文档内容
九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025·河北沧州·二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数
项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为−2
和−5，则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5 D．两根分别是−6和−1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的
b c
关系是解题的关键．设原方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，由根与系数的关系得− =1+6， =(−2)×(−5)
a a
，得出b=−7a，c=10a，再代入到原方程，解出x的值即可得出答案．
【详解】解：设原方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，
b c
由题意得，− =1+6=7， =(−2)×(−5)=10，
a a
∴b=−7a，c=10a，
∴原方程为ax2−7ax+10a=0(a≠0)，即x2−7x+10=0，
解得：x =2，x =5，
1 2
∴原方程根的情况是两根分别是2和5．
故选：C．
2．（3分）（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为
A(−1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,−1),E(5,5)．若抛物线y=a(x−2) 2+k(a>0)经过上述五个点中的三个
点，则满足题意的a的值不可能为（ ）
3 4 2 3
A． B． C． D．
8 9 3 4【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．
解题关键在于利用抛物线对称轴x=2，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点
坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可．
【详解】解：抛物线y=a(x−2) 2+k(a>0))的对称轴为直线x=2，
当A、D、E三点在抛物线 y=a(x−2) 2+k(a>0)上，
∵A(−1,5),E(5,5)，
∴A,E关于对称轴x=2对称，
{5=a(−1−2) 2+k)
将A(−1,5),D(3,−1)代入得 ，
−1=a(3−2) 2+k
3
{ a= )
4
解得 ，
7
k=−
4
3 7 3 7
当x=5时，y= (x−2) 2− 得，y= (5−2) 2− =5，
4 4 4 4
3 7
∴点E在抛物线y= (x−2) 2− 上，
4 4
故抛物线y=a(x−2) 2+k(a>0)同时经过A、D、E三点；
当A、C、E三点在抛物线y=a(x−2) 2+k(a>0)上
{5=a(−1−2) 2+k)
把A(−1,5),C(2,1)代入得 ，
1=a(2−2) 2+k
{ a= 4 )
解得， 9
k=1
4
当x=5时，y= (5−2) 2+1=5，
9
4
∴E(5,5)在抛物线y= (x−2) 2+1上，
9故抛物线y=a(x−2) 2+k(a>0)同时过 A、C、E三点；
当A、B、E三点在抛物线y=a(x−2) 2+k(a>0)上，
{5=a(−1−2) 2+k)
把A(−1,5),B(1,2)代入得 ，
2=a(1−2) 2+k
3
{ a= )
8
解得，
13
k=
8
3 13 3 13
把点x=5代入y= (x−2) 2+ = (5−2) 2+ =5，
8 8 8 8
3 13
∴E(5,5)在抛物线y= (x−2) 2+ 上，
8 8
∴抛物线y=a(x−2) 2+k(a>0)同时过A、B、E三点；
综上所述，抛物线y=a(x−2) 2+k(a>0)能同时经过三个点有A、D、E；A、C、E；A、B、E且a
3 4 3
的值分别是 , , ．
4 9 8
∴ a的值不可能为Ｃ．
故选：C ．
3．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,c≠0)满足
a−b+c=0，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ）
A．a−c=0 B．b−2c=0 C．2a−b=0 D．b2−ac=0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．
根据题意得出b=a+c，a=b−c，c=b−a，再根据判别式的意义可知Δ=0，进而可得答案．
【详解】解：∵a−b+c=0，
b=a+c，a=b−c，c=b−a．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，b=a+c，
∵
Δ=b2−4ac=(a+c) 2−4ac=(a−c) 2=0，
∴
a−c=0，选项A结论正确，不符合题意；
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，a=b−c，
∵
Δ=b2−4ac=b2−4(b−c)c=b2−4bc+4c2=(b−2c) 2=0，
∴
b−2c=0，选项B结论正确，不符合题意；
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，c=b−a，
∵
Δ=b2−4ac=b2−4a(b−a)=b2−4ab+4a2=(2a−b) 2=0，
