文档内容
第21章 一元二次方程单元测试（提升）
一、单选题
1．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（ ）
A．2，8 B．3，4 C．4，3 D．4，8
【答案】D
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得t+2＝6，2t＝c，
解得t＝4，c＝8.
故答案为：D.
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系可得t+2＝6，2t＝c，据此解答即可.
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．4x2+3 √x -1＝0
1
C．x2+4＝0 D．3x2+x+ ＝0
x
【答案】C
【解析】【解答】A、当a≠0时ax2+bx+c＝0是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、4x2+3 √x -1＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2+4＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
1
D、3x2+x+ ＝0含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
x
故答案为：C．
【分析】 只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二
次方程 ，根据一元二次方程的定义对每个选项一一判断即可。
3．方程（x-1）2=16的解是（ ）
A．x=5，x=-3 B．x=-5，x=4
1 2 1 2
C．x=17，x=-15 D．x=5，x=-5
1 2 1 2
【答案】A
【解析】【解答】解：（x-1）2=16，∴x-1=±4，∴x=5，x=-3．故答案为：A．
1 2
【分析】由题意两边直接开平方即可求解。
x2−3x+2
4．下列结论：①若x2=16，则x=4；②方程x(2x−1)=(2x−1)的解为x=1；③若分式 的
x−1值为0，则x=1或x=2．正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】【解答】解：①若x2＝16，则x＝±4，不符合题意；
②移项得：x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
1
解得：x＝ ，x＝1，不符合题意；
1 2 2
③根据题意得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝2，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据平方根、因式分解法及分式的值为0的解法逐项判断即可。
5．某市商品房的均价原为18150元/m2，经过连续两次降价后均价为15000元/m2．设平均每次降价的
百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．18150（1﹣x）2=18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）=15000
C．18150（1﹣2x）=15000 D．18150（1﹣x）2=15000
【答案】D
【解析】【解答】由题意可列方程是：18150（1﹣x）²=15000．故选D．
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即
可．
6．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2-1=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或-1 D．0
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x2+5x+m2-1=0的常数项为0，
∴m2-1=0，
解得：m=1或-1．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的一般形式可得常数项为m2-1，由“常数项为0”可得到关于m的方程，
解此方程可得m的值.
7．某汽车销售公司2007年盈利1500万元， 2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．
A．1500(1+x)2=2160 B．1500x+1500x2=2160
C．1500x2=2160 D．1500(1+x)+1500(1+x)2=2160
【答案】A
【解析】【分析】设每年盈利的年增长率为x，第一年的增长率为（1+x)，第二年增长率为（1+x)2，
据此列出等量关系．
【解答】设每年盈利的年增长率为x，
第一年的增长率为（1+x)，第二年增长率为（1+x)2，
又知2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，
故可得1500（1+x)2=2160，
故选A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识点，读懂题意，找到等量关系是解答本
题的关键
8．一元二次方程 x2−6x+5=0 配方后可化为（ ）
A．(x+3) 2=14 B．(x−3) 2=−4 C．(x+3) 2=−14 D．(x−3) 2=4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2-6x+5=0，
∴x2-6x=-5，
∴x2-6x+9=4，
∴(x-3)2=4.
故答案为：D.
【分析】首先将常数项移至等号的右边，然后给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，对等号左
边的式子利用完全平方公式分解即可.
9．已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，
c
∴xx= =﹣2，
1 2 a
∴1×x =﹣2，
2则方程的另一个根是：﹣2，
故选C．
c
【分析】根据根与系数的关系得出xx= =﹣2，即可得出另一根的值．
1 2 a
10．已知 a ， b ， c 是1，3，4中的任意一个数（ a ， b ， c 互不相等），当方程
ax2−bx+c=0 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
【答案】C
【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数
∴△=b2− 4ac≥0
∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），
当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；
当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；
当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．
∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；
当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
4±√4
x=
2
∴x=3，x=1，两个根均为整数，符合题意；
1 2
当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解
4±√4
x=
2×3
1
∴x=1，x= ，不符合题意，故舍去；
1 2 3
∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x=3，x=1，
1 2
∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b2− 4ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得
出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，
则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。
二、填空题
11．方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是
．
1 3
【答案】y=﹣ ，y=
1 2 2 2
【解析】【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0，
∴2y+1=0或2y﹣3=0，
1 3
解得y=- ，y= ．
1 2 2 2
【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得．
12．若关于x的方程x2+6x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
【答案】m <9
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+6x+m=0有两个不相等的实数根，
∴∆=36-4m＞0，
∴ m<9.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出∆=36-4m＞0，即可求出m的取值范围.
