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九年级数学上学期第一次月考·培优卷
【人教版】
时间：120分钟 满分：120分 测试范围：一元二次方程~二次函数
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程x2−6x+3=0时，下列变形正确
的是（ ）
A． B． C． D．
(x−3) 2=3 (x−3) 2=6 (x+3) 2=6 (x−3) 2=12
2．（3分）已知二次函数 （ 为常数，且 ）的图象上有四点 ， ，
y=ax2+bx+c a a>0 A(−1,y ) B(3,y )
1 1
， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
C(2,y ) D(−2,y ) y y y
2 3 1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 1 2
3．（3分）（2025·河南郑州·模拟预测）下列关于x的方程中一定有实数解的是（ ）
A．x2+4=2x B．x2+9=0
1
C． x2+2x+❑√5=0 D．3x2−2x−1=0
2
4．（3分）将抛物线y=x2−2x+3平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位；
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位；
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位；
5．（3分）（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知m，n是方程x2+x−4=0的两个实数根，则
m(1+n)−n2的值是（ ）A．−7 B．7 C．−9 D．9
6．（3分）（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+c与x轴交于点A，B，与y轴交
于点C，AC⊥BC，则ac的值为（ ）
A．−1 B．−2 C．1 D．2
7．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）在▱ABCD中，对角线AC，BD的长是关于x的一元二次
方程kx2+2x−1=0的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≥−1且k≠0 B．−1≤k<0
C．k≤−1 D．−1<k<0
8．（3分）（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：
v +v
m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系v=−3t+60．而滑行距离s=v⋅t，v= 0 t，其
2
中v 是初始速度，v 是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m，则此时飞机的滑行速度
0 t
（ ）m/s．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
9．（3分）（2025·福建泉州·一模）直线 与拋物线 交于A，B两点，与抛
l:y=kx+b(k≠0) y=(x−2) 2−3
物线 交于C，D两点，且始终满足 ，则直线l必过的定点为（ ）
y=−(x−1) 2+3 AB=CD
( 3) (3 ) (3 )
A． 3, B． ,−1 C． ,0 D．(3,0)
2 2 2
10．（3分）（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点
，对称轴为直线 ，有以下结论： ； ； 若 ， 是抛物线
(−2,0) x=1 ①abc<0 ②8a+c>0 ③ A(x ,m) B(x ,m)
1 2
上的两点，当x=x +x 时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在
1 2
一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x ，x ，且
1 2
x <x ，则−2≤x <x <4.其中结论错误的有（ ）
1 2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+m2−m=0有一个根是1，则m的值是 ．
12．（3分）（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：
|a c)=ad−bc．依据以上规定计
b d
算：当x= 时，
|2x 0.5−x)=0．
1 x
13．（3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数y=−ax2+bx+2有最大值为4，则
的最小值是 ．
y=a(x+1) 2−b(x+1)−2
14．（3分）（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=1交于A、B两
点，且AB=3．若点C(m,n)，D(m+4,n)也在该抛物线上，则n= ．
15．（3分）（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)记为图象
C ，它与x轴交于两点O、A ；将图象C 绕点A 旋转180°得到图象C ，交x轴于点A ；将图象C 绕点
1 1 1 1 2 2 2
(2025 )
A 旋转180°得到图象C ，交x轴于点A ；…如此进行下去，若点P ,m 在某段抛物线上，则m=
2 3 3 2
．
16．（3分）（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线
y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，则m−n= ．第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程：
(1)x2+4x+1=0
(2)x2−10x+24=0
18．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数y=2x2−4ax+2a2−3，其顶点为A．
(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；
(2)一次函数y=ax−a2+5与直线x=a交于点M，与直线x=2a交于点N，若线段MN与二次函数只有一个
交点，求a的取值范围．
19．（8分）（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m=0．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)若x=−2为方程的一个根，求m的值及方程的另一个根．
20．（8分）（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售
2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如
果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该
增加几条生产线？
21．（10分）（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等
的实数根x ,x
1 2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根满足 ，求k的值
|x +x )=x x
1 2 1 2
22．（10分）（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)．
(1)当a=c时，①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位(m>0)，若平移后的抛物线过点(0,−8)，且与x轴两交点之间的距离为6，
求m的值．
(2)已知点M(2,2n+1)，N(−1,3n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
23．（12分）某公司投入80万元（80万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订
单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与
售价x（元/件）之间满足函数关系式y=−x+26．
(1)求这种产品第一年的利润w（万元）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)若该产品第一年的利润为20万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成
本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销
售量无法超过13万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
24．（12分）已知：二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为(−3,0)，与y
轴交于点C，点D(−2,−3)在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若PA+PD最小，求P的坐标；
(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q，使得△BDQ的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐
标，及△BDQ的最大面积；若不存在，请明理由．