∴
2a−b=0，选项C结论正确，不符合题意；
∴∵b=a+c，a=b−c，c=b−a．
∵b−2c=0，a−c=0，
∴b=2c，a=c，
∴b2−ac=4c2−c2=3c2，
∵c≠0，
∴b2−ac=3c2≠0，选项D结论错误，符合题意．
故选：D．
2
4．（3分）将抛物线L :y= x2+mx向左平移2个单位长度，得到抛物线L ，若任意一条与x轴垂直的直
1 3 2
线与L ,L 的交点中，至少有一个不在x轴下方，则实数m的最大值为（ ）
1 2
2 4
A． B．1 C． D．2
3 3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的平移问题，解一元二次不等式等知识点，解题的关键是利用数形结合的思
想找出临界位置．
先求出平移后的抛物线解析式L :y= 2 x2+ (8 +m ) x+ 8 +2m，联立L 求出交点坐标，再根据交点的位置
2 3 3 3 1
进行分析即可．
2
【详解】解：抛物线L :y= x2+mx向左平移2个单位长度，
1 3
2
则L :y= (x+2) 2+m(x+2)，
2 3
即L :y= 2 x2+ (8 +m ) x+ 8 +2m，
2 3 3 32
{ y= x2+mx )
3
联立 ，
y= 2 x2+ (8 +m ) x+ 8 +2m
3 3 3
3
{ x=−1− m)
4
解得： ，
16−9m2
y=
24
( 3 16−9m2 )
∴两个抛物线的交点记为D −1− m, ，
4 24
如图，当点D在x轴下方时，不符合题意；
只有当交点D在x轴上或在x轴上方时，符合题意，如图：16−9m2
∴ ≥0，
24
4 4
解得：− ≤m≤ ，
3 3
4
∴实数m的最大值为 ，
3
故选：C．
5．（3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个
点…，第n行有n个点…，前n行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
【答案】B
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个
点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋
1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断．
【详解】解：通过观察图形可知：
第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，
则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，
前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，
1
前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝ n（n＋1）个点，
2
其中n为正整数，
1 −1−77 −1+77
∴当 n（n＋1）=741时，解得：n = =−39（舍），n = =38，
2 1 2 2 2
1 −1±❑√4801
当 n（n＋1）=600时，解得： n= （舍），
2 2
1 −1−61 −1+61
当 n（n＋1）=465时，解得：n = =−31（舍），n = =30，
2 1 2 2 2
1 −1−49 −1+49
当 n（n＋1）=300时，解得：n = =−25（舍），n = =24，
2 1 2 2 2故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因
素，然后推广到一般情况．
6．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 a (x−m) 2+n=0与
1
a (x−m) 2+n=0称为“同族二次方程”．如 2(x−3) 2−4=0与 3(x−3) 2−4=0就是“同族二次方
2
程”．现有关于x的一元二次方程 2(x−1) 2−1=0与 (a+1)x2+(b−2)x−2=0是“同族二次方程”，那
么代数式 ax2+bx+2024能取的最大值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到(a+1)x2+(b−2)x−2=0，可以写成
a (x−1) 2−1=0，展开对应相等求出a,b的值，利用配方法求出ax2+bx+2024的最大值即可．熟练掌握
2
新定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 2(x−1) 2−1=0与 (a+1)x2+(b−2)x−2=0是“同族二次方程”
∴第二个方程(a+1)x2+(b−2)x−2=0可以写成a (x−1) 2−1=0的形式，
2
∴展开得：a x2−2a x+(a −1)=0
2 2 2
∴a+1=a ，b−2=−2a ，−2=a −1，
2 2 2
解得：a =−1，a=−2，b=4
2
∴ax2+bx+2024=−2x2+4x+2024=−2(x−1) 2+2026，
∵−2(x−1) 2≤0
∴−2(x−1) 2+2026≤2026
∴ax2+bx+2024能取的最大值是2026．
故选D．7．（3分）（2025·辽宁铁岭·二模）已知点A(x ,y )在直线y=−x+3上，点B(x ,y )，C(x ,y )在抛物
1 1 2 2 3 3
线y=−x2+3x上，若y = y = y 且x 6
1 2 3 1 2 3
【答案】B
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x 值，
