x =−4，x =2．
1 2
（3）解：2(x+3) 2=x(x+3)，
2(x+3) 2−x(x+3)=0，
(x+3)(x+6)=0，x+3=0或x+6=0，
x =−3，x =−6．
1 2
75．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）用适当的方法解下列方程．
(1)9(x+1) 2−25=0
(2)x2+4x−1=0
(3)2x2−5x−1=0
(4)2y2+4 y= y+2
2 8
【答案】(1)x = ，x =−
1 3 2 3
(2)x =−2+❑√5，x =−2−❑√5
1 2
5+❑√33 5−❑√33
(3)x = ，x =
1 4 2 4
1
(4)y =−2，y =
1 2 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9后开平方，再解方程即可得到答案；
（2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可
得到答案；
（3）用公式法解方程即可；
（4）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵9(x+1) 2−25=0，
∴9(x+1) 2=25，
25
∴(x+1) 2= ，
9
5
∴x+1=± ，
3
2 8
解得x = ，x =− ；
1 3 2 3
（2）解；∵x2+4x−1=0，
∴x2+4x=1，∴x2+4x+4=5，
∴(x+2) 2=5，
∴x+2=±❑√5，
解得x =−2+❑√5，x =−2−❑√5；
1 2
（3）解：∵2x2−5x−1=0，
∴a=2，b=−5，c=−1，
∴Δ=(−5) 2−4×2×(−1)=33>0，
−b±❑√b2−4ac 5±❑√33
∴x= = ，
2a 4
5+❑√33 5−❑√33
解得x = ，x = ；
1 4 2 4
（4）解：∵2y2+4 y= y+2，
∴2y2+3 y−2=0，
∴(2y−1)(y+2)=0，
∴2y−1=0或y+2=0，
1
解得y =−2，y = ．
1 2 2
76．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程：
(1)x2−4x+1=0（配方法）
(2)(y−1) 2+2y(1−y)=0（因式分解法）
【答案】(1)x =2+❑√3，x =2−❑√3
1 2
(2)y =1，y =−1
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程；
【详解】（1）解：x2−4x+1=0，
∴x2−4x=−1，
∴x2−4x+4=−1+4，∴(x−2) 2=3，
∴x−2=±❑√3，
∴x =2+❑√3,x =2−❑√3．
1 2
（2）解：原式可化为(y−1)(y−1−2y)=0，
∴(y−1)(−1−y)=0，
∴y−1=0或−y−1=0，
∴y =1，y =−1．
1 2
77．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程：(2x−3) 2=x(x−5)+6．
7+❑√13 7−❑√13
【答案】x = ，x = ．
1 6 2 6
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把原方程变形为3x2−7x+3=0，然后利用公式法解方程即
可．
【详解】解：(2x−3) 2=x(x−5)+6
4x2−12x+9=x2−5x+6
4x2−x2−12x+5x+9−6=0
3x2−7x+3=0
Δ=(−7) 2−4×3×3=13>0，
∴
7±❑√13
x= ，
6
∴
7+❑√13 7−❑√13
x = ，x = ．
1 6 2 6
∴
78．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）选择合适的方法解下列方程
(1)169x2−25=0；
(2)2x2−8x+4=0；
(3)2x2−3x=x+1；
(4)(x−3)(2x−5)=10．
5 5
【答案】(1)x = ,x =−
1 13 2 13(2)x =2+❑√2,x =2−❑√2
1 2
❑√6 ❑√6
(3)x =1+ ,x =1−
1 2 2 2
1
(4)x = ,x =5
1 2 2
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）直接开方法解方程即可；
（2）配方法解方程即可；
（3）配方法解方程即可；
（4）先展开，变成一般式，因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：169x2−25=0
169x2=25
25
x2=
169
5
∴x=± ；
13
5 5
∴x = ,x =− ；
1 13 2 13
（2）2x2−8x+4=0
x2−4x+2=0
x2−4x=−2
x2−4x+4=−2+4
(x−2) 2=2
x−2=±❑√2，
∴x =2+❑√2,x =2−❑√2；
1 2
（3）2x2−3x=x+1
2x2−4x=1
1
x2−2x=
2
1
x2−2x+1= +1
23
(x−1) 2=
2
❑√6
x−1=± ，
2
❑√6 ❑√6
∴x =1+ ,x =1− ；
1 2 2 2
（4）(x−3)(2x−5)=10
2x2−11x+15=10
2x2−11x+5=0
(2x−1)(x−5)=0，
1
∴x = ,x =5．
1 2 2
79．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）解方程：
