九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷
【人教版】
时间：120分钟 满分：120分 测试范围：一元二次方程~二次函数
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025·河北沧州·二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数
项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为−2
和−5，则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5 D．两根分别是−6和−1
2．（3分）（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为
．若抛物线 经过上述五个点中的三个
A(−1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,−1),E(5,5) y=a(x−2) 2+k(a>0)
点，则满足题意的a的值不可能为（ ）
3 4 2 3
A． B． C． D．
8 9 3 4
3．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,c≠0)满足
a−b+c=0，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ）
A．a−c=0 B．b−2c=0 C．2a−b=0 D．b2−ac=0
2
4．（3分）将抛物线L :y= x2+mx向左平移2个单位长度，得到抛物线L ，若任意一条与x轴垂直的直
1 3 2
线与L ,L 的交点中，至少有一个不在x轴下方，则实数m的最大值为（ ）
1 2
2 4
A． B．1 C． D．2
3 3
5．（3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，前n行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
6．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 与
a (x−m) 2+n=0
1
称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方
a (x−m) 2+n=0 2(x−3) 2−4=0 3(x−3) 2−4=0
2
程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那
2(x−1) 2−1=0 (a+1)x2+(b−2)x−2=0
么代数式 ax2+bx+2024能取的最大值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．（3分）（2025·辽宁铁岭·二模）已知点 在直线 上，点 ， 在抛物
A(x ,y ) y=−x+3 B(x ,y ) C(x ,y )
1 1 2 2 3 3
线y=−x2+3x上，若y = y = y 且x <x <x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
15
A．0<x +x +x <3 B． <x +x +x <4
1 2 3 4 1 2 3
C．4<x +x +x <6 D．x +x +x >6
1 2 3 1 2 3
8．（3分）（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如果A(m−2,a),B(4,b),C(m,a)都在二次函数
的图象上，且 ，则m的取值范围（）
y=x2−2tx+3(t>0) a<b<3
A．m<4或m>6 B．3<m<4或m>6
C．m<3或4<m<6 D．m<3或m>69．（3分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于两
y=ax2+bx+c(a≠0) x
点(−1,0)，(x ,0)，且2<x <3．下列结论：①abc>0；②2a+c<0；③4a−b+2c<0；④若m和n是
1 1
关于x的一元二次方程a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)的两根，且m<n，则m<−1，n>2；⑤关于x的不
1
c
等式ax2+bx+c>− x+c (a≠0)的解集为0<x<x ．其中正确结论的个数是（ ）
x 1
1
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线y=−x2+3x+4与x轴交于点A，B，与y轴
2
交于点C，线段PQ在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且PQ= AB．当AQ+CP的值最小
5
时，点Q的坐标是（ ）
(3 ) (3 5) (3 3) ( 3)
A． ,2 B． , C． , D． 1,
2 2 4 2 2 2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程(k−1)x2−2❑√10x−5=0有两个不相等的实数根，则k的最小正整
数值是 ．
12．（3分）（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)记为图象
C ，它与x轴交于两点O、A ；将图象C 绕点A 旋转180°得到图象C ，交x轴于点A ；将图象C 绕点
1 1 1 1 2 2 2
(2025 )
A 旋转180°得到图象C ，交x轴于点A ；…如此进行下去，若点P ,m 在某段抛物线上，则m=
2 3 3 2．
13．（3分）关于 的方程 的解是 ， （ 、、 均为常数， ），则方程
x a(x+m) 2+b=0 x =−5 x =3 a b m a≠0
1 2
的解是 ．
a(x+m−2) 2+b=0
14．（3分）（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于x的二次函数
y=x2−2ax+2a2−a的顶点为P．
（1）点P的坐标为 （用含字母a的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数y′，若a≥−1，则该抛物线
顶点P纵坐标的最小值为 ．
15．（3分）（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）已知对于任意实数a，关于x的方程
总有两个不相等的实数根，直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，则
x2+(a−1)x+ab−2=0 y=bx+4b
△AOB的面积为整数值的三角形个数有 个．
16．（3分）（2025·四川成都·二模）已知二次函数y=x2+2(m+1)x+m2−1图象的顶点为P，若点P的坐
标为(a,b)，则b与a之间的关系式为 ；设点P所在的定直线为l，二次函数图象上有两个不同点
A(1,t)，B(s,t)，连接AB，若线段AB与定直线l没有公共点，则m的取值范围为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+ ( m− 1) =0．
4
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当m取0<m<5的整数时，存在两个有理数根，求m的值和这两个有理数根．
18．（6分）（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)．
(1)当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标．②将抛物线向下平移m个单位(m>0)，若平移后的抛物线过点(0,−8)，且与x轴两交点之间的距离为6，
求m的值．
(2)已知点M(2,2n+1)，N(−1,3n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
19．（8分）（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，
动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离
是10cm？
(2)若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试
探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
20．（8分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−4,0)，
B(2,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点D在抛物线的对称轴上，当CD平分∠ACO时，求点D的坐标；
(3)如图2，平行于x轴的动直线l从x轴出发向上平移，直线l与抛物线交于点M，N（点M在点N左侧），
若在x轴上存在点P使△PMN是等腰直角三角形，求点M的坐标．
21．（10分）（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的方程x2−(k+2)x+2k=0．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若Rt△ABC斜边长a=3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
(3)已知三个不同的实数a，b，c满足a−b+c=3，方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根，方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
22．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A(−1，0)，
B(3，0)．
(1)求抛物线及直线BC的解析式；
(2)若P为抛物线上位于直线BC上方的一点，求△PBC面积S的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)直线BC与抛物线的对称轴交于点D，M为抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为
顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点M的坐标．
23．（12分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别
是 ， ，若 ， 为整数，则称 为“ ”点．
x x (x <x ) x x (x ,x ) Deep
1 2 1 2 1 2 1 2
(1)x2+5x+4=0 （填是或否）存在“Deep”点；
(2)若关于x的一元二次方程：x2+bx+c=0的“Deep”点为(2,3)，求b，c的值；
(3)关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0是否存在一“Deep”点，且该点在直线y=−2x+2上，若
存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
24．（12分）（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：无人机灌溉研究
项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，
提升灌溉效率，助力农业现代化发展．
驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉．
建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O
在同一条水平直线上，AB=80cm．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y
轴，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷
出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，OC=400cm．（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为400cm，为了精准灌溉，需要调整无人机的高
度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为EF的区域，且EF=40cm，田埂高度忽略不计）
恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度
（3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且MA=AB=BN，当无
人机上升到距地面的高度为625cm时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长．