1
即可求得x 取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得x +x 的取值范围，解答即可．
1 2 3
{y=−x2+3x)
【详解】解：∵ ，
y=−x+3
{x=1) {x=3)
解得 或 ，
y=2 y=0
∵点B(x ,y )，C(x ,y )在抛物线y=−x2+3x上，且y = y ，
2 2 3 3 2 3
∴x ,x 是方程−x2+3x=0的两个根，
2 3
∴x +x =3，
2 3
∵x 0)的图象上，且a6 B．36
C．m<3或46
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，由A(m−2,a),C(m,a)关
于对称轴对称得m−1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点(0,3)，此交点关于
对称轴的对称点为(2m−2,3)，结合已知确定出m>3；再分类讨论：A,B都在对称轴左边时，A,B分别在
对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题
的关键．
【详解】解：∵A(m−2,a),C(m,a)关于对称轴对称，
m−2+m −2t
∴ =− ，
2 2
∴m−1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
∵抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=m−1，
∴此交点关于对称轴的对称点为(2m−2,3)，
∵a0，
∴4<2m−2，
解得：m>3，
当A,B都在对称轴左边时，
∵a6，
∴m>6，
当A,B分别在对称轴两侧时，
∵am−1−(m−2)，
解得：m<4，
∴36，
故选：B．
9．（3分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两
点(−1,0)，(x ,0)，且20；②2a+c<0；③4a−b+2c<0；④若m和n是
1 1
关于x的一元二次方程a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)的两根，且m2；⑤关于x的不
1
c
等式ax2+bx+c>− x+c (a≠0)的解集为00，求得解集，即可求解．
1 1 1
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
b
∴x=− >0，
2a
∴b<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点(−1,0)，(x ,0)，且2a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
∵b=a+c，
∴4a−b+2c
=4a−b+2(b−a)
=2a+b>0，
∴4a−b+2c>0，故③错误；
④如图，
关于x的一元二次方程a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)的两个根，即函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=−c的
1
交点的横坐标，
∵m<−1<22；故
1
④正确；
⑤∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点(−1,0)，(x ,0)，
1
∴y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−x
)
1
=ax2+a(1−x )x−ax ，
1 1
∴b=a(1−x )，c=−ax ，
1 1
c −ax
∴b−a=−ax ，− =− 1=a，
1 x x
1 1
c
∴ax2+bx+c>− x+c可化为ax2+(b−a)x>0，
x
1
即ax2−ax x>0，
1
∵a>0，
∴x2−x x>0，
1
解得：x<0或x>x ，
1
c
∴关于x的不等式ax2+bx+c>− x+c (a≠0)的解集为x<0或x>x 不是00，结合一元二次方程的
定义知k−1≠0求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2−2❑√10x−5=0有两个不相等的实数根，
{(−2❑√10) 2 −4×(k−1)×(−5)>0)
∴ ，
k≠1
解得：k>−1且k≠1，
∴k的最小正整数值是2．
故答案为：2．
12．（3分）（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)记为图象
C ，它与x轴交于两点O、A ；将图象C 绕点A 旋转180°得到图象C ，交x轴于点A ；将图象C 绕点
1 1 1 1 2 2 2
(2025 )
A 旋转180°得到图象C ，交x轴于点A ；…如此进行下去，若点P ,m 在某段抛物线上，则m=
2 3 3 2
．
3
【答案】
4
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发
现图象的变化特点；
(2025 )
根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点P ,m 中m的值．
2
【详解】解：y=−x(x−2)=−(x−1) 2+1，
∴图象C 的顶点坐标为(1,1)，
1
1
∴点O和图象C 的顶点间的一半，横坐标为x= ，
1 2
1 3
把x= 代入y=−(x−1) 2+1，解得：y= ，
2 43