13．某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出相同数目的小分支,若小分支、枝干和主干
的总数是73,则每个枝干长出 个小分支.
【答案】8
【解析】【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，
由题意得1+x+x2=73，
∴（x+9）（x-8）=0，
解得x =8，x =-9（舍去）
1 2
答：每个支干长出8个小分支.
故答案为8.
【分析】设主干长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，根据主干+枝干+小枝干=73列出方程，整理求解即可.
14．若x、x 是一元二次方程x2-3x-3=0的两个根，则，x+x 的值是 ，
1 2 1 2
【答案】3
【解析】【解答】解：根据题意可知，x+x =3
1 2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可运算得到答案。
15．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x 和x，且（x﹣2）（x﹣x）=0，
1 2 1 1 2
则k的值是 ．
9
【答案】﹣2或﹣
4
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣x）=0，
1 1 2
∴x﹣2=0或x﹣x=0．
1 1 2
①如果x﹣2=0，那么x=2，
1 1
将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，
整理，得k2+4k+4=0，
解得k=﹣2；
②如果x﹣x=0，
1 2
那么（x﹣x）2=（x+x ）2﹣4xx=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，
1 2 1 2 1 2
9
解得k=﹣ ．
4
又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．
9
解得：k≥﹣ ．
4
9
所以k的值为﹣2或﹣ ．
4
9
故答案为：﹣2或﹣ ．
4
【分析】先由（x﹣2）（x﹣x）=0，得出x﹣2=0或x﹣x=0，再分两种情况进行讨论：①如果x
1 1 2 1 1 2 1
﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x
1
﹣x=0，那么将x+x =﹣（2k+1），xx=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．
2 1 2 1 2
三、计算题
16．解下列方程：（Ⅰ） x2−4x−5=0 ；
（Ⅱ） 3x2−2x−1=0 ．
【答案】解：（Ⅰ） x2−4x−5=0
分解因式，得 (x+1)(x−5)=0
于是得 x+1=0 ，或 x−5=0
∴x =−1 ， x =5 ；
1 2
（Ⅱ） 3x2−2x−1=0
分解因式，得 (3x+1)(x−1)=0
于是得 3x+1=0 ，或 x−1=0
1
∴x =− ， x =1 ．
1 3 2
【解析】【分析】（Ⅰ）利用因式分解法计算求解即可；
（2）先求出 3x+1=0 ，或 x−1=0 ，再计算求解即可。
四、解答题
17．已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两根，
求m的值．
【答案】解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b＝c，若b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0
的两个实数根，
则△＝（-m）2-12m＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝12；
当a为腰时，则b＝4或c＝4，若b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两个实数根，
则42-4m+3m＝0，
解得：m＝16；
此时x＝4或12，三角形三边为4，4，12，
∵4+4＜12
∴不满足三角形三边关系，应舍去，
故m的值为12．
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系求解即可。
18．10月11日，2020中国女超联赛在昆明海堙基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共
有 x 支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了 45 场比赛，求
x 的值．1
【答案】解： x(x−1)=45
2
解得 x=10 或 −9
∵x>0，
∴x=10，
答： x 的值为 10
1
【解析】【分析】由于每两队之间进行一场比赛，共进行了 x(x−1)场比赛，据此构建等式求解即
2
可.
五、综合题
19．一个小球，以 5m/s 的速度开始滚动，并且均匀减速， 4s 后小球停止滚动.
（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（2）小球滚动 5m 用了多少秒？（结果保留小数点后一位）
【答案】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即5÷4=1.25（m/s），
故小球的滚动速度平均每秒减少1.25小m/s；
（2）解：球滚动到5m时约用了xs，
5+(5−1.25x)
依题意，得： x⋅ =5 ，
2
整理得：x2-8x+8=0，
解得： x=4±2√2 ，
∵x＜4，
∴x=4−2√2≈1.2 .
故小球滚动5m用了1.2秒.
【解析】【分析】（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间；
5+(5−1.25x)
（2）利用等量关系：速度×时间=路程，时间为xs，根据题意列出方程： x⋅ =5 求解
2
即可.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x，x 为方程的两个实数根，且x+2x =14，试求出方程的两个实数根和k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2=0中，△=（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）=36+4k2≥36，∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：∵x，x 为方程x2﹣6x﹣k2=0的两个实数根，
1 2
∴x+x =6，
1 2
∵x+2x =14，
1 2
∴x=8，x=﹣2．
2 1
将x=8代入x2﹣6x﹣k2=0中，得：64﹣48﹣k2=0，
解得：k=±4．
答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=36+4k2≥36，由此即可证出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x+x =6，结合x+2x =14即可求出方程的两个根，再将其中一个根
1 2 1 2
代入原方程中即可求出k的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2−(2k+4)x+k2+4k+3=0.