(1)x2−6x−1=0；
(2)(2x+1) 2+4(2x+1)+3=0．
【答案】(1)x =3+❑√10，x =3−❑√10；
1 2
(2)x =−2,x =−1．
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．
（1）利用配方法解该一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2−6x−1=0，
∴x2−6x=1，
∴x2−6x+32=1+32，
∴(x−3) 2=10，
∴x−3=❑√10或x−3=−❑√10，
解得：x =3+❑√10，x =3−❑√10；
1 2
（2）解：(2x+1) 2+4(2x+1)+3=0，
∴(2x+1+3)(2x+1+1)=0，
∴2x+4=0或2x+2=0，解得：x =−2,x =−1．
1 2
80．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）用适当的方法解方程：
(1)(x−3) 2=(2x−1)(x+3)
(2)3x2+2x−5=0
(3)x2+2x−399=0
(4)x(x−2)+x−2=0
【答案】(1)x =1，x =−12
1 2
5
(2)x =1，x =−
1 2 3
(3)x =19，x =−21
1 2
(4)x =−1，x =2
1 2
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
（1）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（4）利用提公因式法把方程左边分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解；∵(x−3) 2=(2x−1)(x+3)，
∴x2−6x+9−(2x2−x+6x−3)=0
∴x2−6x+9−2x2+x−6x+3=0，即x2+11x−12=0，
∴(x−1)(x+12)=0，
∴x−1=0或x+12=0，
解得x =1，x =−12；
1 2
（2）解；∵3x2+2x−5=0，
∴(3x+5)(x−1)=0，
∴3x+5=0或x−1=0，
5
解得x =1，x =− ；
1 2 3
（3）解：∵x2+2x−399=0，
∴(x+21)(x−19)=0，
∴x−19=0或x+21=0，解得x =19，x =−21；
1 2
（4）解：∵x(x−2)+x−2=0，
∴(x+1)(x−2)=0，
∴x+1=0或x−2=0，
解得x =−1，x =2．
1 2
81．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用指定的方法解方程
(1)4x2−7x+2=0（用配方法）
1
(2)2x2= x+1（公式法）
2
7+❑√17 7−❑√17
【答案】(1)x = ,x =
1 8 2 8
1+❑√33 1−❑√33
(2)x = ,x =
1 8 2 8
【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确运用指定解答本题的关键．
( 7) 2 17
（1）利用配方法得到 x− = ，然后利用直接开平方法解方程；
8 64
（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
【详解】（1）解：4x2−7x+2=0，
4x2−7x=−2，
7 1
x2− x=− ，
4 2
x2−
7
x+
(7) 2
=−
1
+
(7) 2
4 8 2 8
( 7) 2 17
x− =
8 64
7 ❑√17
x− =±
8 8
7+❑√17 7−❑√17
∴x = ,x = ；
1 8 2 8
1
（2）解：2x2= x+1
2
1
2x2− x−1=0
2
1
∵a=2,b=− ,c=−1，
2( 1) 2 33
Δ= − −4×2×(−1)= >0，
2 4
( 1) √33
− − ±❑
∴ 2 4 1±❑√33，
x= =
2×2 8
1+❑√33 1−❑√33
∴x = ,x =
1 8 2 8
82．（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）解方程
(1)x2+8x−9=0
(2)3x(2x+1)=4x+2
(3)(x−2)(3x−5)=1
(4)4(x−2) 2−9(3x−5) 2=0
【答案】(1)x =−9,x =1
1 2
1 2
(2)x =− ,x =
1 2 2 3
11+❑√13 11−❑√13
(3)x = ,x =
1 6 2 6
19 11
(4)x = ,x =
1 11 2 7
【分析】本题考查了一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可；
（3）先利用乘法展开，再移项，然后利用公式法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：x2+8x−9=0，
(x+9)(x−1)=0，
得到x+9=0或x−1=0，
解得x =−9,x =1；
1 2
（2）解：3x(2x+1)=4x+2，
3x(2x+1)−2(2x+1)=0，
(2x+1)(3x−2)=0，
得到2x+1=0或3x−2=0，1 2
解得x =− ,x = ；
1 2 2 3
（3）解：(x−2)(3x−5)=1，
3x2−11x+9=0，
11±❑√121−3×4×9 11±❑√13
x= = ，
6 6
11+❑√13 11−❑√13
∴x = ,x = ；
1 6 2 6
（4）解：4(x−2) 2−9(3x−5) 2=0，
