文档内容
2024-2025 学年九年级数学上学期期末测试
总分：120分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版九年级上册全章+九下前两章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则B不符合题意；
C、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
2．若圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则它的侧面展开图的圆心角的大小是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．
【详解】解：圆锥的底面半径为 ，
则底面周长为 ，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为 ，
母线长为 ，则扇形的半径为 ，
根据弧长公式可得： ，解得： ，
故选：B．
3．已知抛物线 经过点 和 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数 的对称轴为 ，
再判断 、 在对称轴右侧，从而判断出 与 的大小关系．
【详解】解： 函数 的对称轴为 ，
抛物线开口向上，对称轴右侧 随 的增大而增大，
∵ ， 、 在对称轴右侧，
．
故选：C．
4．如图，在 中，已知 ，将 绕点 顺时针旋转 到
的位置，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，将 绕点A顺时针旋转 得到 的位置，依据
旋转的性质即可得解．
【详解】解：∵将 绕点A顺时针旋转 得到 ，∴旋转角 ，
故选：B．
5．如图，四边形 是 的内接四边形， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得 ，
再根据圆内接四边形的性质计算即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
6．若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程 的根与
的关系列出不等式即可求解．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
， ，
解得： ，且 ，
故选：C．
7．函数 与 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数图象、二次函数图
象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
分两种情况讨论，当 时和当 时，结合一次函数与二次函数的图象和性质即可得出答案．
【详解】解：当 时，一次函数的图象经过一、二、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴
为直线 ，且一次函数与二次函数交于 点，符合条件的为选项C；
当 时，一次函数的图象经过一、二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴为直线
，且一次函数与二次函数交于 点，没有符合条件的选项；
故选：C．
8．如图，抛物线 与直线 交于点 ， ，则关于 的不等式
的解集是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，由图可得，当 或x>2时，一次函数
的图象在二次函数 图象上方，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：由图可得，当 或x>2时，一次函数 的图象在二次函数 图象
上方，
即 ，
∴不等式 的解集是 或x>2，
故选： ．
9．如图， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点D作 交 于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 得到
，则 ，由 得到 ，则 ，然后计算 的值．
本题考查了平行线分线段成比例、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所
得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键.
【详解】解：如图，过点D作 交 于F，
∵ ，
∴ ，
而 ， ，
∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，
则 ，
∴ ，
则 的值是 ，
故选D．
10．如图，正方形 的边长为6，以点C为圆心，2为半径作 ．P为 上的动点，连接
，并将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．在点P运动的过程中， 长度的最大
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明 ，则 ，通过画图发现，点 的运动路线为以A为圆心，
2为半径的圆，当 在对角线 延长线上时， 最大．再利用勾股定理求对角线 的长，即
可得出 长度的最大值．
【详解】解：如图，连接 ， ，
由旋转得： ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 在以点A为圆心，半径为2的圆上，
如图，当 在对角线 延长线上时， 最大，
在 中， ，
∴ ，
即 长度的最大值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值
问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，那么得到的抛物线的解析式为
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解
题的关键．
根据抛物线在平面直角坐标系中平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得出答案．
【详解】解： 将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
12．已知 ，它们的周长分别为3和1，则 面积之比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三
角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行计算即可．
【详解】解：∵ ，它们的周长分别为3和1，
∴ 的相似比是 ，
∴ 面积之比为 ，
故答案为： ．
13．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】此题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，若方程的两根为 、 ，则
， ．首先根据一元二次方程的根与系数的关系得到 ， ，
然后把前面的值代入即可求出其值．
【详解】解：∵ 、 是一元二次方程 的两根，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴
，
故答案为：2．
