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专题 21.4 一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】.............................................................................................1
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】.....................................................................3
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】.....................................................................5
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】.........................................................................................................8
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】...........................................................................................10
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】...................................................................................13
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】.......................................................................................15
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】...............................................................................17
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】...........................................................................................20
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】.......................................................................................24
知识点 一元二次方程根与系数的关系
−b+❑√b2−4ac
1. 由求根公式可得当∆≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x = ，
1 2a
−b−❑√b2−4ac b c
x = ,则x +x =− ，x x = ．
2 2a 1 2 a 1 2 a
例如：方程x2+px+q=0的两根为x ，x ，则x +x =−p，x x =q．
1 2 1 2 1 2
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
b a
【例1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）若a,b是关于x的方程x2−x−3=0的两实数根，则 + 的值
a b
为 ．7
【答案】−
3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握
b c
ax2+bx+c=0的两根x 、x 满足x +x =− ，x x = 是解题的关键．
1 2 1 2 a 1 2 a
b a
根据一元二次方程根与系数关系得到a+b=1，ab=−3，然后将 + 变形后整体代入求解即可．
a b
【详解】解：∵a，b是方程x2−x−3=0的两个实数根，
∴a+b=1，ab=−3
b a a2+b2 (a+b) 2−2ab 12−2×(−3) 7
∴ + = = = =− ．
a b ab ab −3 3
7
故答案为：− ．
3
【变式1-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知a,b是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，
则ab−a−b= ．
【答案】−2024
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数之间的关系，得到a+b=−1,ab=−2025，整体代入法
进行计算即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵a,b是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，
∴a+b=−1,ab=−2025，
∴ab−a−b=ab−(a+b)=−2025−(−1)=−2024；
故答案为：−2024．
【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）一元二次方程x2+x−2=0的两个根分别是x ，x ，则
1 2
x2+x2
的值为 ．
1 2
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实
b c
数根x ，x 和系数a，b，c，有如下关系：x +x =− ，x ⋅x = ，由题可得x +x =−1，x ⋅x =−2
1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 1 2
，再利用完全平方公式计算即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程x2+x−2=0的两个根分别是x ，x ，
1 2
∴x +x =−1，x ⋅x =−2，
1 2 1 2∴x2+x2=(x +x ) 2−2x ⋅x =(−1) 2−2×(−2)=5，
