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22.2 用函数观点看一元二次方程
二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛 物 线
与 x 一元二次方程
轴 交 于 ， 有
△＞0 两 个 不 相 等 的 实 数 根
两 点 ， 且
，
此时称抛物线与x轴相交
抛 物 线 一元二次方程
与 x 有
△＝0 两 个 相 等 的 实 数 根
轴交切于 这一点，
此时称抛物线与x轴相切
抛 物 线 一元二次方程
△＜0 与 x 在
轴无交点，此时称抛物线与 x 实数范围内无解（或称无实
轴相离 数根）
注意： 二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
题型1：求抛物线与坐标轴的交点坐标
1.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程
ax2+bx+c＝0的两个解是（ ）
A．x＝﹣2，x＝5 B．x＝2，x＝﹣5
1 2 1 2
C．x＝﹣2，x＝﹣5 D．x＝2，x＝5
1 2 1 2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣2，0），（5，0），
即自变量为﹣2和5时函数值为0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x＝﹣2，x＝5，
1 2
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程与抛物线的的关系可得：抛物线与 x轴的交点的横坐标即可得到方程的
解。
【变式1-1】二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=−1 ，与x轴
的一个交点为 (1,0) ，与y轴的交点为 (0,3) ，则方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的解为（ ）
A．x=1 B．x=−1
C．x =1 ， x =−3 D．x =1 ， x =−4
1 2 1 2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0）．
∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x=1，x=﹣3．
1 2
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．
【变式1-2】已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与x轴的两个交点坐标是（-2，0），（5，0），则一元二次
❑
方程 ax2+bx+c=0 的两个解是（ ）
A．x =−2,x =5 B．x =2,x =−5
1 2 1 2
C．x =−2,x =−5 D．x =2,x =5
1 2 1 2
【答案】A
【解析】【解答】∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根，∴ax2+bx+c=0 （ a≠0 ）的解是 x =5，x =−2 ．
1 2
故答案为：A．
【分析】根据抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴的交点得横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根来解决此
题．
题型2：判断抛物线与x轴交点情况
2.小明在解二次函数 y=ax2+bx+c 时，只抄对了 a=1 ， b=4 ，求得图象过点 (−1,0) ．他
核对时，发现所抄的 c 比原来的 c 值大2．则抛物线与 x 轴交点的情况是（ ）
A．只有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．不确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵小明在解二次函数 y=ax2+bx+c 时，只抄对了a=1，b=4，求得图象过点
(−1,0) ，即方程 ax2+bx+c=0 有一个根是x=-1，
∴（-1）2-4+c=0，
解得：c=3，
故原方程中c=1，
则b2-4ac=16-4×1×1=12＞0，
则原方程的根的情况是有两个不相等的实数根，即抛物线与 x 轴有两个交点．
故答案为：B．
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．
【变式2-1】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【答案】D
【解析】【解答】解：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
2a±√4a(a−1)
∵x＝ ＞0，
2a
∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故答案为：D
−b±√b2−4ac
【分析】计算b2−4ac的值可判断的图象与x轴交点的个数；再根据x= 和已知条件a
2a
＞1可判断这两根的符号，即两个交点所在的位置。
【变式2-2】抛物线 y=−x2+2kx+2 与 x 轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对【答案】C
【解析】【解答】因为 △=b2−4ac=4k2+8 ＞0，所以抛物线 y=−x2+2kx+2 与 x 轴有2个交
点，故答案为：C．
【分析】用k表示出对应一元二次方程的判别式，发现该判别式恒大于 0，所以所给二次函数与x轴
有两个交点.
题型3：根据抛物线与x轴的交点个数求参数
3.二次函数与 y=(m−2)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ）
A．m⩽3 B．m<3
C．m<3 且 m≠2 D．m⩽3 且 m≠2
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0，
解得m≤3且m≠2．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式及二次函数的定义，得出m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0，求出m
的取值范围即可.
