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第21章 一元二次方程单元测试（基础）
一、单选题
1．已知x，x 是一元二次方程 x2−2x=0 的两根，则x＋x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．0 B．2 C．－2 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x，x 是一元二次方程 x2−2x=0 的两根，∴x+x =2．
1 2 1 2
故答案为：B．
b
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x +x =− ，即可求解.
1 2 a
2．一元二次方程5x2﹣2x﹣7＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：∵Δ ＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，
∴关于一元二次方程5x2﹣6x﹣7＝0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，
方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入公式判断出△
的符号即可得出结论.
3．方程x2－4 √2 x＋8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】【解答】∵在方程x2－4 √2 x＋8＝0中,△=（-4 √2 ）2−4×1×8=0，
∴有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】计算b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的
实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。”即可
判断求解.
4．关于 x 的方程 x2+5x+m=0 的一个根为 −2 ，则另一个根为（ ）．A．−6 B．−3 C．3 D．6
【答案】B
【解析】【解答】根据题意，将x=-2代入，得(−2) 2+5×(−2)+m=0,所以m=6，所以一元二次方程为
x2+5x+6=0,(x+2)(x+3)=0,x =−2,x ,所以方程的另一个根为x=-3.
1 2=−3
故答案为：B.
【分析】先利用方程的一个根求得m的值，即求得一元二次方程，再利用配方法解方程即可求得f方
程的另一个根.
4 5
5．已知a= m﹣1，b=m2﹣ m（m为任意实数），则a与b的大小关系为（ ）
9 9
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
【答案】B
4 5
【解析】【解答】解：∵a= m﹣1，b=m2﹣ m（m为任意实数），
9 9
5 4 1 3
∴b﹣a=m2﹣ m﹣ m+1=m2﹣m+1=（m﹣ ）2+ ＞0，
9 9 2 4
则a＜b，
故选B
【分析】利用作差法比较a与b的大小即可．
6．设一元二次方程 x2−2x−3=0 的两个实数根为x，x，则x＋xx＋x 等于（ ）.
1 2 1 1 2 2
A．1 B．－1 C．0 D．3
【答案】B
【解析】【解答】∵一元二次方程 x2−2x−3=0 的两个实数根为x，x，
1 2
b c
∴x＋x＝− ＝2，xx＝ =-3，
1 2 a 1 2 a
∴x＋xx＋x＝2+（-3）=-1
1 1 2 2
故答案为：B.
b c
【分析】直接利用根与系数的关系式：x＋x＝− ，xx＝ 求解即可.
1 2 a 1 2 a
7．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，②x2－2x－3＝0．下列说法正确的是( )
A．①②有实数解 B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解
【答案】B
【解析】【解答】方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有
实数解.故答案为：B.
【分析】一元二次方程的根的判别式b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；,b2-4ac=0时,方程有两
个相等的实数根；b2-4ac<0时,方程没有实数根。根据题意计算出方程①的判别式△=4-12=－8<0，则
①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.
8．三角形的两边长分别为3和6，第三边长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则这个三角形的周长为（
）
A．11 B．11或14 C．16 D．14
【答案】D
【解析】【解答】解：解方程x2﹣7x+10＝0得x＝2或5，
∴第三边长为2或5.
边长为2，3，6不能构成三角形；
而3，5，6能构成三角形，
∴三角形的周长为3+5+6＝14，
故答案为：D.
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可.
9．下列所给的方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+x=0 B．5x2﹣4x﹣1=0
C．3x2﹣4x+1=0 D．4x2﹣5x+2=0
【答案】D
【解析】【解答】解：A、△=12﹣4×1×0=1＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
B、△=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
C、△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
D、△=（﹣5）2﹣4×4×2=﹣7＜0，所以方程没有实数根．
故选D．
【分析】分别计算出判别式△=b2﹣4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．
10．一元二次方程 x2−2x+1=0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A
【解析】【解答】解：△ =(−2) 2−4×1×1=0 ，
∴ 方程有两个相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的根的判别式求解即可。
二、填空题
11．已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个实数根，则m的值是 .
