九年级数学上学期第一次月考·培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程x2−6x+3=0时，下列变形正确
的是（ ）
A．(x−3) 2=3 B．(x−3) 2=6 C．(x+3) 2=6 D．(x−3) 2=12
【答案】B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平
方，最后整理得(x−3) 2=6，即可作答．
【详解】解：依题意，
x2−6x+3=0，
移项得x2−6x=−3，
x2−6x+9=−3+9=6，
∴(x−3) 2=6，
故选：B
2．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a为常数，且a>0）的图象上有四点A(−1,y )，B(3,y )，
1 1
C(2,y )，D(−2,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征
可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质．【详解】解：∵点A(−1,y )，B(3,y )，
1 1
−1+3
∴抛物线的对称轴为直线x= =1，
2
∵2−1<3−1<1−(−2)，
∴y <y <y ，
2 1 3
故选：B．
3．（3分）（2025·河南郑州·模拟预测）下列关于x的方程中一定有实数解的是（ ）
A．x2+4=2x B．x2+9=0
1
C． x2+2x+❑√5=0 D．3x2−2x−1=0
2
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是Δ≥0．计算
各方程的Δ，Δ≥0的一元二次方程有实数解．
【详解】解：A、x2−2x+4=0根的判别式Δ=(−2) 2−4×1×4=−12<0，方程没有实数解，不符合题
意；
B、x2+9=0根的判别式Δ=02−4×1×9=−36<0，方程没有实数解，不符合题意；
1 1
C、 x2+2x+❑√5=0根的判别式Δ=22−4× ×❑√5=4−2❑√5<0，方程没有实数解，不符合题意；
2 2
D、3x2−2x−1=0根的判别式Δ=(−2) 2−4×3×(−1)=16>0，符合题意；
故选：D．
4．（3分）将抛物线y=x2−2x+3平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位；
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位；
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位；
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先将y=x2−2x+3化为顶点式，再根据二次函数图象的平移法
则即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：∵y=x2−2x+3=(x−1) 2+2，∴将抛物线y=x2−2x+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线y=x2，
故选：A．
5．（3分）（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知m，n是方程x2+x−4=0的两个实数根，则
m(1+n)−n2的值是（ ）
A．−7 B．7 C．−9 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方
程根的定义可得n2=4−n，由一元二次方程根与系数的关系可得m+n=−1，mn=−4，进而代入代数式
计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵m，n是方程x2+x−4=0的两个实数根，
∴n2+n−4=0，m+n=−1，mn=−4，
∴n2=4−n，
∴m(1+n)−n2=m+mn−n2
=m−4−(4−n)
=m+n−8
=−1−8
=−9，
故选：C．
6．（3分）（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+c与x轴交于点A，B，与y轴交
于点C，AC⊥BC，则ac的值为（ ）
A．−1 B．−2 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先解方程 得 ( √ c )，
ax2+c=0 A −❑− ,0
a(√ c )，再计算自变量为0对应的函数值得到 ，接着证明 为等腰直角三角形，所以
B ❑− ,0 C(0,c) △ABC
a
√ c
OC=OB，即−c=❑− ，然后把等式两边平方可得ac=−1．
a
【详解】解：由图可得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，
∴a>0，c<0，
当y=0时，ax2+c=0，
√ c √ c
解得x =−❑− ，x =❑− ，
1 a 2 a
( √ c ) (√ c )
∴A −❑− ,0 ，B ❑− ,0 ，
a a
当x=0时，y=ax2+c=c，
∴C(0,c)，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OB，
√ c
即−c=❑− ，
a
整理，得
ac2=−c,
∵c≠0
∴ac=−1．
故选：A．
7．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）在▱ABCD中，对角线AC，BD的长是关于x的一元二次
方程kx2+2x−1=0的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≥−1且k≠0 B．−1≤k<0
C．k≤−1 D．−1<k<0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识