作y= 的直线平行x轴，如图：
4
，
(1 3)
∴B , ，
2 4
由图象可得，
每4个单位长度的图象为一个循环，
2025 1
∵ =1012 ，1012÷4=253，
2 2
(2025 ) (1 3)
∴点P ,m 与图象C 的点B , 中的纵坐标是相等的，
2 1 2 4
3
∴m= ，
4
3
故答案为： ．
4
13．（3分）关于x的方程a(x+m) 2+b=0的解是x =−5，x =3（a、b、m均为常数，a≠0），则方程
1 2
a(x+m−2) 2+b=0的解是 ．
【答案】x =−3，x =5/x =5，x =−3
1 2 1 2
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 a(x+m−2) 2+b=0，整理成
a[(x−2)+m) 2 +b=0的形式，根据方程a(x+m) 2+b=0的解是x =−5，x =3，可知方程
1 2
a[(x−2)+m) 2 +b=0的解是x −2=−5，x −2=3，从而求出方程a(x+m−2) 2+b=0的解．
1 2
【详解】解：a(x+m−2) 2+b=0，
2
整理得：a[(x−2)+m) +b=0，∵方程a(x+m) 2+b=0的解是x =−5，x =3，
1 2
∴方程a[(x−2)+m) 2 +b=0的解是x −2=−5，x −2=3，
1 2
解得：x =−3，x =5．
1 2
故答案为：x =−3，x =5 ．
1 2
14．（3分）（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于x的二次函数
y=x2−2ax+2a2−a的顶点为P．
（1）点P的坐标为 （用含字母a的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数y′，若a≥−1，则该抛物线
顶点P纵坐标的最小值为 ．
25
【答案】 (a,a2−a) −
4
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数
的顶点式和增减性是解本题的关键．
（1）化成顶点式即可求得；
（2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为y=a2−a，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合a的取值
范围求出该抛物线顶点P纵坐标的最小值即可．
【详解】解：（1）∵y=x2−2ax+2a2−a=x2−2ax+a2+a2−a=(x−a) 2+a2−a，
∴顶点P的坐标为(a,a2−a)．
故答案为：(a,a2−a)；
（2）原抛物线顶点纵坐标为y=a2−a= ( a− 1) 2 − 1 ，
2 4
将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有：
y′= ( a− 1) 2 − 1 −6= ( a− 1) 2 − 25 ，
2 4 2 4
1 (1 25)
此函数图象开口向上，对称轴为a= ，顶点坐标为 ,− ，
2 2 4
∵a≥−1，
1 25
∴当a= 时，y′有最小值，为− ，
2 425
即该抛物线顶点P纵坐标的最小值为− ，
4
25
故答案为：− ．
4
15．（3分）（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）已知对于任意实数a，关于x的方程
x2+(a−1)x+ab−2=0总有两个不相等的实数根，直线y=bx+4b与x轴、y轴相交于A、B两点，则
△AOB的面积为整数值的三角形个数有 个．
【答案】15
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式的应用能力，关键是能
准确理解并运用以上知识，进行正确地计算、讨论、求解．
运用一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式等知识进行求解．
【详解】解：∵关于x的方程x2+(a−1)x+ab−2=0，总有两个不相等的实数根，
∴Δ=(a−1) 2−4(ab−2)
=a2−2a=1−4ab+8
=a2−(2+4b)a+9>0，
∴ Δ关于a的二次函数的图象在x轴上方，
∴(2+4b) 2−4×9<0，
解得−20或m<−4
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、配方法将函数解析式化成顶点式、二次函数与直线的位置关系
等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
通过配方法将二次函数化成顶点式确定顶点坐标，然后消去m即可解答；由二次函数的定义可得
t=m2+2m+2，再根据对称性可得s=−2m−3，进而得到直线l上纵坐标为t的点的横坐标为
t m2+2m+2
x= = ；然后分点A在店B的右侧和左侧两种情况解答即可．
2 2
【详解】解：∵y=x2+2(m+1)x+m2−1=[x+(m+1)) 2 −2m−2，顶点P的坐标为(a,b)，
∴a=−m−1,b=−2m−2，
∴b=2a；
∴P(a,2a)
∵设点P所在的定直线为l，
∴直线l解析式y=2x，
∵点A在二次函数图象上，
∴t=12+2(m+1)+m2−1=m2+2m+2，
∵A，B两点纵坐标相同，
∴A，B两点关于对称轴x=−m−1对称，
1+s
∴ =−m−1,则s=−2m−3，
2
∵直线l解析式y=2x，
t m2+2m+2
∴直线l上纵坐标为t的点的横坐标为x= = ，
2 2
∵线段AB与定直线l没有公共点，
m2+2m+2
∴当点A在店B的右侧时，即−2m−3<1，有 >1，解得：m>0；