14.如图，正五边形 内接于 ， 是 的中点，则 的度数为 ．【答案】
【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，根据已知条件得到∠O= =72°，根据圆周角定理即
可得到结论．
【详解】解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠O= =72°，
∴∠CBD= ∠O=36°，
∵F是 的中点，
∴∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系是解题的
关键．
15．定义：若实数 ， 满足 ， ，且 （ 为常数），则称点 为
“友好点”，若有一个函数满足 ，其上存在“友好点”，则 的取值范围是．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，二次函数求最值，与反比例函数的综合，熟练掌握知识点，正确转
化是解题的关键．
根据题意得到 ，整理得到 ，由 ，且 ，转化为
二次函数求最值即可．
【详解】解： 有一个函数满足 ，其上存在“友好点”，
反比例函数 的图象上存在“友好点”，
，
① ②得 ，
，
，
，
，
，
整理得 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
，且 ，
，
故答案为： ．
三、解答题：本题共8小题，共75分.16．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，
(1)先利用因式分解法把原方程转化为 或 ，然后解两个一次方程即可；
(2)先利用因式分解法把原方程转化为 或 ，然后解两个一次方程即可；
熟练掌握因式分解法解方程的步骤是解决此题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
或 ，
；
（2）解： ，
，
或 ，
．
17．如图所示，已知 是坐标原点， ， 两点的坐标分别为 ，(2,1)， 与 位
似， 点为位似中心，点 的对应点为 ．
(1) 与 的相似比为______；
(2)在图中画出 ；
(3)点 是 内部一个点， 的对应点 的坐标为______．
【答案】(1) ：(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图 位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
（1）结合位似的性质可得答案．
（2）结合位似的性质确定对应点再作图即可．
（3）根据位似的性质可得点 的坐标．
【详解】（1）解：∵ 与 位似， 点为位似中心，点 的对应点为 ，
∴ 与 的相似比为 ： ．
（2）解：如图， 即为所求．
（3）解：由题意得，点 的坐标为 ．
18．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第一象限 ，
两点，与坐标轴交于 ， 两点，连接 ， ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据一次函数得出点 ， ，根据 求三角形的面积即
可．
【详解】（1）解：点 在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为 ，
点 在反比例函数图象上，
，
点 和点 都在一次函数 的图象上，
，解得 ，
一次函数解析式为 ．
（2）由一次函数解析式
当 时， ，当 时，
∴ ， ，
19．某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项
活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，
请结合统计图中的信息，回答下列问题：(1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
(2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人．
(3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项
目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率．
【答案】(1)72；补全条形统计图见详解；
(2)220；
(3) ．
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统
计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中一般等级的人数除以扇形统计图中一般的百分比可得抽取的学生人数，进而
可得优秀等级的百分比用 乘以优秀等级的百分比，即可得出扇形统计图中“优秀”所对应扇
形的圆心角度数；求出良好等级的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）根据用样本估计总体，用550乘以扇形统计图中良好的百分比，即可得出答案；
（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，再利用概
率公式可得出答案．
【详解】（1）解∶抽取的学生人数为 (人)，
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为
故答案为∶72；
“良好”等级的学生人数为 (人)，
补全条形统计图如图所示（2）解：成绩良好的学生约有 （人），
故答案为：220；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有∶甲乙，乙甲，共2种．
选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为 ．
20．某商场购进某商品的进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在
销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格x元/件，每天
的销售量为y件．
(1)请直接写出y关于x的函数关系式__________；
(2)设每天的销售利润为w元，当每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大
利润是多少？
(3)若商场规定销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务，求商场销售该商
品获得的最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当每件商品的销售单价定为 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 元
(3)最大利润是 元
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用；
（1）根据销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件即可得到y与x的函数关系式；（2）先求出利润w关于x的二次函数解析式，然后配方得到顶点式找最值进行解答即可；
