文档内容
专题 21.2 公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 一元二次方程的解法——公式法】................................................................................................1
【考点二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】....................................................................................4
【考点三 根据一元二次方程根的情况求参数】............................................................................................6
【考点四 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】............................................................................8
【考点五 一元二次方程的解法——因式分解法】......................................................................................12
【考点六 换元法解一元二次方程】..............................................................................................................15
【考点七 一元二次方程根与系数的关系】..................................................................................................18
【考点八 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】..............................................................................20
【过关检测】...................................................................................................................................................24
【典型例题】
【考点一 一元二次方程的解法——公式法】
【例题1】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】运用公式法求解即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
，，
原方程的解为： ， ；
（2）解： ， ， ，
，
，
原方程的解为： ， ．
【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式 是
解题的关键．
【变式1-1】（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程： （公式法）
【答案】
【分析】利用公式法解答，即可求解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式
分解法、公式法、配方法，是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）解方程：
【答案】 ，【分析】用公式法解此方程即可．
【详解】解：
， ，
此方程的解为： ， ．
【点睛】此题考查的是用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程的步骤．
【变式1-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）运用公式法求解即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
， ；
（2）解： ， ， ，
，
，
， ．【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式 是
解题的关键．
【变式1-4】（2023春·八年级单元测试）解方程
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）用公式法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴
∴ ， ， ，
∴
∴方程有两个不相等的实数根
即 ， ．
（2）∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根 ，
即 ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式
法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．【考点二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【例题2】（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的判别式： 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等
的实数根； 时，方程有无的实数根；据此对方程进行判断即可．
【详解】解：由题意得
， ， ，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式确定方程根的个数问题，掌握根的判别式的意义是解题
的关键．
【变式2-1】（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．
【详解】解：A． ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B． ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴方程 没有实数根，选项B不符合题意；
C． ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D． ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程 ：若
，则原方程有两个不相等的实数根；若 ，则原方程有两个相等的实数根；若
，则原方程没有实数根；是解本题的关键．
【变式2-2】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）方程 根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根 D．无法判断
【答案】C
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】解：∵ ，
∴
∴方程没有实数根．
故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
【变式2-3】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程 ，下列说法正确的
是（ ）
A．当 时，方程无实数解 B．当 时，方程有两个相等的实数解
C．当 时，方程有两个不相等的实数解D．当 时，方程有两个相等的实数解
【答案】D
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可．
【详解】解：A、当 时，方程为 ，
解得 ，
故当 时，方程有一个实数根，故A不符合题意；
B、当 时，关于 的方程 为一元二次方程，
，
当 时，方程有相等的实数根，故B不符合题意，
CD、当 时，关于 的方程为 为一元二次方程，
，
当 时，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键．
【考点三 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例题3】（2023·安徽宿州·校考一模）若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围为
________．
【答案】
【分析】分当 时和当 两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当 ，即 时，此时关于 的方程为 ，解得 ，方程有实数根；
当 ，即 时，此时关于 的方程若有实数根，
则有 ，
解得 ．
综上所述，当 时，关于 的方程 有实数根．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判别式，利用分类讨论的思想分析问题是
解题关键．
【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值为______．
【答案】3
【分析】一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个不相等的实
数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的
意义，方程 有两个相等的实数根，则有 ，得到关于 的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二
次方程的根的判别式是解题关键．
【变式3-2】（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，则 的取值范围是______．
【答案】 且 ，
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有2个不相等的实数根，∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有
两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根．