点是解题的关键．设一元二次方程kx2+2x−1=0的两个根为x ，x ，由题意得，x >0，x >0，由根与
1 2 1 22 1
系数的关系可得，x +x =− >0，x x =− >0，解得k<0，再利用一元二次方程根的判别式Δ≥0求出
1 2 k 1 2 k
k的范围，即可得出答案．
【详解】解：设一元二次方程kx2+2x−1=0的两个根为x ，x ，
1 2
由题意得，x >0，x >0，
1 2
2 1
由根与系数的关系可得，x +x =− >0，x x =− >0，
1 2 k 1 2 k
解得：k<0，
∵一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，
∴Δ=22−4×k×(−1)≥0，
解得：k≥−1，
∴k的取值范围是−1≤k<0．
故选：B．
8．（3分）（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：
v +v
m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系v=−3t+60．而滑行距离s=v⋅t，v= 0 t，其
2
中v 是初始速度，v 是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m，则此时飞机的滑行速度
0 t
（ ）m/s．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
【答案】C
−3t2+120t
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得s=v⋅t= ，令s=450得到关于
2
t的方程，求出t的值，即可求解．
【详解】解：∵v=−3t+60，
∴v =60，v =−3t+60，−3t+60≥0，
0 t
v +v 60−3t+60 −3t+120
∴v= 0 t = = ，
2 2 2
−3t+120 −3t2+120t
∴s=v⋅t= ⋅t= ，
2 2
−3t2+120t
当s=450时， =450，
2
整理得：t2−40t+300=0，
解得：t =10,t =30（舍去），
1 2此时v=−3×10+60=30，
即此时飞机的滑行速度30m/s．
故选：C
9．（3分）（2025·福建泉州·一模）直线l:y=kx+b(k≠0)与拋物线y=(x−2) 2−3交于A，B两点，与抛
物线y=−(x−1) 2+3交于C，D两点，且始终满足AB=CD，则直线l必过的定点为（ ）
( 3) (3 ) (3 )
A． 3, B． ,−1 C． ,0 D．(3,0)
2 2 2
【答案】C
【分析】设直线l:y=kx+b(k≠0)与拋物线y=(x−2) 2−3交于A(x ,y )，B(x ,y )两点，利用根与系数
1 1 2 2
2b
的关系和勾股定理表示出(4+k) 2−4(1−b)=(2−k) 2−4(b−2)，解方程得出k=− ，进而利用一次函数
3
的性质即可得解．
【详解】解：设直线l:y=kx+b(k≠0)与拋物线y=(x−2) 2−3交于A(x ,y )，B(x ,y )两点，
1 1 2 2
如图，分别过A，B两点作x轴，y轴的垂线交于点E，
{ y=kx+b )
联立 ，得x2−(4+k)x+1−b=0，
y=(x−2) 2−3
∴x +x =4+k，x ·x =1−b，
1 2 1 2由两点间的距离公式得，BE=|x −x )，AE=|y −y )=|kx +b−(kx +b))=|k(x −x ))，
1 2 2 1 2 1 2 1
由勾股定理得，AB2=AE2+BE2=[k(x −x )) 2 +(x −x ) 2=(k2+1)(x −x ) 2
2 1 1 2 2 1
=(k2+1)[(x 2+x 2) 2 −4x 2·x 2)
2 1 2 1
=(k2+1)[(4+k) 2−4(1−b))，
同理可得CD2=(1+k2)[(2−k) 2−4(b−2))，
∵AB=CD，
∴AB2=CD2
∴(k2+1)[(4+k) 2−4(1−b))=(1+k2)[(2−k) 2−4(b−2))，
∴(4+k) 2−4(1−b)=(2−k) 2−4(b−2)，
2b
∴k=− ，
3
2b 2b 3)
∴y=− x+b=− (x− ，
3 3 2
3
∴当x= 时，y=0，
2
(3 )
∴直线l:y=kx+b(k≠0)必过的定点为 ,0 ，
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质和方程的关系，一次函数的性质，勾股定理，两点间的距
离，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
10．（3分）（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点
(−2,0)，对称轴为直线x=1，有以下结论：①abc<0；②8a+c>0；③若A(x ,m)，B(x ,m)是抛物线
1 2
上的两点，当x=x +x 时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在
1 2
一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x ，x ，且
1 2
x <x ，则−2≤x <x <4.其中结论错误的有（ ）
1 2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解
题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答
案．
b
【详解】解：①由图象可知：a>0，c<0，− >0，
2a
∴abc>0，故①错误，符合题意；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
当x=−2时，y=4a−2b+c=0，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0，故②错误，符合题意；