【变式3-1】抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k>－ B．k≥－ 且k≠0
C．k≥－ D．k>－ 且k≠0
【答案】B
【解析】【解答】解：因为 y=kx2-7x-7为抛物线，所以k≠0；
因为
y=kx2-7x-7和图像有交点，
所以b2-4ac≥0
即(-7)2-4k·(-7)≥0
7
所以k≥- 。
4
7
综上，k≥- 且k≠0。
4
故答案为：B。
【分析】根据y=kx2-7x-7为抛物线，首先确定k≠0；因为抛物线和x轴有交点，所以抛物线根的判别
式大于等于0，即可得出k的取值范围。
【变式3-2】已知二次函数 y=(k−3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是(
).
A．k<4 且k≠3 B．k≤4 C．k>4 D．k≥4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有两个交点，∴令y=0，则（k-3）x2+2x+1=0，则
△=4-4（k-3）＞0，且k-3≠0，
解得，k＜4且k≠3.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义和抛物线与x轴有两个交点可得关于k的不等式：k-3≠0，b2-4ac＞0，即
4-4（k-3）＞0，解不等式即可求解。
题型4：二次函数与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系
4.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0
C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0
【答案】A
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即
可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的
交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解
故答案为：A.
【分析】根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，就是求x2＋3x－1=0的根即可解答此题。
【变式4-1】若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程
ax2＋bx＋c＝0的根为（ ）
A．x＝﹣7，x＝3 B．x＝﹣6，x＝4
1 2 1 2
C．x＝6，x＝﹣4 D．x＝7，x＝﹣3
1 2 1 2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵4a＋b=0 ，∴b=−4a
b
由题意可得：抛物线的对称轴为 x=− =2 ，
2a
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10
∴交点坐标分别为 (7，0) ， (−3，0)
根据二次函数与一元二次方程的关系可得：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为 x =7 ， x =−3
1 2
故答案为：D
b
【分析】函数的对称轴为x=− =2，结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，
2a
即可求出函数与x轴的两个交点，即可得到答案。
【变式4-2】已知二次函数 （m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x
的一元二次方程 x2−3x+m=0 的两实数根是（ ）
A．x＝1，x＝－1 B．x＝1，x＝2
1 2 1 2
C．x＝1，x＝0 D．x＝1，x＝3
1 2 1 2
【答案】B【解析】【解答】∵二次函数 y＝x2−3x+m （m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，
∴12−3+m=0⇒m=2 ．∴x2−3x+m=0⇒x2−3x+2=0⇒x =1，x =2 ．
1 2
故答案为：B．
【分析】根据二次函数 y＝x2−3x+m （m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，即可得出
一元二次方程 x2−3x+m=0 的两实数根 。
题型5：根据二次函数值求自变量x的取值范围
5.根据下列表格中的对应值：
x 1.98 1.99 2.00 2.01
y=ax2+bx+c -0.06 -0.05 -0.03 0.01
判断方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0 ，a，b，c为常数）一个根x的范围是（ ）
A．1.000 ，
∴ 在 2.000 ，函数
值由负数变成正数，从而得出在 2.002
C．x<0 或 x>4 D．02 ．
1 2
故答案为：B．
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的 x的取值范
围即可．
【变式7-1】如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x﹣1交于点A（a，﹣2）和B（b，2）．
1 2
（1）求a，b的值；
（2）观察图象，直接写出当y＜y 时x的取值范围．
1 2
【答案】解：（1）由﹣2=a﹣1得，a=﹣1，
由2=b﹣1得，b=3；
（2）由图可知，y＜y 时x的取值范围﹣1＜x＜3．
1 2
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入直线解析式求解即可；
（2）根据函数图象写出抛物线在直线的下方部分的x的取值范围即可．
【变式7-2】如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物
线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【解题思路】（1）将点A（﹣1，0）代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与点C关于y轴对
称求点B坐标．
（2）根据图象交点坐标求解．
【解答过程】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m，
解得m＝﹣1，
∴y＝（x+2）2﹣1，
当x＝0时，y＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点B坐标为（﹣4，3）．
（2）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标（﹣4，3），
由图象可知，（x+2）2+m≥kx+b时，x≤﹣4或x≥﹣1．
题型8：综合-二次函数中周长最值问题