【变式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若关于x的一元二次方程 无实数根，则
整数k的最小值为___________．
【答案】6
【分析】要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出k的范
围，再找出最小值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴ 且 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴整数k的最小值是6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键
是掌握根的判别式：对于一元二次方程 ， 时，方程有两个不相等的
实数根； 时，方程有两个相等的实数根； 时，方程没有实数根．
【考点四 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】
【例题4】（2023·北京昌平·统考二模）关于 的一元二次方程 ．(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出判别式，利用配方法 变为完全平方式即可，
（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
方程总有两个实数根；
（2）解： ，
，
，
方程有一根小于0，
，
．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决
方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．
【变式4-1】（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
【答案】(1)见解析
(2) 或3，当 时，方程的解为 ；当 时，方程的解为；
【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可解答；
（2）令判别式等于5求得 或3，然后分 和 两种情况，分别代入方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：令 ，则 ，解得： 或3
当 时，原方程可化为：
∴
∴ ；
当 时，原方程可化为：
∴
∴ ；
综上，当 时，方程的解为 ；当 时，方程的解为
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，由方程根的情况得到判别式
的符号是解题的关键．
【变式4-2】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为 ，即可证明结论；（2）根据题意得到 是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．
【详解】（1）证明：由 得，
，
∵ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴m的最小值为 ．
【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程
．
(1)判别方程根的情况，并说明理由．
(2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．
【答案】(1)有两个实数根，见解析
(2)5
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答；
（2）根据矩形对角线相等的性质可得 ，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m
的值代入原方程，即可求解．
【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根
理由： ，∵ ，
∴ ，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，
∴ ，
∵该一元二次方程的两根为a，b，
∴ 有两个相等的实数根，
∴ ，解得 ，
∴这个一元二次方程为 ，解得 ．
∴这个矩形对角线的长是5．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根．
【考点五 一元二次方程的解法——因式分解法】
【例题5】（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）移项变为一般形式后，利用因式分解求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：移项，得
因式分解，得 ，
∴ ，
（2）因式分解，得则 或
解得 ，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式
分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
，
，
或 ，
， ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解： ，
，
，
或 ，或 ，
故方程的解为 ．
（2）解：方程 中的 ，
这个方程的根的判别式为 ，
所以方程的解为 ，
即 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因
式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
【变式5-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）解方程
(1) ； (2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）
，
，
，
或 ，
， ．
（2），
，
，
或 ，
， ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能选择合适的方法
求解方程是解题的关键．
【变式5-4】（2022秋·九年级单元测试）解方程：
(1) ．(配方法) (2) ．(因式分解法)
(3) ．(公式法) (4) ．(因式分解法)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程；
（3）根据公式法解一元二次方程；
（4）将 看作整体，根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
（2）∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（3） ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（4）∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【考点六 换元法解一元二次方程】
【例题6】（2023·全国·九年级假期作业）实数 满足方程 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设 ，则原式变形得 ，
因式分解法解一元二次方程得， ，∴ ， ，
当 时， ，变形得， ，根据判别式 ，无实根；
当 时， ，变形得， ，根据判别式 ，方程有两
个实根；
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是
解题的关键．
【变式6-1】（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或3
【答案】C
【分析】利用换元法求解即可．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴ 或 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．
【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）若 ，则 ______．
【答案】
【分析】设 ．则原方程转化为关于 的一元二次方程 ，即 ；然后解关于 的方程即可．
【详解】解：设 ．则
，即 ，
解得， 或 不合题意，舍去)；
故 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意 中的 的取值范围： ．
【变式6-3】（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题.
解方程： .
解：把 视为一个整体，设 ，则原方程可化为 ．
解得： ， ，
或 ，
， ．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解决下列问题：
(1)解方程 ；
(2)已知 ，求 的值.
【答案】(1) ，
(2) 的值是6
【分析】（1）根据题目中给出的信息，利用换元法解方程即可；
（2）设 ，原方程可化为 ，解关于a的一元二次方程，最后注意 ，不合题意，舍去，即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
设 ，
则原方程可化为 ，
整理，得 ，
解得 ， ，
当 时，即 ，解得： ；
当 时，即 ，解得 ；
综上所述，原方程的解为 ， ；
（2）解：设 ，则原方程可化为 ，
整理，得 ，
分解因式得： ，
解得 ， ，
∵ ，
∴
∴ 不合题意，舍去，
∴ ，
即 的值是6．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握解一元二次方程的一
般方法，准确计算．
【考点七 一元二次方程根与系数的关系】【例题7】（2023·四川泸州·统考一模）已知 是一元二次方程 的两根，则 的
值是______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到 ， 的值，即可求得．
【详解】∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根
∴ ，
则原式
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．
【变式7-1】（2023·全国·九年级假期作业）若 、 为 的两根，则 的值为
______．
【答案】0