③∵A(x ,m)，B(x ,m)是抛物线上的两点，
1 2
由抛物线的对称性可知：x +x =1×2=2，
1 2
∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a−4a+c=c，
故③正确，不合题意；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
4ac−b2
即 ≤−3，
4a
∵8a+c=0，
∴c=−8a，∵b=−2a，
4a⋅(−8a)−(−2a) 2
∴ ≤−3，
4a
1
解得：a≥ ，故④错误，符合题意；
3
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x−4)，
若方程a(x+2)(4−x)=−2，
即方程a(x+2)(x−4)=2的两根为x ，x ，
1 2
则x 、x 为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，
1 2
∵x <x ，
1 2
∴x <−2<4<x ，故⑤错误，符合题意；
1 2
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+m2−m=0有一个根是1，则m的值是 ．
【答案】−2
【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的
定义是解题的关键．将x=1代入方程求出m=±2，再根据一元二次方程的定义求出m≠2，由此得到答案．
【详解】解：将x=1代入(m−2)x2−2x+m2−m=0，得m2−4=0，
解得：m=±2，
∵m−2≠0，
∴m≠2，
∴m=−2，
故答案为：−2．
12．（3分）（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：
|a c)=ad−bc．依据以上规定计
b d
算：当x= 时，
|2x 0.5−x)=0．
1 x
−1±❑√5
【答案】
4
【分析】 首先观察新定义的运算规律，根据新运算可得关于x的一元二次方程2x2−(0.5−x)=0； 利用
公式法解一元二次方程可得方程的两个根.【详解】解：由题意可得2x2−(0.5−x)=0．
整理得2x2+x−0.5=0,
∴b2−4ac=5>0，
−b±❑√b2−4ac −1±❑√5
解得x= = ．
2a 4
−1±❑√5
故答案为x=
.
4
【点睛】本题考查的知识点为新定义和解一元二次方程，解题的关键是根据新定义得出正确的一元二次方
程并进行求解．
13．（3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数y=−ax2+bx+2有最大值为4，则
y=a(x+1) 2−b(x+1)−2的最小值是 ．
【答案】−4
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的
关键．
根据题意设二次函数y=−ax2+bx+2的顶点坐标为(m,4)，且开口向下，根据平移可知
y=−a(x+1) 2+b(x+1)+2的顶点坐标为(m−1,4)，根据关于x轴对称可知y=a(x+1) 2−b(x+1)−2的顶
点坐标为(m−1,−4)，且开口向上，有最小值−4．
【详解】解：∵二次函数y=−ax2+bx+2有最大值为4，
∴设二次函数y=−ax2+bx+2的顶点坐标为(m,4)，
∵y=−ax2+bx+2向左平移1个单位得到y=−a(x+1) 2+b(x+1)+2，
∴y=−a(x+1) 2+b(x+1)+2的顶点坐标为(m−1,4)，
∵y=−a(x+1) 2+b(x+1)+2与y=a(x+1) 2−b(x+1)−2关于x轴对称，
∴y=a(x+1) 2−b(x+1)−2的顶点坐标为(m−1,−4)，且开口向上，
此时顶点坐标为(m−1,−4)，则最小值为−4；
故答案为：−4．
14．（3分）（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=1交于A、B两
点，且AB=3．若点C(m,n)，D(m+4,n)也在该抛物线上，则n= ．11
【答案】
4
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，设A(x ,1)，B(x ,1)，则
1 2
b2−5
由一元二次方程根与系数的关系可得x +x =−b，x x =c−1，结合AB=3计算得出c= ，从而可
1 2 1 2 4
得y= ( x+ b) 2 − 5 ，由二次函数的对称性计算可得 b =−(m+2)，从而可得y=(x−m−2) 2− 5 ，由此计算
2 4 2 4
即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设A(x ,1)，B(x ,1)，
1 2
∴x 、x 是方程x2+bx+c=1的两个根，
1 2
∴x +x =−b，x x =c−1，
1 2 1 2
∵AB=3，
∴(x −x ) 2=9，
1 2
∴(x +x ) 2−4x x =9，即b2−4(c−1)=9，
1 2 1 2
b2−5
∴c= ，
4
∴y=x2+bx+ b2−5 = ( x+ b) 2 − 5 ，
4 2 4
∵抛物线上有两个点C(m,n)，D(m+4,n)，
m+m+4
∴对称轴为直线x= =m+2，
2
b
∴− =m+2，
2
b
∴ =−(m+2)，
2
5
∴y=(x−m−2) 2− ，
4
5 11
当x=m时，n=4− = ．
4 4
11
故答案为： ．
415．（3分）（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)记为图象
C ，它与x轴交于两点O、A ；将图象C 绕点A 旋转180°得到图象C ，交x轴于点A ；将图象C 绕点
1 1 1 1 2 2 2
(2025 )
A 旋转180°得到图象C ，交x轴于点A ；…如此进行下去，若点P ,m 在某段抛物线上，则m=
2 3 3 2
．
3
【答案】
4
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发