1 2 1 2 1 2
故答案为：5．
【变式1-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程x2+2x−m2−m=0（m为正整数）的
两根分别记为α ，β ，如：当m=1时，方程的两根记为α ，β ，则
m m 1 1
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ + =
．
α β α β α β
1 1 2 2 2025 2025
2025
【答案】
1013
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出
1 1 (1 1 )
α +β =−2，α β =−(m2+m)，从而得出 + =2 − ，由此规律计算即可得解，熟练掌
m m m m α β m m+1
m m
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程x2+2x−m2−m=0（m为正整数）的两根分别记为α ，β ，
m m
∴α +β =−2，α β =−(m2+m)，
m m m m
∴ 1 + 1 = α m +β m= −2 =2 ( 1 − 1 ) ，
α β α β −(m2+m) m m+1
m m m m
1 1 1 1 1 1
∴
+ + + +⋯+ +
α β α β α β
1 1 2 2 2025 2025
[( 1) (1 1) ( 1 1 ))
=2 1− + − +…+ −
2 2 3 2025 2026
( 1 )
=2× 1−
2026
2025
= ，
1013
2025
故答案为： ．
1013
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则代数式
2α2+6α+2β+5的值为 ．
【答案】4051【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
b
将x=α代入原方程，再结合根与系数的关系x +x =− 即可解决问题．
1 2 a
【详解】解：∵α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，
2
∴α2+2α−2025=0，α+β=− =−2，
1
∴α2+2α=2025，
则2α2+6α+2β+5=2α2+4α+2α+2β+5
=2(α2+2α)+2(α+β)+5
=2×2025+2×(−2)+5
=4051，
故答案为：4051．
【变式2-1】（2025·四川广安·中考真题）已知方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，则代数式
a2−4a+b的值为 ．
【答案】29
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，可得：
a+b=5，a2−5a=24，把a2−4a+b整理可得：a2−4a+b=(a2−5a)+(a+b)，再利用整体代入法求值
即可．
【详解】解：∵方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2−5a−24=0，
∴a2−5a=24，
∴a2−4a+b
=a2−5a+a+b
=(a2−5a)+(a+b)
=24+5
=29．
故答案为：29．
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知a和b是方程x2+4x−4=0的两个根，则
a2+5a−b(a−1)的值为 ．【答案】4
【分析】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据根与系数的关系得出ab=−4，a+b=−4
，根据方程的解得a2+4a−4=0，再将a2+5a−b(a−1)变形为a2+4a−ab+(a+b)，最后整体代入求值
即可．
【详解】解：∵a和b是方程x2+4x−4=0的两个根，
∴a2+4a−4=0，ab=−4，a+b=−4，
∴a2+4a=4，
∴a2+5a−b(a−1)
=a2+5a−ab+b
=a2+4a−ab+(a+b)
=4−(−4)+(−4)
=4．
故答案为：4．
【变式2-3】（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程x2−x=3的两个实数根，那么2n2−mn+2m的
值是 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元
二次方程根与系数的关系是解题的关键
先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n=1,mn=−3以及方程
的解可得n2=3+n，然后对2n2−mn+2m变形后代入计算即可解答．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2−x=3的两个实数根，即x2−x−3=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=1,mn=−3,n2−n−3=0
∴n2=3+n
∴2n2−mn+2m
=2(3+n)−(−3)+2m
=6+2n+3+2m
=9+2(n+m)
=9+2×1
=11．
故答案为：11．【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
【例3】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知α、β是方程x2+2x−1=0的两个实根，则α3+5β+2的
值是 ．
【答案】−10
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得α2+2α−1=0，α+β=−2，
将原式变形，整体代入计算即可
【详解】解：∵α、β是方程x2+2x−1=0的两个实根，
∴α2+2α−1=0，α+β=−2，
∴α2=1−2α，α2+2α=1
∴α3+5β+2
=α⋅α2+5β+2
=α(1−2α)+5β+2
=α−2α2−4α+4α+5β+2
=α−(2α2+4α)+4α+5β+2
=5α−2(α2+2α)+5β+2
=5(α+β)
=5×(−2)
=−10，
故答案为：−10．
【变式3-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知α、β是方程x2+4x+2=0的两个实根，则
α3+14β+5的值是 ．
【答案】−43
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆用，掌握一元