【分析】由已知中α，β是方程 的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．
【详解】解：α，β是方程 的两个实数根，
可得 ，
∴ ．
∴ 的值为0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程 的两
根时， ， ．【变式7-2】（2023·全国·九年级假期作业）设一元二次方程 的两根分别是 、 ，计算
____________．
【答案】11
【分析】由一元二次方程根与系数的关系： 、 ，然后再结合完全平方公式即可解答．
【详解】解：∵元二次方程 的两根分别是 ，
∴ 、 ，
∴
故答案为：11
【点睛】本题主要考考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的一般形式
的根与系数的关系为 （b是一次项数）， （c是常数项）是解答本题的关键．
【变式7-3】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足 ，
，且 ，则 的值为___．
【答案】7
【分析】根据题意得出a、b是关于x的方程 的两个实数根，故 ， ，把所求式子
变形再整体代入可算得答案．
【详解】解：∵a，b满足 ， ，且 ，
∴a、b是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．【变式7-4】（2023春·全国·八年级专题练习）已知 ， 是方程 的两根，则 的
值为__________．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到 ，即 ，代入 得到
，再根据根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵ 是方程 的根
∴
∴
∴
∵ ， 是方程 的两根
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次工程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程
的两根时， ， ．
【考点八 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】
【例题8】（2023·湖北襄阳·统考二模）关于 的一元二次方程 有两个不相等实数根
和 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，进而得到 ，解方程即可得到答
案．
【详解】（1）解：∵于 的一元二次方程 有两个不相等实数根 和 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等实数根 和 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等等，熟知一元二
次方程的相关知识是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根 ，且 ，求k的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用根的判别式判断即可；
（2）利用根与系数的关系式得到 ，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出： ，
由 得：
解得： ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，正确掌握根的判别式的三种情况及根
与系数的关系式是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级期末）已知关于 的一元二次方程 有两个
不相等的实数根 ．
(1)若 为正整数，求 的值；
(2)若 满足 ，求 的值．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，得到
，于是得到结论；
（2）根据 ， ，代入 ，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得： ，
为正整数，；
（2）解： ， ， ，
，
，
解得： ， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解
题的关键．
【变式8-3】（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为 ，且满足 ．求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程有实数根，得到 ，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，利用整体思想代入求值即可.
【详解】（1）由题意得， ．
解得： ；
（2）解：由一元二次方程根与系数关系可得 ．
∵ ，
∴ ．解得： ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解决问题的关键是掌握一元二次方程判别式
与方程根的情况的对应以及一元二次方程根与系数关系．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）一元二次方程 的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】先计算出根的判别式的值，根据判别式的值就可以判断根的情况．
【详解】解：∵在方程 中， ，
∴方程 有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） 方程有两个不
相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数；（3） 方程没有实数根，掌⇔握一元二次方程
⇔ ⇔根的情况与判别式 的关系是解题的关键．
2．（2023·贵州遵义·统考三模）一元二次方程 的两个根是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解： ，
，
或 ，
， ，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．
3．（2023·贵州六盘水·统考二模）已知 是一元二次方程 的两根，则 的值
为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算 的值．
【详解】解：根据题意得： ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，
．
4．（2023·山东泰安·统考一模）已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式的值为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得 ，根据一元二次方程根的定义得到 ，则
，整体代入求解即可．
【详解】解： 、 是一元二次方程 的两个实数根，
，
是一元二次方程 的实数根，
即 ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握
一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ，
．
5．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）已知关于x的方程 有两个实数解，
求k的取值范围（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式 以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元一次
不等式组，然后求解即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个实数解，∴ 且 ，解得： 且 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据二次
项系数非零及根的判别式 ，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
6．（2023·全国·九年级假期作业）方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是
周长是( )
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】B
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定
出周长．
【详解】解： ，
，
， ，
， ，
有两种情况：①三角形的三边为 ， ， ，此时不符合三角形三边关系定理，
②三角形的三边为 ， ， ，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题
的关键．
二、填空题
7．（2023·广东·九年级专题练习）一元二次方程 的解是______．
【答案】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 或 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．（2023·吉林长春·统考二模）一元二次方程 根的判别式的值为______．
【答案】16
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程 ，
∴该方程根的判别式 ，
故答案为：16．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程 的判别式
为 ．
9．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）若方程 的两根为 ， ，则 ___________．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵方程 的两根为 ， ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
的两个根 ， ，满足 ， ．
10．（2023·广东阳江·统考二模）一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为_________．