【答案】2
【解析】【解答】把x=1代入方程得：1+m-3=0
∴m=2，故答案为：m=2.
【分析】将x=1代入方程即可求出m的值.
12．若关于 x 的方程 (m+2)x2+x+m2−1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是
.
【答案】m≠−2
【解析】【解答】解：关于x的方程是一元二次方程时：m+2≠0，
解得，m≠-2.
故答案为：m≠-2.
【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，且二次项的系数不为0的整式方程就是一元二
次方程，根据一元二次方程的定义列式计算即可得解.
13．若关于x的方程（a+3）x2﹣2x+a2﹣9=0有一个根为0，则a= ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a+3）x2﹣2x+a2﹣9=0有一个根为0，∴a2﹣9=0，且a+3≠0，
解得：a=3．故答案是：3．
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的一元二次方程，通过解该方程来求a的值，注意，关于
x的一元二次方程的二次项系数不等于零．
14．若a是方程x2-2x-1=0的解，则代数式2a2-4a+2019的值为 ．
【答案】2021
【解析】【解答】解：∵a是方程x2-2x-1=0的一个解，
∴a2-2a=1，
则2a2-4a+2019=2（a2-2a）+2019=2×1+2019=2021；故答案为：2021．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a2-2a=1，然后将其代入所求
的代数式并求值即可．
15．我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以
运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣4x﹣1=0
②x（2x+1）=8x﹣3
③x2+3x+1=0
④x2﹣9=4（x﹣3）
我选择第 个方程．
【答案】①或②或③或④
【解析】【解答】解：我选第①个方程，解法如下：
x2﹣4x﹣1=0，
这里a=1，b=﹣4，c=﹣1，
∵△=16+4=20，
4±2√5
∴x= =2± √5 ，
2
则x=2+ √5 ，x=2﹣ √5 ；
1 2
我选第②个方程，解法如下：
x（2x+1）=8x﹣3，
整理得：2x2﹣7x+3=0，
分解因式得：（2x﹣1）（x﹣3）=0，
可得2x﹣1=0或x﹣3=0，
1
解得：x= ，x=3；
1 2 2
我选第③个方程，解法如下：
x2+3x+1=0，
这里a=1，b=3，c=1，
∵△=9﹣4=5，
−3±√5
∴x= ，
2−3±√5 −3−√5
则x= ，x= ；
1 2 2 2
我选第④个方程，解法如下：
x2﹣9=4（x﹣3），
变形得：（x+3）（x﹣3）﹣4（x﹣3）=0，
分解因式得：（x﹣3）（x+3﹣4）=0，
可得x﹣3=0或x﹣1=0，
解得：x=1，x=3
1 2
【分析】①此方程利用公式法解比较方便；②此方程利用因式分解法解比较方便；③此方程利用公式
法解比较方便；④此方程利用因式分解法解比较方便．
三、计算题
x
16．如果x2﹣10x+y2﹣12y+61＝0，求 的值．
y
【答案】解：∵x2﹣10x+y2﹣12y+61＝（x﹣5）2+（y﹣6）2＝0，
∴x＝5，y＝6，
x 5
∴ ＝ ．
y 6
【解析】【分析】先把原方程化为完全平方公式的形式，再根据非负数的性质求出x、y的值，代入
x
进行计算．
y
四、解答题
17．将一元二次方程x2－6x－5＝0配方，化成(x＋a)2＝b的形式．
【答案】解：原方程可化为x2－6x＝5，
配方得x2－6x＋9＝5＋9，
∴(x－3)2＝14.
【解析】【分析】先将方程常数项移动右边，两边都加上9即可求出答案．
{
x+1<3x−3
18．当x满足条件 1 1 时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．
(x−4)< (x−4)
2 3
{
x+1<3x−3
{2
