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专题 21.2 公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系
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目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 一元二次方程的解法——公式法】................................................................................................1
【考点二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】....................................................................................4
【考点三 根据一元二次方程根的情况求参数】............................................................................................6
【考点四 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】............................................................................8
【考点五 一元二次方程的解法——因式分解法】......................................................................................12
【考点六 换元法解一元二次方程】..............................................................................................................15
【考点七 一元二次方程根与系数的关系】..................................................................................................18
【考点八 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】..............................................................................20
【过关检测】...................................................................................................................................................24
【典型例题】
【考点一 一元二次方程的解法——公式法】
【例题1】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ； (2) ．
【变式1-1】（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程： （公式法）
【变式1-2】（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）解方程：
【变式1-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1) ； (2) ．
【变式1-4】（2023春·八年级单元测试）解方程
(1) ； (2) ．
【考点二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【例题2】（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
【变式2-1】（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）方程 根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根 D．无法判断
【变式2-3】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程 ，下列说法正确的
是（ ）
A．当 时，方程无实数解 B．当 时，方程有两个相等的实数解
C．当 时，方程有两个不相等的实数解D．当 时，方程有两个相等的实数解
【考点三 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例题3】（2023·安徽宿州·校考一模）若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围为
________．
【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值为______．【变式3-2】（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，则 的取值范围是______．
【变式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若关于x的一元二次方程 无实数根，则
整数k的最小值为___________．
【考点四 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】
【例题4】（2023·北京昌平·统考二模）关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求 的取值范围．
【变式4-1】（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
【变式4-2】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【变式4-3】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程
．
(1)判别方程根的情况，并说明理由．
(2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【考点五 一元二次方程的解法——因式分解法】
【例题5】（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解下列方程：
(1) ； (2) ．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程： ．
【变式5-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：
(1) (2)
【变式5-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）解方程
(1) ； (2)
【变式5-4】（2022秋·九年级单元测试）解方程：
(1) ．(配方法) (2) ．(因式分解法)
(3) ．(公式法) (4) ．(因式分解法)
【考点六 换元法解一元二次方程】
【例题6】（2023·全国·九年级假期作业）实数 满足方程 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【变式6-1】（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或3【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）若 ，则 ______．
【变式6-3】（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题.
解方程： .
解：把 视为一个整体，设 ，则原方程可化为 ．
解得： ， ，
或 ，
， ．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解决下列问题：
(1)解方程 ；
(2)已知 ，求 的值.
【考点七 一元二次方程根与系数的关系】
【例题7】（2023·四川泸州·统考一模）已知 是一元二次方程 的两根，则 的
值是______．
【变式7-1】（2023·全国·九年级假期作业）若 、 为 的两根，则 的值为
______．
【变式7-2】（2023·全国·九年级假期作业）设一元二次方程 的两根分别是 、 ，计算
____________．
【变式7-3】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足 ，，且 ，则 的值为___．
【变式7-4】（2023春·全国·八年级专题练习）已知 ， 是方程 的两根，则 的
值为__________．
【考点八 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】
【例题8】（2023·湖北襄阳·统考二模）关于 的一元二次方程 有两个不相等实数根
和 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)当 时，求 的值．
【变式8-1】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根 ，且 ，求k的值．
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级期末）已知关于 的一元二次方程 有两个
不相等的实数根 ．
(1)若 为正整数，求 的值；
(2)若 满足 ，求 的值．【变式8-3】（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为 ，且满足 ．求 的值．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）一元二次方程 的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2023·贵州遵义·统考三模）一元二次方程 的两个根是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2023·贵州六盘水·统考二模）已知 是一元二次方程 的两根，则 的值
为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2023·山东泰安·统考一模）已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）已知关于x的方程 有两个实数解，求k的取值范围（ ）
A． B． 且 C． D． 且
6．（2023·全国·九年级假期作业）方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是
周长是( )
A． B． C． 或 D． 或 或
二、填空题
7．（2023·广东·九年级专题练习）一元二次方程 的解是______．
8．（2023·吉林长春·统考二模）一元二次方程 根的判别式的值为______．
9．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）若方程 的两根为 ， ，则 ___________．
10．（2023·广东阳江·统考二模）一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为_________．
11．（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）设m，n为关于x的方程 的两个实数根，则
______.
12．（2023·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则它有一根为﹣1；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；
其中正确的______．
三、解答题
13．（2023春·浙江杭州·八年级杭州市惠兴中学校考期中）解方程．
(1) ；
(2) ．14．（2023春·山东威海·八年级校联考期中）解方程
(1)
(2)
15．（2023春·全国·八年级专题练习）用适当的方法解方程．
(1)
(2)
16．（2023春·全国·八年级专题练习）根据要求解下列方程．
(1)用配方法解方程： ．
(2)用公式法解方程． ．
17．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)试说明：对于任意实数 ，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于 ，另一根小于 ，求 的取值范围．
18．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）关于 的一元二次方程 有实数根．求：
(1)求 的范围；
(2)设 为方程的两个根，且 ，求 的值？19．（2023·北京丰台·二模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．
20．（2023·广东广州·校考一模）已知关于x的一元二次方程 ，其中a、b、c分
别为 三边的长．
(1)如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由．
(3)如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