二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知α+β=−4，α2+4α+2=0，进而整理出α3=14α+8，
将其代入化简求值即可．
【详解】解：根据题意，α、β是方程x2+4x+2=0的两个实根，
∴α+β=−4，α2+4α+2=0，
∴α2=−4α−2，
∴α3=α⋅α2=−4α2−2α=−4(−4α−2)−2α=14α+8，
∴α3+14β+5=14α+8+14β+5=14(α+β)+13=14×(−4)+13=−43．故答案为：−43．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程x2+x−3=0的两个根，那
3
么多项式m3+3n−mn+ +2032的值是 ．
n
【答案】2029
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握x ，x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ，x x = 是解题的关键．先根据根与系数的关系得出
1 2 a 1 2 a
1 n+1
m+n=−1，mn=−3，再利用一元二次方程解的定义得到m2=−m+3， = ，从而得到m3=4m−3
n 3
3
， =n+1，则原式化简为4(m+n)−mn+2032，最后利用整体代入的方法计算即可．
n
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根
∴m+n=−1，mn=−3，m2+m−3=0，n2+n−3=0
∴m2=−m+3，n(n+1)=3
∴m3=m(−m+3)=−m2+3m=−(−m+3)+3m=4m−3
1 n+1 3
= ，即 =n+1
n 3 n
3
∴m3+3n−mn+ +2032
n
=4m−3+3n−mn+n+1+2032
=4m+4n−mn−2+2032
=4(m+n)−mn+2030
=4×(−1)−(−3)+2030
=2029
故答案为：2029．
【变式3-3】（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知α，β是一元二次方程x2+x−3=0的两根，求
α6−40β+3的值为
【答案】100
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x ，x 和系数a，b，c，有如下关系：x +x =− ，x ⋅x = ，由题
1 2 1 2 a 1 2 a
意得出α2+α−3=0，α+β=−1，从而得出α2+α=3，求出α6=−40α+57，整体代入计算即可得出答
案．
【详解】解：∵α、β是一元二次方程x2+x−3=0的两根，
∴α2+α−3=0，α+β=−1，
∴α2=3−α，
∴α3=α⋅(−α+3)=−α2+3α=α−3+3α=4α−3，
∴α6=(α3) 2
=(4α−3) 2
=16α2−24α+9
=16(3−α)−24α+9
=48−16α−24α+9
=−40α+57，
∴α6−40β+3
=−40α−40β+57+3
=−40(α+β)+60
=40+60
=100．
故答案为：100．
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
【例4】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−mx+2m−1=0有两个实数
6
根x ，x ．实数m满足(x −1)(x −1)= ，则实数m的值为 ．
1 2 1 2 m−1
【答案】−2
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然
后把(x −1)(x −1)转换为x x −(x +x )+1，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可
1 2 1 2 1 2
求出结果．
【详解】解：∵x ，x 是一元二次方程x2−mx+2m−1=0的两个实数根，
1 2∴x +x =m，x x =2m−1，
1 2 1 2
6
∵(x −1)(x −1)= ，
1 2 m−1
6
∴x x −(x +x )+1= ，
1 2 1 2 m−1
6
∴2m−1−m+1= ，
m−1
解得m =−2，m =3，
1 2
经检验m =−2，m =3是分式方程的解，
1 2
又∵方程x2−mx+2m−1=0有两个实数根，
∴Δ=m2−4(2m−1)≥0，
当m =−2时，Δ=4−4×(−5)=24>0，
1
当m =3时，Δ=9−4×5=−11<0，
2
∴符合条件的m的值为m =−2．
1
故答案为：−2．
【变式4-1】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知x ，x 是关于x的方程x2−mx+1=0的两个实数根，
1 2
且(x −2)(x −2)=−3，则m的值等于 ．
1 2
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若
b c
x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ，据此可得x +x =m，x x =1，再根据
1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 1 2
(x −2)(x −2)=−3得到x x −2(x +x )+4=−3，即1−2m+4=−3，解方程即可得到答案．
1 2 1 2 1 2
【详解】解：∵x ，x 是关于x的方程x2−mx+1=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =m，x x =1，
1 2 1 2
∵(x −2)(x −2)=−3，
1 2
∴x x −2x −2x +4=−3，
1 2 1 2
∴x x −2(x +x )+4=−3，
1 2 1 2
∴1−2m+4=−3，
∴m=4，故答案为：4．
【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知方程x2+(4−2m)x+m2−5=0的两根之积是两根
之和的2倍，则m= ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题
型，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得
2(2m−4)=m2−5，解方程即可求出m的值，再代入原方程检验即得答案．
【详解】解：设方程x2+(4−2m)x+m2−5=0的两个根分别为x ，x ，
1 2
则x +x =2m−4，x ⋅x =m2−5，
1 2 1 2
根据题意得：2(2m−4)=m2−5，即m2−4m+3=0，
解得m=1或m=3；
当m=1时，原方程为x2+2x−4=0，Δ>0；