[2(x−2)+3(3x−5))[2(x−2)−3(3x−5))=0，
得到2(x−2)+3(3x−5)=0或2(x−2)−3(3x−5)=0，
19 11
解得x = ,x = ．
1 11 2 7
83．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）解下列方程：
(1)x2−3x+1=0；
(2)(x+1)(x+2)=2x+4．
3+❑√5 3−❑√5
【答案】(1)x = ，x = ；
1 2 2 2
(2)x =−2，x =1．
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用公式法解答即可；
（2）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；
【详解】（1）解：∵x2−3x+1=0，a=1，b=−3，c=1，
∴Δ=b2−4ac=5>0，
−b±❑√b2−4ac 3±❑√5
∴x= = ，
2a 2
3+❑√5 3−❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：∵(x+1)(x+2)=2x+4，
∴(x+1)(x+2)−2(x+2)=0，
∴(x+2)(x+1−2)=0，
∴x+2=0，x−1=0，∴x =−2，x =1．
1 2
84．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解下列方程
(1)x2+2❑√2x+2=0；
(2)(2x+1)(x−3)=−6．
【答案】(1)x =x =−❑√2
1 2
3
(2)x = ，x =1
1 2 2
【分析】（1）利用因式分解法解答即可；
（2）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x2+2❑√2x+2=0，
∴x2+2❑√2x+(❑√2) 2=0，
∴(x+❑√2) 2=0，
∴x+❑√2=0，
∴x =x =−❑√2；
1 2
（2）解：方程整理得，2x2−5x+3=0，
∴(2x−3)(x−1)=0，
∴2x−3=0或x−1=0，
3
∴x = ，x =1．
1 2 2
85．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）解方程：(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=48．
5+❑√33 5−❑√33
【答案】x = ,x =
1 2 2 2
【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，解高次方程的应用，能选择适当的方法展开是解此题的关
键． 先(x−1)(x−4)和x−2)(x−3)分别相乘，把y=x2−5x+5当作一个整体展开，最后解方程，即可
得出方程的解．
【详解】解：原方程可化为[(x−1)(x−4)][(x−2)(x−3)]=48，
即(x2−5x+4)(x2−5x+6)=48，
设y=x2−5x+5，则原方程变为(y−1)(y+1)=48，
解得y =7,y =−7，
1 2
当x2−5x+5=7时，x2−5x−2=0，
5+❑√33 5−❑√33
解得x = ,x = ，
1 2 2 2
当x2−5x+5=−7时，
x2−5x+12=0，
Δ=(−5) 2−4×1×12=−23<0，
方程无实数根，
5+❑√33 5−❑√33
∴原方程的根为x = ,x = ．
1 2 2 2
86．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程：x2+ 1 −2 ( x+ 1) −1=0
x2 x
3+❑√5 3−❑√5
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方
程变形是解题的关键．
( 1) 2 ( 1) 1
利用完全平方公式把方程变形为 x+ −2 x+ −3=0，设x+ =m，则m2−2m−3=0，通过解一
x x x
1
元二次方程可得m的值，即可求出x+ 可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可．
x
【详解】解：∵x2+ 1 −2 ( x+ 1) −1=0，
x2 x
∴x2+ 1 +2−2 ( x+ 1) −3=0，即： ( x+ 1) 2 −2 ( x+ 1) −3=0，
x2 x x x
1
设x+ =m，则m2−2m−3=0，
x
因式分解得：(m−3)(m+1)=0，
∴m−3=0或m+1=0，
解得：m=3或m=−1，
1
当m=3时，则x+ =3，
x
整理得：x2−3x+1=0，−b±❑√b2−4ac 3±❑√9−4 3±❑√5
∴x= = = ，
2a 2 2
3+❑√5 3−❑√5
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2
3+❑√5 3−❑√5 1
经检验，x = ，x = 都是方程x+ =3的解3；
1 2 2 2 x
1
当m=−1时，则x+ =−1，
x
整理得：x2+x+1=0，
Δ=b2−4ac=1−4=−3<0，
1
∴x+ =−1时，方程无解．
x
3+❑√5 3−❑√5
综上，该方程的解为：x = ，x = ．
1 2 2 2
87．解方程：mx2−3=x2+2 (m≠1)
❑√5(m−1)
【答案】当m>1时，原方程的解是x=± ，当m<1时，原方程无实数解
m−1
5
【分析】先移项，再合并同类项可得(m−1)x2=5，根据m≠1求出x2= ，再讨论m−1<0时，
m−1
m−1>0，分别计算出方程的解.