2
m2+2m+2
当点A在店B的左侧时，即−2m−3>1，有 >−2m−3，解得：m<−4．
2
综上，m的取值范围为m>0或m<−4．
故答案为：b=2a，m>0或m<−4．第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+ ( m− 1) =0．
4
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当m取00，进而可证出方程必有两个不
等实数根；
3
（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出m=1，代入后可得出原方程为x2−2x+ =0，且
4
Δ=1，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．
2 ( 1)
【详解】（1）证明：Δ=[−(m+1)) −4×1× m−
4
=m2+2m+1−4m+1
=m2−2m+2
=(m−1) 2+1．
∵(m−1) 2≥0，
∴(m−1) 2+1>0，
即Δ>0，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取00)．
(1)当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位(m>0)，若平移后的抛物线过点(0,−8)，且与x轴两交点之间的距离为6，
求m的值．
(2)已知点M(2,2n+1)，N(−1,3n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
【答案】(1)①(1,0)；②m=9，
1
(2)−10)，得y=a(x−1) 2，即可得出顶点坐标；
②根据平移规律得平移后抛物线解析式为y=a(x−1) 2−m，把(0,−8)代入，求得a=m−8，则
y=(m−8)x2−2(m−8)x−8，设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x ，x ，则x +x =2，
1 2 1 2
8 16−4m 16
x ⋅x = ，又|x −x )=6，即可得出 − =36，解之即可求解．
1 2 8−m 1 2 8−m 8−m
1
（2）把M(2,2n+1)，代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得c=2n+1，根据c<0，求得n<− ；把
2
N(−1,3n+2)代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得c=3n−3a+2，根据c=2n+1和a>0，求得n>−1，进而
即可求解．
【详解】（1）解：①∵y=ax2−2ax+c(a>0)，a=c
∴y=ax2−2ax+a=a(x−1) 2
∴抛物线的顶点坐标为(1,0)，
②∵将抛物线向下平移m个单位(m>0)，
∴平移后抛物线解析式为y=a(x−1) 2−m，把(0,−8)代入，得a(0−1) 2−m=−8，
∴a=m−8
∴y=(m−8)(x−1) 2−m=(m−8)x2−2(m−8)x−8
设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x ，x ，
1 2
8
则x +x =2，x ⋅x = ，
1 2 1 2 8−m
∴x 2+2x x +x 2=4
1 1 2 2
16−4m
∴x 2+x 2=
1 2 8−m
∵平移后的抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
∴|x −x )=6
1 2
∴x 2−2x x +x 2=36
1 1 2 2
16−4m 16
∴ − =36
8−m 8−m
解得：m=9
经检验，m=9是分式方程的解，且符合题意，
∴m=9．
（2）解：把M(2,2n+1)，代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得
c=2n+1，
∵c<0，
∴2n+1<0，
1
∴n<− ，
2
把N(−1,3n+2)代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得
3a+c=3n+2，
∴c=3n−3a+2，
∵c=2n+1，
n+1
∴a= ，
3n+1
∵a= >0，
3
∴n>−1，
1
∴−10取舍k的值，即可得到△ABC的周长．
（3）依次将题设中所给的四个方程编号为x2+ax+1=0①，x2+bx+c=0②，x2+x+a=0③，
c−1
x2+cx+b=0④．设x 是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：x = ．设x 是方程③和方程④的
1 1 a−b 2
a−b
一个相同的实根，可得x = ，可得x x =1．再进一步求解即可．
2 c−1 1 2【详解】（1）证明：∵x2−(k+2)x+2k=0，
2
∴Δ=[−(k+2)) −4×1×2k
=k2+4k+4−8k
=k2−4k+4
=(k−2) 2
∵(k−2) 2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k为任意实数值方程，总有实数根．
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a=3，另两边长b，c恰好是方程x2−(k+2)x+2k=0的两个根，
∴b+c=k+2,bc=2k，
∵b、c为直角边，斜边长a=3，
∴b2+c2=32，
∴(b+c) 2−2bc=9，
∴(k+2) 2−2×2k=9，
整理得k2=5，