8.已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于
点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）连接BD，△PAD周长的最小值为AD+BD．
【解答】解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）∵y＝x2+2x﹣3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
连接BD，交对称轴于点P，
∵点A坐标为（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴点B坐标为（1，0），
∴BD＝ ＝3 ，
又∵AD＝ ＝ ，
∴△PAD周长的最小值为3 + ．
【点评】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握轴对称求最短
路线问题．
【变式8-1】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC
和BC．
（1）求抛物线的解析式；（直接写出解析式，不写过程）
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （ ，﹣ 5 ） ．
【分析】（1）由OA＝2，OC＝6得到A（﹣2，0），C（0，﹣6），用待定系数法即可求得抛物线解析
式；
（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是
定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6，
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），
将A（﹣2，0），C（0，﹣6），代入y＝x2+bx+c，得 ，
解得：b＝﹣1，c＝﹣6，
∴抛物线得解析式为：y＝x2﹣x﹣6．
（2）在y＝x2﹣x﹣6中，
对称轴为直线x＝ ，
∵点A与点B关于对称轴x＝ 对称，
∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，
而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，
在y＝x2﹣x﹣6中，
当y＝0时，x ＝﹣2，x ＝3，
1 2
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，
将点B（3，0）代入，
得，k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
当x＝ 时，y＝﹣5，
∴点D的坐标为（ ，﹣5）；
故答案为：（ ，﹣5）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质等，解题关键是熟练掌
握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．
【变式8-2】如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点
C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标及
△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点 C的坐标，利用待定系数
法求出直线BC的解析式．
（2）求出点D的坐标，然后根据S△ABD ＝S△ACD +S△ABC 进行计算，即可得出答案．
（3）AB长度固定，只需满足QA+QB最小即可，找点A关于对称轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与对
称轴的交点即是点Q的位置，求出其坐标即可．
【解答】解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
故抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+4x﹣6，
其对称轴为：x＝4，
故点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标代入可得： ，
解得： ，
故直线BC的解析式为y＝ x﹣6；
（2）联立直线BC与抛物线的解析式： ，
解得： 或 ，故点D的坐标为（5， ），
则S△ABD ＝S△ACD +S△ABC ＝ AC×D纵+ AC×|B纵|＝ ．
（3）存在点Q，使得△QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：
A'坐标为（6，0），B（0，﹣6），
设直线A'B的解析式为：y＝mx+n，代入两点坐标可得： ，
解得： ，
即直线A'B的解析式为y＝x﹣6，
故点Q的坐标为（4，﹣2）．
△QAB周长的最小值为 + ＝2 +6 ．
即存在点Q的坐标（4，﹣2）时，使得△QAB的周长最小，最小值为2 +6 ．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，及利用轴对称求
最短路径的问题，解答第二问需要我们将要求图形的面积分割，第三问的关键是利用轴对称的性质得出点
Q的位置，难度较大．
题型9：综合-二次函数中线段最值与面积最值问题
9.如图，二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），另一个交点为B，且与y轴交于
点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上是否存在点D，使△ABD与△ABC的面积相等？若存在，请求出D点的坐标；
若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A点代入＝x2﹣3x+c中求出c的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先解方程x2﹣3x﹣4＝0得到B（﹣1，0），再确定C（0，﹣4），然后利用三角形面积公式计
算；
（3）设D（t，t2﹣3t﹣4），根据三角形面积公式得到 ×5×|t2﹣3t﹣4|＝10，然后解方程得到D点坐
标．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入y＝x2﹣3x+c得16﹣12+c＝0，
解得c＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴△ABC的面积＝ ×（4+1）×4＝10；
（3）存在．
设D（t，t2﹣3t﹣4），
∵△ABD与△ABC的面积相等，
∴ ×5×|t2﹣3t﹣4|＝10，
即|t2﹣3t﹣4|＝4，
解方程t2﹣3t﹣4＝4得t ＝ ，t ＝ ，
1 2
此时D点坐标为（ ，4）或（ ，4）；