当m=3时，原方程为x2−2x+4=0，Δ<0，舍去．
∴m=1．
故答案为：1．
【变式4-3】（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程x2−2mx+m2−4=0的两个根x ，x 满足
1 2
x =2x +3，且x >x ，则m的值为 ．
1 2 1 2
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到
2m−3 4m+3
x +x =2m，x x =m2−4，进而根据已知条件式推出x = ，x = ，则可得方程
1 2 1 2 2 3 1 3
4m+3 2m−3
⋅ =m2−4，解方程后根据x >x 验证结果即可．
3 3 1 2
【详解】解：∵x ，x 是关于x的方程x2−2mx+m2=4的两个根，
1 2
∴x +x =2m，x x =m2−4
1 2 1 2
∴x =2m−x ，
1 2
∵x =2x +3，
1 2
∴2m−x =2x +3，
2 2
2m−3
∴x = ，
2 32m−3 4m+3
∴x =2m− = ，
1 3 3
4m+3 2m−3
∴ ⋅
=m2−4，
3 3
∴8m2+6m−12m−9=9m2−36，
∴m2+6m−27=0，
解得m=−9或m=3，
∵x >x ，
1 2
4m+3 2m−3
∴ > ，
3 3
∴m>−3，
∴m=3，
故答案为：3．
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
【例5】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程4x2−5x−(m+5)=0的解中，仅有一个正
数解，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥−5
【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得m的取
值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键
{Δ=(−5) 2−4×4×[−(m+5)]≥0
)
是得到 m+5 ．
− ≤0
4
【详解】解：∵关于x的方程4x2−5x−(m+5)=0的解中，仅有一个正数解，
{Δ=(−5) 2−4×4×[−(m+5)]≥0
)
∴ m+5 ，
− ≤0
4
解得m≥−5．
故答案为：m≥−5．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有两个
不相等的实数根x ,x ，且x ,x 满足2x x >x +x ，则m的取值范围是 ．
1 2 1 2 1 2 1 2【答案】3m>3
【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．据根的情况可得
Δ=(−4) 2−4×1×(m−1)>0，根据根与系数的关系可得2(m−1)>4，即可求出m的取值范围．
【详解】解：根据题意，Δ=(−4) 2−4×1×(m−1)>0，
解得m<5，
∵关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有两个不相等的实数根x ,x ，
1 2
∴x +x =4,x x =m−1，
1 2 1 2
又∵2x x >x +x ，
1 2 1 2
∴2(m−1)>4
解得m>3，
∴实数m的取值范围是：30
解得a≠0，
∵x ，x 是方程ax2+(a+2)x+1=0的两个实数根，
1 2
a+2 1
∴x +x =− ，x x = ，
1 2 a 1 2 a
∵x <10，
1 2
∴(x −1)(x −1)<0，
1 2
∴x x −(x +x )+1<0，
1 2 1 2
1 ( a+2)
∴ − − +1<0，
a a
3
整理得： <−2，
a
3 3
当a<0时，解不等式 <−2得：a>− ，
a 2
3
∴− 0时，解不等式 <−2得：a<− ，
a 2
∴此时无解；
3
综上分析可知：− 0，再由x x −1=|x +x |，即可
1 2 1 2 1 2 1 2
得出m2−4m+4−1=2m+2，解之即可得出m的值．
【详解】∵方程x2−(2m+2)x+m2−4m+4=0有两个实数根x ，x ，
1 2∴ Δ =[−(2m+2)] 2−4(m2−4m+4)=24m−12≥0，
1
解得：m≥ ；
2
∵原方程的两个实数根为x 、x ，
1 2
∴x +x =2m+2，x ⋅x =m2−4m+4，
1 2 1 2
1
∵m≥ ，
2
∴x +x =2m+2>0，
1 2
∵x x −1=|x +x |，
1 2 1 2
∴x x −1=x +x ，
1 2 1 2
1
∴m2−4m+4−1=2m+2，且m≥ ，
2
整理得，m2−6m+1=0，
∵Δ=(−6) 2−4×1×1=32>，
−(−6)±❑√32 6±4❑√2
∴m= = =3±2❑√3，
2 2
1
∵m≥ ，
2
∴解得：m=3+2❑√2．
1
故答案为：m≥ ，3+2❑√2．
2
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】
x
【例6】（24-25九年级上·湖北随州·期末）已知2x2−2025x+3=0,3 y2−2025 y+2=0，且xy≠1，则
y
的值为 ．
3
【答案】 /1.5
2
1
【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令 =z，结合xy≠1，则z是
y
2z2−2025z+3=0的根，那么，x和z为方程2x2−2025x+3=0的两根，利用根与系数的关系即可求
得．1
【详解】解：令 =z，
y
xy≠1，
∵
1 (1)
❑2
3−2025 +2 =0，
y y
∴
则2z2−2025z+3=0，
那么，x和z为方程2x2−2025x+3=0的两根，
3
xz= ，
2
∴
x 3
则 = ，
y 2
3
故答案为： ．
2
{x+ y=8)
【变式6-1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程组 的解是 ．
xy=15
{x=3) {x=5)
【答案】 或
y=5 y=3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将方程组转化成一元二次方程求解成为解题的关
键。
先根据根与系数的关系将方程组转化为一元二次方程求解即可。
{x+ y=8)
【详解】解：由题意，∵ ，
xy=15
∴x，y可以看作是方程z2−8z+15=0的两个实数根.
又∵方程z2−8z+15=0的两个实数根为z=3或z=5，
{x+ y=8) {x=3) {x=5)
∴方程组 的解是 或 .
xy=15 y=5 y=3
{x=3) {x=5)
故答案为： 或 .