【详解】解：移项得：mx2−x2=2+3，
化简得：(m−1)x2=5，
∵m≠1，
5
∴x2=
，
m−1
5
当m−1<0时，x2= <0，
m−1
∴原方程无实数解，
5
当m−1>0时，x2= >0，
m−1
√ 5 ❑√5(m−1) √ 5 ❑√5(m−1)
∴x =❑ = ，x =−❑ =−
1 m−1 m−1 2 m−1 m−1
√ 5 ❑√5(m−1)
∴当m>1时，原方程的解是x=±❑ =±
m−1 m−1
当m<1时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.
88．解方程：
（1）x2−2x=4．
（2）(x−3) 2+2x(x−3)=0．
【答案】(1) x =1+❑√5，x =1−❑√5．(2) x =3，x =1．
1 2 1 2
【详解】分析：（1）先移项，化为一元二次方程的一般式，然后根据公式法求解即可；
（2）根据因式分解法把方程化为ab=0的形式进行解答即可.
详解：（1）x2−2x=4．
解：原式可化为x2−2x−4=0，
Δ=b2−4ac=(−2) 2−4⋅1⋅(−4)=20>0，
−b±❑√b2−4ac 2±2❑√5
∴x= = ，
2a 2
∴x =1+❑√5，x =1−❑√5．
1 2
（2）(x−3) 2+2x(x−3)=0．
解：(x−3)(x−3+2x)=0，
(x−3)(3x−3)=0，
∴x =3，x =1．
1 2
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点合理选择：直接开平方法，配方法，公式
法，因式分解法解方程是解题关键.
89．解方程
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．
【答案】（1）x=1或x=﹣5；（2）x=﹣3或x=5．
【详解】试题分析：（1）根据因式分解—十字相乘法，分解因式后，由ab=0的性质求解即可；
（2）通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=0的性质求解即可.
试题解析：（1）∵x2+4x﹣5=0，
∴（x﹣1）（x+5）=0，
则x﹣1=0或x+5=0，解得：x=1或x=﹣5；
（2）∵（x﹣3）（x+3）﹣2（x+3）=0，
∴（x+3）（x﹣5）=0，
则x+3=0或x﹣5=0，
解得：x=﹣3或x=5．
90．解方程：
(1)x2+2❑√5x+2=0；
(2)(3x+2)(x+3)=4(x+1)．
【答案】(1)x =−❑√5+❑√3，x =−❑√5−❑√3
1 2
1
(2)x =−2，x =−
1 2 3
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据配方法计算即可；
（2）根据公式法计算即可．
【详解】（1）解：原方程可化为：x2+2❑√5x=−2
∴x2+2❑√5x+5=3
即(x+❑√5) 2=3，
即x+❑√5=±❑√3，
∴x =−❑√5+❑√3，x =−❑√5−❑√3；
1 2
（2）解：方程整理得：3x2+7x+2=0，
∵a=3，b=7，c=2，
∴b2−4ac=72−4×3×2=25>0，
−7±❑√25 −7±5
∴x= = ，
2×3 6
1
∴x =−2，x =−
1 2 3
91．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程：
(1)(x+2) 2=3x+6；
(2)x2+6x+4=0；（用配方法解）(3)2y(y+2❑√2)=1．（用公式法解）
【答案】(1)x =−2,x =1
1 2
(2)x =❑√5−3,x =−❑√5−3
1 2
−2❑√2+❑√10 −2❑√2−❑√10
(3)y = ,y =
1 2 2 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关
键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可；
（2）根据配方法解一元二次方程的方法解答即可；
（3）先化为一元二次方程的一般式，再利用公式法求解．
【详解】（1）解：(x+2) 2=3x+6，
整理，得(x+2) 2−3(x+2)=0．
∴(x+2)(x−1)=0，
∴x+2=0或x−1=0，
解得：x =−2,x =1；
1 2
（2）解：x2+6x=−4．
∴x2+6x+32=−4+32，
∴(x+3) 2=5，
即x+3=±❑√5，
所以x =❑√5−3,x =−❑√5−3；
1 2
（3）解：2y(y+2❑√2)=1，