现图象的变化特点；
(2025 )
根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点P ,m 中m的值．
2
【详解】解：y=−x(x−2)=−(x−1) 2+1，
∴图象C 的顶点坐标为(1,1)，
1
1
∴点O和图象C 的顶点间的一半，横坐标为x= ，
1 2
1 3
把x= 代入y=−(x−1) 2+1，解得：y= ，
2 4
3
作y= 的直线平行x轴，如图：
4
，
(1 3)
∴B , ，
2 4
由图象可得，
每4个单位长度的图象为一个循环，2025 1
∵ =1012 ，1012÷4=253，
2 2
(2025 ) (1 3)
∴点P ,m 与图象C 的点B , 中的纵坐标是相等的，
2 1 2 4
3
∴m= ，
4
3
故答案为： ．
4
16．（3分）（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线
y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，则m−n= ．
【答案】1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点A和
点C作轴的垂线，垂足分别为M和N，证△CDN≌△DAM得CN=DM,DN=AM；由题意得：
A(m,−m2+4),C(n,−n2+4)，进而得CN=n=DM,DN=AM=m，即可求解；
【详解】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
∵∠CDN+∠DCN=∠CDN+∠ADM=90°，
∴∠DCN=∠ADM；
∵∠CND=∠AMD=90°,CD=AD，
∴△CDN≌△DAM；
∴CN=DM,DN=AM；由题意得：A(m,−m2+4),C(n,−n2+4)，
∴CN=n=DM,DN=AM=m，
∴−n2+4−(−m2+4)=m+n，
整理得：(m+n)(m−n−1)=0，
∵m>n>0，
∴m+n≠0，
∴m−n=1，
故答案为：1
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程：
(1)x2+4x+1=0
(2)x2−10x+24=0
【答案】(1)x =−2+❑√3,x =−2−❑√3
1 2
(2)x =6,x =4
1 2
【分析】此题考查一元二次方程的解法，解方程时依据方程的特点选择恰当的解法是解方程的关键．
（1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；
（2）利用因式分解法把方程转化为x−6=0或x−4=0，然后解一次方程即可．
【详解】（1）解：x2+4x+1=0，
则a=1,b=4,c=1，
∴Δ=42−4×1×1=12>0，
−b±❑√b2−4ac −4±2❑√3
∴x= = =−2±❑√3，
2a 2×1
所以x =−2+❑√3,x =−2−❑√3．
1 2
（2）解：x2−10x+24=0，
∴(x−6)(x−4)=0，
∴x−6=0或x−4=0，
∴x =6,x =4．
1 218．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数y=2x2−4ax+2a2−3，其顶点为A．
(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；
(2)一次函数y=ax−a2+5与直线x=a交于点M，与直线x=2a交于点N，若线段MN与二次函数只有一个
交点，求a的取值范围．
【答案】(1)二次函数图象顶点A的坐标为(a,−3)；
(2)a≥2❑√2或a≤−2❑√2．
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形
结合是解题的关键．
（1）化成顶点式即可求得；
（2）求出抛物线过N点时a的值，再结合图象求a的取值范围．
【详解】（1）解：∵y=2x2−4ax+2a2−3=2(x−a) 2−3，
∴二次函数图象顶点A的坐标为(a,−3)；
（2）解：∵一次函数y=ax−a2+5与直线x=a交于点M，与直线x=2a交于点N，
∴M(a,5)，N(2a,a2+5)，
∵抛物线顶点A的坐标为(a,−3)，
∴点M(a,5)在点A(a,−3)的上方，
∵线段MN与二次函数只有一个交点，
则点N在抛物线上或抛物线下方，
当y=2(x−a) 2−3过点N时，
a2+5=2(2a−a) 2−3，即a2=8，
解得a=2❑√2或a=−2❑√2，
∴a≥2❑√2或a≤−2❑√2．
19．（8分）（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m=0．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)若x=−2为方程的一个根，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)m=2；x=−1
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）只需要证明Δ=(m+1) 2−4m≥0即可证明结论；
（2）把x=−2代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得，Δ=(m+1) 2−4m
=m2+2m+1−4m
=m2−2m+1
=(m−1) 2，
∵(m−1) 2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵x=−2为方程的一个根，
∴(−2) 2+(m+1)×(−2)+m=0，
解得m=2，
∴原方程为x2+3x+2=0，
解得x=−1或x=−2，
∴原方程的另一个根为x=−1．
20．（8分）（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售
2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如