y=5 y=3
【变式6-2】（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）已知实数m,n(m≠n)满足2m2−3m−1=0，
n m
2n2−3n−1=0，则 + 的值为
m n
13
【答案】−
2
【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程2x2−3x−1=0的两实数根是解题的关键．根据已知判断出m，n是方程2x2−3x−1=0的两实数
根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数m，n(m≠n) 满足等式2m2−3m−1=0，2n2−3n−1=0，
∴m，n是方程2x2−3x−1=0的两实数根，
3 1
∴m+n= ，mn=− ，
2 2
9 ( 1)
−2× −
n m n2+m2 (m+n) 2−2mn 4 2 13
∴ + = = = =− ，
m n mn mn 1 2
−
2
13
故答案为：−
2
【变式6-3】设x，y，s，t为互不相等的实数，且(x2−s2 )(x2−t2 )=1，(y2−s2 )(y2−t2 )=1，则
x2y2−s2t2的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
【答案】A
【分析】把x2,y2看作以上方程的两个不同的根，可得x4−(s2+t2)x2−s2t2−1=0，根据一元二次方程根
与系数的关系求解即可
【详解】解：∵ (x2−s2 )(x2−t2 )=1，(y2−s2 )(y2−t2 )=1，
∴ x2,y2看作以上方程的两个不同的根，
即x2,y2是方程x4−(s2+t2)x2−s2t2−1=0的两根，
故x2y2=−s2t2−1，即x2y2−s2t2=−1
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【例7】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程
c
cx2+(a+b)x+ =0的根的情况是（ ）
4
A．没有实数根 B．有两个不相等的负实数根
C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本
题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．
根据三角形三边关系得到(a+b) 2>c2，然后利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可．
c
【详解】解：在方程cx2+(a+b)x+ =0中，
4
c
可得：Δ=(a+b) 2−4c⋅ =(a+b) 2−c2 ，
4
∵a、b、c是△ABC的三条边的长，
∴a>0，b>0，c>0．a+b>c，即(a+b) 2>c2，
∴(a+b) 2−c2>0，
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
c
a+b
又∵两根的和是− <0，两根的积是4 1 ，
c = >0
c 4
∴方程有两个不等的负实根．
故选：B．
【变式7-1】（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2kx−1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号
C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根
1 2
b c
时，x +x =− ，x x = .也考查了一元二次方程根的判别式．先计算根的判别式的值得到Δ=4k2+4，
1 2 a 1 2 a
则Δ>0，则根据根的判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得到方程的两
根之积为−1，则可得到方程的两根异号，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵Δ=(−2k) 2−4×1×(−1)=4k2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，设方程的两根分别为x ，x ，
1 2
∵x x =−1<0，
1 2
∴方程的两根异号．
故选：B．
【变式7-2】（2022·江苏南京·二模）方程(x+1)(x−2)+1=0的根的情况，下列结论中正确的是( )
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判断即可．
【详解】解：∵(x+1)(x−2)+1=0，
整理，得：x2−x−1=0，
∵Δ=(−1) 2−4×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为x ，x ，
1 2
∵x x =−1<0，x +x =1>0，
1 2 1 2
∴方程有一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根的绝对值．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若x ，x
1 2
b c
是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x +x =− ，x x = ；式子Δ=b2−4ac是一元二次方
1 2 a 1 2 a
程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，Δ>0⇔方程有两个不等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数
根；Δ<0⇔方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）一元二次方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则
这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【答案】D
c b
【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据x x = 判断根的符号情况，根据x +x =− 判定根的
1 2 a 1 2 a
绝对值大小关系．
【详解】∵a>0，b>0，c<0，
∴ac<0，ab>0
∴Δ=b2−4ac>0，∴方程有两个不相等的实数根，
c
∵x x = <0，
1 2 a
∴两根异号，
b
∵x +x =− <0，
1 2 a
∴负根的绝对值大，
综上，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根一负根且负根绝对值大，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