（3）根据“销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务”列不等式组求出x
的取值范围，再求出在该范围内的最大值即可．
【详解】（1）解：y关于x的函数关系式为 ，
故答案为： ；
（2）解： ，
∴当 时， 最大，最大为 元，
答：当每件商品的销售单价定为 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 元；
（3）解：∵商场要完成不少于160件的销售任务，
∴ ，
解得 ，
又∵商场规定销售单价不低于70元，
∴ ，
∵ ，且 ，开口向下，
∴当 时，w随x的增大而减小，
∴当 时，获得的利润最大，最大利润是 元．
答：该商场获得的最大利润是 元．
21．如图， 是 的直径，C为圆上一点，D是劣弧 的中点， 于E，过点D作 的
平行线 ，连接 并延长与 相交于点G，连接 与 交于点H．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，由垂径定理得出 ， 平分 ，证出 ，即可得出
是 的切线；
（2）证明 即可求解；
（3）证明 得 ，代入数值求出 ，进而可求出 的值．
【详解】（1）连接 ，如图所示：
∵D是 的中点，
∴ ， 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）∵D是 的中点，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）∵D是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质
等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中， 、 两点的坐标分别为 和 ，动点 从点 出发在
线段 上以每秒 的速度向原点 运动，动直线 从 轴开始以每秒 的速度向上平行移
动（即 轴），分别与 轴、线段 交于点 、 ，连接 、 ，设动点 与动直线
同时出发，运动时间为 秒．
(1)当 为何值时， 与 相似．
(2)求 时， 的面积；
(3)直线 、点 在运动过程中，
①是否存在这样的 使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说
明理由；
②请直接写出 面积的最大值为________．
【答案】(1)当 或 时， 与 相似；(2)
(3)①不存在．理由见解析；②
【分析】（1）如果 与 相似，由于 ，则只能点 与点 对应，然
后分两种情况分别讨论： 点 与点 对应； 点 与点 对应．即可得解；
（2）由于 轴，则 时， ，关键是求 ；易证 ，
则 ，从而求出 的长度，得出 的面积；
（3）①假设存在这样的 ，使得 的面积等于 ，则根据面积公式列出方程，由根的判
别式进行判断，得出结论；
②建立 关于 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵ 、 两点的坐标分别为 和 ，
∴ ， ，
由题意得 ， ， ，
当 时， ∽ ，
，即 ，
解得 ；
当 时， ∽ ，
，即 ，
解得 ．
当 或 时， 与 相似；
（2）解： ，
又 ，
，
，
当 时， ， ， ， ，，
；
（3）解：①不存在．
理由： ，
，
，
整理，得 ，
，
方程没有实数根．
不存在使得 的面积等于 的 值；
②由①得 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，解一元二次方程，一元二
次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比
例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
23．如图1，已知二次函数 的图象与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C．
点D在y轴上，其坐标为 ．(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知在线段 下方的抛物线上有一动点P，直线 与直线 交于点Q，连接 ， ．当
的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，将抛物线 沿射线 平移 个单位长度，得到新的抛物线
（如图2），点R在新抛物线的对称轴上．在直线 上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶
点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点R的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；
（2）分别求出直线 ， 的解析式，可证 ，所以 的面积 的面积，进而
求 的面积最大可转化为求 的面积最大；过点P作 轴交 于点E，表达
的面积，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由平移的性质可知，抛物线 沿射线 平移 个单位长度，即向右平移2个
单位，向下平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边
形的性质，可分类讨论∶当 是平行四边形的边时，当 是平行四边形的对角线时，分别求解
即可，
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与x轴交于点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴该二次函数的表达为 ；
（2）解：如图1，连接 ．
∵抛物线与y轴交于点 C，
∴点C的坐标为 ．
设直线 的函数表达式为 ，
代入 和 得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
∵点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，
代入 和 得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
， ．
．．
过点P作 轴交 于点E，
设点P的横坐标为t，
则 ， ，
．
，
高的和为3，
，
∴当 时， 有最大值，为 ， ，
此时 ；
（3）解：由平移的性质可知，抛物线 沿射线 平移 个单位长度，
即向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线为： ．
∵点R在新抛物线对称轴上，
,
∴点R的横坐标为 ．
若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：
①当 为平行四边形的边时， 或 ，
或 ，
解得 或 ．或 ．
或 ，
或 ，
或 ，
或 ；
②当 为平行四边形的对角线时， ，
，
解得 ，
；
，
，
．
．
综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：
或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的动三
角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决
问题．