果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该
增加几条生产线？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)增加4条或25条生产线
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．依题意，得：2250(1+x) 2=3240，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）解：设增加x条生产线．
(900−30x)(x+1)=3900，
解得x =4，x =25，
1 2
答：增加4条或25条生产线．
21．（10分）（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等
的实数根x ,x
1 2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根满足|x +x )=x x ，求k的值
1 2 1 2
3
【答案】(1)k>
4
(2)2
【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数
关系是解题的关键．
（1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均大于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即
可．
【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−(2k+1)) 2 −4(k2+1)=4k2+4k+1−4k2−4=4k−3>0，
3
解得k> ；
4
（2）解：∵方程x2−(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x ,x ，
1 2
∴x +x =2k+1,x x =k2+1，
1 2 1 2
3
∵k> ，
4
∴x +x =2k+1>0，
1 2∴|x +x )=x +x ，
1 2 1 2
∵|x +x )=x x ，
1 2 1 2
∴x +x =x x ，
1 2 1 2
即2k+1=k2+1，
解得：k =0,k =2，
1 2
3
又∵k> ，
4
∴k=2．
22．（10分）（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)．
(1)当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位(m>0)，若平移后的抛物线过点(0,−8)，且与x轴两交点之间的距离为6，
求m的值．
(2)已知点M(2,2n+1)，N(−1,3n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
【答案】(1)①(1,0)；②m=9，
1
(2)−1<n<−
2
【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二
次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键．
（1）①把a=c代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得y=a(x−1) 2，即可得出顶点坐标；
②根据平移规律得平移后抛物线解析式为y=a(x−1) 2−m，把(0,−8)代入，求得a=m−8，则
y=(m−8)x2−2(m−8)x−8，设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x ，x ，则x +x =2，
1 2 1 2
8 16−4m 16
x ⋅x = ，又|x −x )=6，即可得出 − =36，解之即可求解．
1 2 8−m 1 2 8−m 8−m
1
（2）把M(2,2n+1)，代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得c=2n+1，根据c<0，求得n<− ；把
2
N(−1,3n+2)代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得c=3n−3a+2，根据c=2n+1和a>0，求得n>−1，进而
即可求解．
【详解】（1）解：①∵y=ax2−2ax+c(a>0)，a=c∴y=ax2−2ax+a=a(x−1) 2
∴抛物线的顶点坐标为(1,0)，
②∵将抛物线向下平移m个单位(m>0)，
∴平移后抛物线解析式为y=a(x−1) 2−m，
把(0,−8)代入，得a(0−1) 2−m=−8，
∴a=m−8
∴y=(m−8)(x−1) 2−m=(m−8)x2−2(m−8)x−8
设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x ，x ，
1 2
8
则x +x =2，x ⋅x = ，
1 2 1 2 8−m
∴x 2+2x x +x 2=4
1 1 2 2
16−4m
∴x 2+x 2=
1 2 8−m
∵平移后的抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
∴|x −x )=6
1 2
∴x 2−2x x +x 2=36
1 1 2 2
16−4m 16
∴ − =36
8−m 8−m
解得：m=9
经检验，m=9是分式方程的解，且符合题意，
∴m=9．
（2）解：把M(2,2n+1)，代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得
c=2n+1，
∵c<0，
∴2n+1<0，
1
∴n<− ，
2
把N(−1,3n+2)代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得3a+c=3n+2，
∴c=3n−3a+2，