【答案】1
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：根据题意得 ，即 ，
解得： ．故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
11．（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）设m，n为关于x的方程 的两个实数根，则
______.
【答案】
【分析】先根据m是 的一个实数根得出 ，利用一元二次方程根与系数
的关系得出 ，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵m是一元二次方程 的一个实数根，
∴ ，
即 ．
由一元二次方程根与系数的关系得出 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的
关键．
12．（2023·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则它有一根为﹣1；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；
其中正确的______．
【答案】①②④
【分析】利用因式分解法解方程可对①进行判断；根据根的判别式的意义，由方程 有两个不相等的实根得到 ，则可判断 ，于是可对②进行判断；由c是方程 的
一个根得到 ，只有当 时， ，则可对③进行判断；利用 计算根的
判别式得到 ，则根据根的判别式的意义可对④进行判断．
【详解】解：若 时，则 ，
∴原方程为 ，
∴
解得 ，，故①正确；
若方程 有两个不相等的实根，则 ，
∴方程 的根的判别式 ，
∴方程 必有两个不相等的实根，故②正确；
∵c是方程 的一个根，
∴ ，
当 时， ，故③错误；
若 ，则 ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有
两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根．
三、解答题
13．（2023春·浙江杭州·八年级杭州市惠兴中学校考期中）解方程．
(1) ；(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 的一元一次方程，
再进一步求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 的一元一次方程，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ 或 ，
解得 ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ， ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公
式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
14．（2023春·山东威海·八年级校联考期中）解方程
(1)
(2)
【答案】(1) ，(2) ，
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式进而解方程即可；
（2）利用公式法解方程得出答案．
【详解】（1）解： ，
则 ，
故 ，
解得： ， ；
（2）
，
∵ ，
则 ，
解得： ， ．
【点睛】此题主要考查了公式法以及因式分解法解方程，正确选择解方程的方法是解题关键．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）用适当的方法解方程．
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用求根公式直接求解即可；
（2）先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可；【详解】（1）解：原方程可化为：
∴ ， ，
∴
方程有两个不相等的实数根
∴ ，
（2）解：原方程移项，得
因式分解，得
于是得 或
∴ ，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）根据要求解下列方程．
(1)用配方法解方程： ．
(2)用公式法解方程． ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【详解】（1）解：移项得， ．
配方得， ， ，
，原方程的解为 ， ．
（2）解： ， ， ，
，
方程有两个不相等的实数根， ，
即 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用不同的方法解一元二次方程是解题的关键．
17．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)试说明：对于任意实数 ，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于 ，另一根小于 ，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据一元二次方程判别式为 即可解答；
（2）解方程，求得 ， ，根据题意得到 ，解不等式即可．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程 ，
∴ ，
∴对于任意实数 ，该方程总有实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ 的取值范围 ．
【点睛】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键．
18．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）关于 的一元二次方程 有实数根．求：
(1)求 的范围；
(2)设 为方程的两个根，且 ，求 的值？
【答案】(1)a的取值范围是 且 ；
(2)a的值是 或 ．
【分析】（1）根据判别式的意义得到 且 ，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ， ，利用 得到关于a的方程，即可
解出a的值．
【详解】（1）解： 且 ，
解得 且 ．
故a的取值范围是 且 ；
（2）解：∵ 为方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
整理得 ，
解得 或 ．由（1）得 且 ．
故a的值是 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个
不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．也考查了一元二次方
程的根与系数的关系．
19．（2023·北京丰台·二模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时，方程的根是 （答案不唯一）
【分析】（1）根据根的判别式 即可证明；
（2）先根据方程至少有一个正整数根，求出 ，在此范围内取 ，即可求出方程的根．
【详解】（1）∵ ，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵ ，
∴ ．
∵方程至少有一个正整数根，
∴ ．
∴ ．
当 时，一元二次方程 可化为 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元
二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键．20．（2023·广东广州·校考一模）已知关于x的一元二次方程 ，其中a、b、c分
别为 三边的长．
(1)如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由．
(3)如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1)等腰三角形，见解析
(2)直角三角形，见解析
(3)x=0，x=-1
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【分析】（1）将 代入方程中，然后化简得出 ，即可判断 的形状；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，可用 建立方程，即可得出 ，即可判断
的形状；
（3）由等边三角形的性可得 ，再代入 化简可得 ，然后运用因
式分解法求解即可．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵当 时，由方程的解得意义可得： ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴原方程可化为： ，即： ，
∴ ，∴ ，
∴这个一元二次方程的根为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式、勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识
点，根据已知条件确定适当的等量关系是解题关键．