【例8】（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其
中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实
1
数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则 是方
m
程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x=1，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．
【详解】∵M:ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac＞0，
∵N:cx2+bx+a=0的判别式为Δ=b2−4ca=b2−4ac＞0，
∴方程N也有两个不相等的实数根，
故①正确；
∵M:ax2+bx+c=0两根符号相同，
c
∴Δ=b2−4ac≥0, ＞0，
a
a
∴Δ=b2−4ac≥0, ＞0，
c
∴方程N的两根符号也相同，
故②正确；
∵m是方程 M:ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，
c 1 c+bm+am2
∵ +b× +a= =0
m2 m m2
1
∴ 是方程N的一个根；
m
故③正确；
设方程M和方程N相同的根为x ，
0
根据题意，得ax 2+bx +c=0,cx 2+bx +a=0，
0 0 0 0
∴(a−c)x 2=a−c，
0
∵ac≠0，a≠c，
∴x 2=1，
0
解得x =±1，
0
故这个根是x=±1，
故④错误；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数
的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【变式8-1】（22-23九年级上·江苏南京·期中）若关于x的一元二次方程a(x+ ℎ) 2+k=0的两根分别为−3
、2，则方程a(x−1+ ℎ) 2+k=0 的根为 ．
【答案】x =−2，x =3 /x =3，x =−2
1 2 1 2
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系以及函数的平移解题；
【详解】解∵关于x的一元二次方程a(x+ ℎ) 2+k=0的两根分别为−3、2
∴函数y=a(x+ ℎ) 2+k与x轴的交点为(−3,0) ，(2,0)
∵ 函数y=a(x−1+ ℎ) 2+k是由函数y=a(x+ ℎ) 2+k向右平移一个单位长度得到；∴函数y=a(x−1+ ℎ) 2+k与x轴的交点为(−2,0) ，(3,0)
∴关于x方程a(x−1+ ℎ) 2+k=0的根为：x
1
=−2，x
2
=3
故答案为：x =−2，x =3
1 2
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的平移；熟练掌握二次函数与一元二次方
程的关系是解题的关键．
【变式8-2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）若x =2025，x =1是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个
1 2
2027
根，则方程ax2+bx− c=0的解为 ．
2025
【答案】x =2027，x =−1
1 2
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可
b c 2027
得 =−2026， =x ⋅x =2025，将方程ax2+bx− c=0两边同时除以a可得：
a a 1 2 2025
b 2027 c
x2+ x− ⋅ =0，整理可得x2−2026x−2027=0，求解即可．
a 2025 a
【详解】解：∵x =2025，x =1是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，
1 2
b c
∴− =x +x =2026， =x ⋅x =2025，
a 1 2 a 1 2
b
∴ =−2026，
a
2027 b 2027 c
将方程ax2+bx− c=0两边同时除以a可得：x2+ x− ⋅ =0，
2025 a 2025 a
∴x2−2026x−2027=0，
解得：x =2027，x =−1，
1 2
2027
∴方程ax2+bx− c=0的解为x =2027，x =−1，
2025 1 2
故答案为：x =2027，x =−1．
1 2
【变式8-3】关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程
y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．(p−2) 2+(q−2) 2＜8C．q是正数，p是负数 D．(p−2) 2+(q−2) 2≥8
【答案】D
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x、x，方程y2+qy+p＝0的两根为y、y．根据方程解的情况，结合
1 2 1 2
根与系数的关系可得出x•x＝q＞0，y•y＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别
1 2 1 2
式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2≥8，即可判断
B与D．
【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x、x，方程y2+qy+p＝0的两根为y、y．
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个
同号非零整数根，
∴x•x＝q＞0，y•y＝p＞0，
1 2 1 2
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个
同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4≥8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】
【例9】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程
x2−2( m+1)x+m2+5=0的两个根，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角
形的条件，当腰长为7时，x=7是方程x2−2( m+1)x+m2+5=0的一个根，当底边长为7时，则方程
x2−2( m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根，据此分别求出两种情况下m的值，再求出方程对应的