整理，得2y2+4❑√2y−1=0．
∴a=2,b=4❑√2,c=−1，
∵b2−4ac=(4❑√2) 2 −4×2×(−1)=40，
−4❑√2±❑√40 −2❑√2±❑√10
∴y= = ，
2×2 2
−2❑√2+❑√10 −2❑√2−❑√10
即y = ,y = ．
1 2 2 292．（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程：
(1)x2−5x−14=0
(2)x2−6x=3(6−x)
【答案】(1)x =7，x =−2
1 2
(2)x =6，x =−3
1 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：x2−5x−14=0，
(x−7)(x+2)=0，
x−7=0或x+2=0，
所以x =7，x =−2；
1 2
（2）解：x2−6x=3(6−x)，
x(x−6)=−3(x−6)，
x(x−6)+3(x−6)=0，
(x−6)(x+3)=0，
x−6=0或x+3=0，
所以x =6，x =−3．
1 2
93．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）解方程：
(1)x2−2❑√5x=0；
(2)3x2−x−1=0．
【答案】(1)x =2❑√5，x =0；
1 2
1+❑√13 1−❑√13
(2)x = ，x = ．
1 6 2 6
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程中的因式分解法求解即可；
（2）利用解一元二次方程中的公式法求解即可．
【详解】（1）解：x2−2❑√5x=0，x(x−2❑√5)=0，
所以x =2❑√5，x =0．
1 2
（2）解：3x2−x−1=0
由公式法可知：
Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×(−1)×3=13>0，
−b±❑√b2−4ac 1±❑√13 1±❑√13
∴x= = = ，
2a 2×3 6
1+❑√13 1−❑√13
∴x = ，x = ．
1 6 2 6
94．（24-25九年级下·全国·假期作业）用适当方法解方程：
(1)x2−x=1
(2)2(2x−3) 2−3(2x−3)=0
(3)3x2−2❑√6x+2=0
1+❑√5 1−❑√5
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2
3 9
(2)x = ，x =
1 2 2 4
❑√6
(3)x =x =
1 2 3
【分析】此题考查选择合适的方法解一元二次方程的能力，熟练掌握常用解法，直接开平方法，配方法，
因式分解法，求根公式法，是解题的关键，本题宜采用后两种方法．
（1）用公式法计算即可；
（2）运用提取公因式法将左边分解因式求解；
（3）用公式法计算即可．
【详解】（1）解：x2−x=1，
x2−x−1=0，
−(−1)±❑√(−1) 2−4×1×(−1) 1±❑√5
x= = ，
2×1 2
1+❑√5 1−❑√5
∴x = ，x = ．
1 2 2 2（2）解：2(2x−3) 2−3(2x−3)=0，
(2x−3)(4x−6−3)=0，
(2x−3)(4x−9)=0，
3 9
∴x = ，x = ．
1 2 2 4
（3）解：3x2−2❑√6x+2=0，
2❑√6±❑√24−4×3×2 ❑√6
x= = ，
2×3 3
❑√6
∴x =x = ．
1 2 3
95．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
【答案】x＝﹣2，x＝1
1 2
【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．
【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，
解得y＝﹣3，y＝2．
1 2
①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
解得x＝﹣2，x＝1；
1 2
②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，
∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程无解；
∴原方程的解为x＝﹣2，x＝1．
1 2
【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.