解得k =❑√5，k =−❑√5，
1 2
∵ b+c>0，
∴k =−❑√5舍去，
2
∴b+c=❑√5+2，
∴△ABC的周长=5+❑√5，
（3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为x2+ax+1=0①，x2+bx+c=0②，x2+x+a=0③，
x2+cx+b=0④．
{x2+ax +1=0)
设x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则 1 1 ，两方程相减，
1 x2+bx +c=0
1 1
c−1
解得：x = ．
1 a−b{ x2+x +a=0 )
设x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则 2 2 ，两方程相减，
2 x2+cx +b=0
2 2
a−b
∴解得x = ，
2 c−1
∴x x =1．
1 2
又方程①的两根之积等于1，
∴x 也是方程①的根，则x2+ax +1=0．
2 2 2
又x2+x +a=0，
2 2
两方程相减，得(a−1)x =a−1．
2
若a=1，则方程①无实根，
∴a≠1，
∴x =1．
2
∴1+1+a=0，
∴a=−2，
由④得：b+c=−1．
又a−b+c=3，
解得：b=−3，c=2．
22．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A(−1，0)，
B(3，0)．
(1)求抛物线及直线BC的解析式；
(2)若P为抛物线上位于直线BC上方的一点，求△PBC面积S的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)直线BC与抛物线的对称轴交于点D，M为抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为
顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点M的坐标．
【答案】(1)y=−2x2+4x+6；y=−2x+627 (3 15)
(2) ；P , ；
4 2 2
(3)(❑√2+1,4)；(1−❑√2,4)；(1+❑√6,−4)；(1−❑√6,−4)
【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可；
（2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，连接PC，PB，设出P(m,−2m2+4m+6)，则Q(m,−2m+6)，
求出PQ的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可；
（3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可．
【详解】（1）解：把A(−1，0)，B(3，0)分别代入y=ax2+bx+6可得：
{ a−b+6=0 )
9a+3b+6=0
{a=−2)
解得：
b=4
∴抛物线的解析式为：y=−2x2+4x+6；
把x=0代入y=−2x2+4x+6，可得：y=6
∴C(0,6)
设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B(3，0)，C(0,6)分别代入得：
{3k+b=0)
，
b=6
{k=−2)
解得：
b=6
∴直线BC的解析式为：y=−2x+6；
（2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，连接PC，PB如图所示：
∵y=−2x2+4x+6，y=−2x+6，
∴设P(m,−2m2+4m+6)，则Q(m,−2m+6)，
∴PQ=−2m2+4m+6−(−2m+6)=−2m2+6m，∴S= 1 PQ(x −x )= 1 ×(−2m2+6m)(3−0)= 3 (−2m2+6m)=−3(m2−3m)=−3 ( m− 3) 2 + 27
2 B C 2 2 2 4
3 27
∴当m= 时，S最大面积为 ，
2 4
3 (3 15)
把m= 代入P(m,−2m2+4m+6)可得：P , ；
2 2 2
（3）解：∵y=−2x2+4x+6，
b 4
∴抛物线对称轴为直线x=− =− =1，
2a 2×(−2)
∴把x=1代入y=−2x+6可得：y=4，
∴D(1,4)，
∵M为抛物线上一动点，设M(a,−2a2+4a+6)；点N在x轴上，设N(b,0)，
∵A(−1，0)，
∴①当AD为平行四边形的对角线时：
0+4=−2a2+4a+6+0，
解得：a =❑√2+1或a =1−❑√2，
1 2
代入M(a,−2a2+4a+6)可得：M(❑√2+1,4)，M(1−❑√2,4)，
②当AM为平行四边形的对角线时：
0−2a2+4a+6=4+0，
解得：a =❑√2+1或a =1−❑√2，与①相同；
1 2
③当AN为平行四边形的对角线时：
0+0=−2a2+4a+6+4，
解得：a =1+❑√6或a =1−❑√6，
1 2
代入M(a,−2a2+4a+6)可得：M(1+❑√6,−4)，M(1−❑√6,−4)，
综上所述M的坐标为：(❑√2+1,4)；(1−❑√2,4)；(1+❑√6,−4)；(1−❑√6,−4)．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，
三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键．
23．（12分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别是x ，x (x