根，最后根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】解：当腰长为7时，则x=7是方程x2−2( m+1)x+m2+5=0的一个根，
∴72−2×7( m+1)+m2+5=0，
解得m=4或m=10，
当m=4时，由根与系数的关系可得方程的另一根为2( m+1)−7=2×(4+1)−7=3，∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，3，
∵3+7>7，
∴此时能构成三角形，符合题意；
当m=10时，由根与系数的关系可得方程的另一根为2( m+1)−7=2×(10+1)−7=15，
∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，15，
∵7+7<15，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当底边长为7时，则方程x2−2( m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根，
∴Δ=[−2( m+1)) 2 −4(m2+5)=0，
解得m=2，
−2(m+1)
∴由根与系数的关系可得方程的根为x =x = =3，
1 2 2
∵3+3<7，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
综上所述，m=4；
故答案为：4．
【变式9-1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次
方程x2−6x+m=0的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ．
【答案】❑√5
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，
根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形
的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
{a+b=6)
由题意得： ，
ab=m
∵菱形面积为4，
1
∴ ab=4，解得：ab=8，
2
√ a 2 b 2
∴菱形的边长为❑( ) +( )
2 21
= ❑√a2+b2
2
1
= ❑√(a+b) 2−2ab
2
1
= ❑√36−16
2
=❑√5，
故答案为：❑√5．
【变式9-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x
m 1
的方程x2−mx+ − =0的两个实数根，当四边形ABCD是菱形时，其周长为 ．
2 4
【答案】2
1 1
【分析】先根据菱形的性质得到AB=AD，则根据根的判别式的意义得到△=(−m) 2−4×( m− )=0
2 4
，根据根与系数的关系得到AB+AD=m，然后解方程得到m的值，从而得到菱形ABCD的周长．
本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
m 1
∵AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+ − =0的两个实数根，
2 4
1 1
∴ Δ=(−m) 2−4×( m− )=0，AB+AD=m，
2 4
解得m =m =1，
1 2
1 1
∴AB= m= ，
2 2
1
即菱形的周长为 ×4=2．
2
故答案为：2．
【变式9-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程
x2−(k+2)x+4k=0的两根，则该直角三角形的斜边长为 ．
【答案】13或10
【分析】本题考查的是解一元二次方程，完全平方公式等知识点，掌握根的判别式是解题的关键．
根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，因此根的判别式为平方数，然后对一元二次方程根的判别式进行讨论求出值，可得到直角三角形斜边的长．
【详解】解：设直角三角形两直角边长为x ，x ，则x +x =k+2,x ⋅x =4k，
1 2 1 2 1 2
∵方程的根为整数，
∴Δ=(k+2) 2−16k为完全平方数，
设Δ=(k+2) 2−16k=n2
整理得(k+n−6)(k−n−6)=32，
①当(k+n−6)(k−n−6)=32×1时，
∵k+n−6>k−n−6
{k+n−6=32)
∴
k−n−6=1
45
解得k= （舍去）；
2
②当(k+n−6)(k−n−6)=16×2时，
∵k+n−6>k−n−6
{k+n−6=16)
∴
k−n−6=2
解得k=15，
∴直角三角形的斜边长为❑√x 2+x 2=❑√(x +x ) 2−2x x =❑√(k−2) 2=13；
1 2 1 2 1 2
②当(k+n−6)(k−n−6)=8×4时，
∵k+n−6>k−n−6
{k+n−6=8)
∴
k−n−6=4
解得k=12，
∴直角三角形的斜边长为❑√x 2+x 2=❑√(x +x ) 2−2x x =❑√(k−2) 2=10；
1 2 1 2 1 2
综上，该直角三角形的斜边长为13或10.
故答案为：13或10.
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
【例10】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m+1)x+2=0．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和．(3)若此方程的两个实数根分别为x ,x ，求代数式m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)的值．
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析
(2)0
(3)0
【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
（1）由根的判别式Δ=[−(2m+1)) 2 −4m×2=(2m−1) 2即可知；
2m+1 1 2
（2）根据韦达定理知x +x = =2+ ，x ⋅x = ，由方程的两个实数根都是整数可得答案；
1 2 m m 1 2 m
（3）根据方程的解得定义得mx 2−(2m+1)x +2=0、mx 2−(2m+1)x +2=0，继而知
1 1 2 2
mx 5−(2m+1)x 4+2x 3=0，mx 5−(2m+1)x 4+2x 3=0，两式相加可得．
1 1 1 2 2 2
【详解】（1）解：此方程总有两个实数根．
理由：∵Δ=[−(2m+1)) 2 −4m⋅2=(2m−1) 2，
∴不论m为何值，(2m−1) 2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为x ,x ，
1 2
2m+1 1 2
则x +x = =2+ ，x ⋅x = ．
1 2 m m 1 2 m