96．（2024九年级上·全国·专题练习）解方程x2−2|2x+3)+9=0
【答案】x =1，x =3
1 2
【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一
元二次方程，是解题的关键．
3 3
分x≥− 与x<− ，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．
2 2
3
【详解】当2x+3≥0，即x≥− 时，
2
原方程可化为：x2−2(2x+3)+9=0，
整理得：x2−4x+3=0，解得：x =1，x =3，
1 2
3
当2x+3<0，即x<− 时，
2
原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0，
整理得x2+4x+15=0，
∵Δ=42−4×1×15=−44<0，
∴此方程无实数解．
综上所述，原方程的解为：x =1，x =3．
1 2
97．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）利用换元法解下列方程：
(1)x2=❑√2|x)；
(2)x2−6x−3|x−3)−1=0．
【答案】(1)x =0，x =−❑√2，x =❑√2．
1 2 3
(2)x =8，x =−2
1 2
【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键；
（1）把原方程化为：x2−❑√2|x)=0，再按照“范例”中的方法解答即可；
（2）把原方程化为：|x−3) 2 −3|x−3)−10=0，再按照“范例”中的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵x2=❑√2|x)，
∴x2−❑√2|x)=0，
设|x)= y，则y2−❑√2y=0．
解得：y =0，y =❑√2．
1 2
当y=0时，|x)=0，
∴x=0；
当y=❑√2时，
∴x=±❑√2；
∴原方程的解是：x =0，x =−❑√2，x =❑√2．
1 2 3
（2）解：∵x2−6x−3|x−3)−1=0，
∴(x−3) 2−3|x−3)−10=0，
即|x−3) 2 −3|x−3)−10=0．设|x−3)= y，则y2−3 y−10=0，
解得：y =5，y =−2．
1 2
当y =5时，即|x−3)=5，
1
∴x=8或x=−2．
当y =−2时，即|x−3)=−2，
2
∴方程无解．
∴原方程的解是：x =8，x =−2．
1 2
98．（25-26九年级上·全国·课后作业）请运用“整体换元法”解方程：
(1)x4−3x2−4=0．
(2)(x2−2) 2 −11(x2−2)+18=0．
【答案】(1)x =2,x =−2
1 2
(2)x =2,x =−2,x =−❑√11,x =❑√11
1 2 3 4
【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法
解方程的关键．
（1）根据“整体换元法” 设x2= y，则原方程可化为：y2−3 y−4=0，解新的一元二次方程，解出未知
数后代入即可求解原方程的解．
（2）根据“整体换元法” 设x2−2= y，则原方程可化为：y2−11y+18=0，解新的一元二次方程，解
出未知数后代入即可求解原方程的解．
【详解】（1）解：设x2= y，
则原方程可化为y2−3 y−4=0，解得y =4,y =−1．
1 2
当y=4时，x2=4,∴x=±2；
当y=−1时，x2=−1，此方程无解．
综上所述，原方程的解为x =2,x =−2．
1 2
（2）解：设x2−2= y，则原方程可化为y2−11y+18=0，
解得y =2,y =9．
1 2
当y=2时，x2−2=2,∴x2=4,∴x=±2；
当y=9时，x2−2=9,∴x2=11,∴x=±❑√11．
综上所述，原方程的解为x =2,x =−2,x =−❑√11,x =❑√11．
1 2 3 499．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）利用换元法解方程(x2−x) 2 +7(x2−x)−18=0．
【答案】x =2，x =−1
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【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设x2−x=t，于是原方程化为t2+7t−18=0，求解t
，再进一步求解即可．
【详解】解：设x2−x=t，于是原方程化为t2+7t−18=0，
∴(t−2)(t+9)=0，
解得t =2，t =−9；
1 2
当t=2时，x2−x=2，
∴x2−x−2=0，
∴(x−2)(x+1)=0，
解得x =2，x =−1；
1 2
当t=−9时，x2−x=−9，
∴x2−x+9=0，
此时△=(−1) 2−4×1×9<0，方程无解，
故原方程的解为x =2，x =−1．
1 2
100．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）换元法解方程：(x2−2x+1)(x2−2x−3)=0．
【答案】x =x =1，x =3，x =−1
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【分析】t=x2−2x分解因式后得到t=−1或t=3，带回后求未知数的值即可．
【详解】解：设t=x2−2x．则(t+1)(t−3)=0．
解得t=−1或t=3．
当t=−1时，x2−2x=−1，即(x−1) 2=0．
解得x =x =1．
1 2
当t=3时，x2−2x=3，即(x−3)(x+1)=0．
解得x =3，x =−1．
3 4
综上所述，原方程的解为x =x =1，x =3，x =−1．
1 2 3 4
【点睛】本题主要考查利用整体思想及换元法解因式分解来求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘
以及整体思想是解题关键．