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值.
【答案】（1）证明：∵x2−(2k+4)x+k2+4k+3=0，
∴△=b2−4ac=(2k+4) 2−4(k2+4k+3)
=4k2+16k+16−4k2−16k−12=4>0，
∴一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2−(2k+4)x+k2+4k+3=0
∴(x−k−1)(x−k−3)=0，
∴x =k+1>0，x =k+3>0，
1 2
∴Rt△ABC两直角边分别是k+1，k+3，斜边长为10，
∴(k+1) 2+(k+3) 2=100，
解得：k =−9（舍去），k =5，
1 2
∴k的值时5.
【解析】【分析】（1）首先求出判别式的值，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况；
（2）利用因式分解法求出方程的根，然后根据勾股定理可得k的值.22．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平
均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就
增加200个．
（1）若售价上涨x元（x＞0），每月能售出 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰
好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）在库存为1000个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8000元，直接写出每个台灯的售价．
【答案】（1）600﹣20x
（2）解：方法一：
设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]=8400，
解得x=36（舍），x=37．
1 2
当x=36时，（40﹣36）×200+600=1400＞1210；
当x=37时，（40﹣37）×200+600=1200＜1210；
答：每个台灯的售价为37元．
方法二：
设每个台灯降价x元．
根据题意，得（40﹣x﹣30）（200x+600）=8400，
解得x=3，x=4（舍）．
1 2
当x=3时，40﹣3=37，（40﹣37）×200+600=1200＜1210；
当x=4时，40﹣3=36，（40﹣36）×200+600=1400＞1210；
答：每个台灯的售价为37元
（3）解：设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]=8000，
解得x=38，x=50．
1 2
答：每个台灯的售价为38元或50元
【解析】【解答】解：（1）依题意得：600﹣20x．故答案是：600﹣20x．
【分析】（1）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销
售量就减少20个”列出代数式；（2）方法一：设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销
售数量=总利润列出方程并解答；
方法二：设每个台灯降价x元．根据每个台灯的利润×销售数量=总利润列出方程并解答；（3）解题思路同（2）．
23．如图，在菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我们把关于x
的形如“mx2+2 √2 tx+n=0”的元二次方程称为“菱系一元二次方程”。请解决下列问题：
（1）填空：
①当m=6，n=8时，t=
②用含m，n的代数式表示t2值，t2=
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程” mx2+2 √2 tx+n=0必有实数根：
（3）若x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 √2 tx+n=0的一个根，且菱形的面积是25，BE是菱
形ABCD的AD边上的高，求BE的值。
1 1
【答案】（1）5； m2+ n2
4 4
（2）解：mx2+2 √2 tx+n=0，这里，a=m，b=2 √2 t，c=n，
∴△=（2 √2 t）2-4mn=8t2-4mn，
1 1
∵t2= m2+ n2，∴△=2m2+2n2-4mn=2（m-n）2≥0．
4 4
∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2 √2 tx+n=0必有实数根
（3）解：∵x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 √2 tx+n=0的一个根，
∴m-2 √2 t+n=0，
∴2 √2 t=m+n，
∴8t2=m2+n2+2mn，
∵m2+n2=4t2
∴2t2=mn，
∵菱形面积是25，
1
∴ mn=25，
2
∴t2=25，t=5即AD=5，
∴BE=25÷5=5
【解析】【解答】解：（1）①当m=6、n=8时，AO=4，DO=3，则AD= √AO2+DO2 = √32+42 =5，即t= 5；
1 1 1 1
②由题意知AO= AC= m，DO= BD= n
2 2 2 2
√ 1 2 1 2 √1 1
则AD= √AO2+DO2 = ( m) +( n) = m2+ n2
2 2 4 4
1 1
∴t2= m2+ n2
4 4
【分析】（1）①根据菱形的性质得出AO=4，DO=3，根据勾股定理求出AD=5，即可得出t的值；
1 1
②根据菱形的性质得出AO= m，DO= n，根据勾股定理求出AD的长，即可得出t2的值；
2 2
（2）根据一元二次方程根的判别式得出△=2（m-n）2≥0，即可得出 “菱系一元二次方程” mx2+2
√2 tx+n=0必有实数根：
1
（3）把x=-1代入一元二次方程得出√2 t=m+n，从而得出2t2=mn， 再根据菱形的面积等于25得出
2
mn=25， 从而得出t2=25， 得出AD=5，再根据菱形的面积等于25即可求出BE的长.