∵此方程的两个实数根都是整数，
∴m的值为±1，
∴符合条件的整数m的值的和为0．
（3）解：∵x ,x 是方程mx2−(2m+1)x+2=0的两个实数根，
1 2
∴mx2−(2m+1)x +2=0，mx2−(2m+1)x +2=0，
1 1 2 2
∴mx5−(2m+1)x4+2x3=0，mx5−(2m+1)x4+2x3=0，
1 1 1 2 2 2以上两式相加，可得m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)=0，
1 2 1 2 1 2
即m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)=0．
1 2 1 2 1 2
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江·期中）关于x的一元二次方程x2−5x+k=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−5x+k=0有
一个相同的根，求此时m的值．
(3)若方程x2−5x+k=0的两个实数根为x ,x ，满足x =4x ，求此时k的值．
1 2 1 2
25
【答案】(1)k≤
4
9
(2)
10
(3)4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据Δ≥0，解不等式即可得出答案；
（2）求出k的值为6，解方程求出x =2，x =3，代入方程求出m的值即可；
1 2
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出x +x =5，x x =k，再结合x =4x 求出x ,x 的值，即可得出
1 2 1 2 1 2 1 2
答案．
【详解】（1）解：根据题意得：Δ=b2−4ac=(−5) 2−4k≥0，
25
解得k≤ ；
4
（2）解：∵k是符合条件的最大整数，
∴k的值为6，
∴方程x2−5x+k=0变形为x2−5x+6=0，
解得x =2，x =3，
1 2
∵一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−5x+k=0有一个相同的根，
∴当x=2时，4(m−1)+2+m−3=0，
解得：m=1，
∵m−1≠0，
∴m≠1；当x=3时，9(m−1)+3+m−3=0，
9
解得：m= ，
10
9
∴m的值为 ．
10
（3）解：∵x ，x 是方程x2−5x+k=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =5，x x =k，
1 2 1 2
∵x =4x ，
1 2
∴4x +x =5，
2 2
解得：x =1，
2
∴x =4，
1
∴k=x x =1×4=4．
1 2
【变式10-2】（2025·四川南充·二模）已知a、b是一元二次方程x2−2x+k2−2=0的两个实数根．
(1)求整数k的取值；
(2)若等式a2+2b−5=0成立，求整数k的值．
【答案】(1)±1，0
(2)±1
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系；
（1）根据方程有两个实数根，既有Δ≥0，求出k的取值范围，得到整数解即可；
（2）根据方程的根与系数的关系得到a+b=2，a2=2a−k2+2，然后代入求出整数k的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程x2−2x+k2−2=0有两个实数根，
∴Δ=4−4k2+8≥0，
解得：−❑√3≤k≤❑√3，
∴整数k的为±1，0；
（2）解：∵a、b是一元二次方程x2−2x+k2−2=0的两个实数根，
∴a+b=2，a2=2a−k2+2，
∴a2+2b−5=2a−k2+2+2b−5=4−k2+2−5=0，
解得k=±1，
∴整数k的值为±1．
【变式10-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x ,x ，且满足|x +x )=|x ⋅x )，则称此类方程为“和积方程”．
1 2 1 2 1 2例如：x2− 9 x+ 9 =0，即(x−3) ( x− 3) =0，解得x =3,x = 3
2 2 2 1 2 2
3 3 9 9
∵∣3+ ∣=∣3× ∣，∴x2− x+ =0是“和积方程”．
2 2 2 2
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两
b c
个实数根为x ，x ，则：x +x =− ,x ⋅x = ，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达
1 2 1 2 a 1 2 a
定理”．
(1)方程x2−5x+6=0 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程x2−(n+3)x+3n=0是“和积方程”，则n=_____
(3)若关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+2m=0是“和积方程”，求m的值．
【答案】(1)不是
3 3
(2) 或−
2 4
(3)m的值为−1或❑√3−2或−❑√3−2．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的
关键．
（1）根据“韦达定理”计算即可判断；
（2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到|n+3)=|3n)，据此计算即可求解；
1
（3）利用要根的判别式求得m≤ ，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到
4
|2m+1)=|m2+2m)，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程x2−5x+6=0的两个实数根为x ，x ，
1 2
b
∴x +x =− =5，x ⋅x =6，
1 2 a 1 2
∵5≠6，
∴|x +x )≠|x ⋅x )，
1 2 1 2
∴方程x2−5x+6=0不是“和积方程”，
故答案为：不是；
（2）解：∵关于x的方程x2−(n+3)x+3n=0是“和积方程”， x +x =n+3，x ⋅x =3n，
1 2 1 2
∴|n+3)=|3n)，3
当n+3=3n时，解得n= ；
2
3
当n+3=−3n时，解得n=− ；
4
（3）解：∵方程x2+(2m+1)x+m2+2m=0有两个实数根，
∴Δ=(2m+1) 2−4(m2+2m)≥0，
1
∴m≤ ，
4
∵方程x2+(2m+1)x+m2+2m=0是“和积方程”，
∴|2m+1)=|m2+2m)，
当2m+1=m2+2m时，
整理得m2=1，
解得m=1（舍去）或m=−1；
当2m+1=−m2−2m时，
整理得m2+4m+1=0，
解得m=❑√3−2或m=−❑√3−2；
∴m的值为−1或❑√3−2或−❑√3−2．