∵c=2n+1，
n+1
∴a= ，
3
n+1
∵a= >0，
3
∴n>−1，
1
∴−1<n<− ．
2
23．（12分）某公司投入80万元（80万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订
单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与
售价x（元/件）之间满足函数关系式y=−x+26．
(1)求这种产品第一年的利润w（万元）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)若该产品第一年的利润为20万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成
本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销
售量无法超过13万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
【答案】(1)W =−x2+32x−236；
(2)16元/件；
(3)84万元．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润=单件利润×销售量，列出函数
关系式，再利用二次函数的图象与性质求解．
(1)根据利润=单件利润×销售量，即可解决问题；
(2)当w=20时，可得关于x的一元二次方程20=−x2+32x−236，解方程即可求出第一年的售价；
(3)根据公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过13万件，可
得：13≤x≤16，根据利润=单件利润×销售量，可得第二年的利润为w =−x2+31x−150，求出在x的取
2
值范围内二次函数的最小值即可．
【详解】（1）解：根据利润=单件利润×销售量，
可得：w=(x−6)(−x+26)−80=−x2+32x−236；
（2）解：当w=20时，可得：20=−x2+32x−236，
解得：x =x =16，
1 2
∴该产品第一年的售价是16元/件．
（3）解：∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过13万件，
∴−x+26≤13，
解得：x≥13，
∴13≤x≤16，
∴第二年的利润w =(x−5)(−x+26)−20=−x2+31x−150，
2
b 31
∵抛物线的对称轴为直线x=− =− =15.5，开口向下，且13≤x≤16，
2a −2
∴当x=13时，w 有最小值，最小值为84万元，
2
答：该公司第二年的利润w 至少为84万元．
2
24．（12分）已知：二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为(−3,0)，与y
轴交于点C，点D(−2,−3)在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若PA+PD最小，求P的坐标；
(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q，使得△BDQ的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐
标，及△BDQ的最大面积；若不存在，请明理由．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)(−1,−2)
( 1 15) 27
(3)Q − ,− ，
2 4 8
【分析】（1）采用待定系数法即可求解；
（2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，PB+PD最小，最小值为BD，接着求出直线BD的解析式为：y=x−1，问题随之得解；
（3）过点Q作QH∥y轴交BD于点H，设点H(m,m−1)，则点Q(m,m2+2m−3)，根据
1
S = ×HQ×(x −x )表示出三角形的面积，然后求出最大值即可．
△BDQ 2 B D
【详解】（1）解：把A(−3,0)，D(−2,−3)代入y=x2+bx+c，
{ (−3) 2−3b+c=0 )
∴ ，
(−2) 2−2b+c=−3
{ b=2 )
解得： ，
c=−3
则抛物线的解析式为：y=x2+2x−3；
（2）解：令y=0，可得：x2+2x−3=0，
解得：x =1，x =−3，
1 2
∴B点坐标为：B(1,0)，
2
抛物线的对称抽为：x=− =−1，
2
A、B两点关于直线x=−1对称，
抛物线的对称轴上有一动点P，如图，
∴PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD，
即当P、D、B三点共线时，PB+PD最小，最小值为BD，
如图，∵B(1,0)，D(−2,−3)，
设直线BD的解析式为：y=kx+t，
{−2k+t=−3)
∴ ，
k+t=0
{k=1
)
∴ ，
t=−1
∴直线BD的解析式为：y=x−1，
∴当x=−1时，y=−2，
∴P点坐标为：(−1,−2)；
（3）解：过点Q作QH∥y轴交BD于点H，点H在y=x−1上，如图所示：
设点H(m,m−1) (−2<m<1)，则点Q(m,m2+2m−3)，
则HQ=m−1−(m2+2m−3)=−m2−m+2，
1
则S = ×HQ×(x −x )
△BDQ 2 B D
1
= (−m2−m+2)×[1−(−2))
2
3
= (−m2−m+2)
23( 1) 2 27
=− m+ + ，
2 2 8
3
∵− <0，
2
1 27
∴当m=− 时，△BDQ面积的最大值为 ，
2 8
( 1) 2 1 15
此时y = − −2× −3=− ，
Q 2 2 4
( 1 15)
∴Q − ,− ．
2 4
【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解
抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