解方程t2﹣3t﹣4＝﹣4得t ＝0，t ＝3，
1 2
此时D点坐标为（3，﹣4）；
综上所述，D点坐标为（ ，4）或（ ，4）或（3，﹣4）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【变式9-1】如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1
经过点A且与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．
【分析】（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可
求出抛物线的解析；
（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y轴，交
AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），表示PE的长，根据三角形面积公式可得△APD的
面积，配方后可得结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，
∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴D（4，﹣5），
过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），
∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，
∴△PAD的面积＝ •PE•（4+1）＝ （﹣t2+3t+4）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
当t＝ 时，△PAD的面积最大，且最大值是 ．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积以及面积的
最值等知识，解题关键是会利用配方法确定三角形面积的最大值．
【变式9-2】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线
l与抛物线交于 A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求△PAD面积最大值；
（3）由（2）并求出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣ m2+m+3），则K（m， m+1）．因
为S△PAD ＝ •（x
D
﹣x
A
）•PK＝3PK，所以PK的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PK的最大值即
可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ （x+2）（x﹣6），即y＝﹣ x2+x+3，
∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），
设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），
则 ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝ x+1；
（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣ m2+m+3），则K（m， m+1）．
∵S△PAD ＝ •（x
D
﹣x
A
）•PK＝3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK＝﹣ m2+m+3﹣ m﹣1＝﹣ m2+ m+2＝﹣ （m﹣1）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴m＝1时，PK的值最大，最大值为 ，此时△PAD的面积的最大值为 ；
（3）由（2）可知，m＝1时，△PAD面积最大，
∵P（m，﹣ m2+m+3），
∴P（1， ）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，一次
函数和二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函
数解决最值问题，属于中考压轴题．
题型10：综合-二次函数中面积倍数关系问题
10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，
0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是二次函数图象上的一点．
（1）求二次函数和直线BC的解析式．
（2）若点P在直线BC的下方，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．
（3）当S△PBC ＝ S△ABC 时，求点P的横坐标．
【分析】（1）把A，B，C三点坐标代入函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）作PD⊥x轴交BC于点D，PE⊥y轴，延长EP与过点B的x轴垂线交于F，设P点坐标为（m，
），则点D坐标为（m，m﹣3），然后根据S△PBC ＝S△PDC +S△PDB ＝ PD•OB＝﹣ （m﹣
）2+ ，求出△PBC的面积最大时m的值，从而求出点P的坐标；
（3）根据（2），先求出S△ABC ＝ ，再根据S△PBC ＝ S△ABC 列出方程求出m的值即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入二次函数解析式，
则 ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝ ﹣ x﹣3；
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图，作PD⊥x轴交BC于点D，PE⊥y轴，延长EP与过点B的x轴垂线交于F，
设P点坐标为（m， ），则点D坐标为（m，m﹣3），
∴PD＝m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）＝﹣ m2+ m，
S△PBC ＝S△PDC +S△PDB ＝ PD•PE+ PD•PF＝ PD•EF＝ PD•OB，
∴S△PBC ＝ （﹣ m2+ m）×3＝﹣ m2+ m＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，S△PBC 取最大值，
此时P点坐标为（ ，﹣ ）；
（3）∵S△ABC ＝ AB•OC＝ ×5×3＝ ，
∴S△PBC ＝ S△ABC ＝ × ＝ ，
设P（m， m2﹣ m﹣3），
由（2）知，PQ＝|﹣ m2+ m|，S△PBC ＝ （x
B
﹣x
C
）PQ＝ ×|﹣ m2+ m|，
∴ ×|﹣ m2+ m|＝ ，即|m2﹣3m|＝2，
当m2﹣3m＝2时，解得m＝ ；
当m2﹣3m＝﹣2时，解得：m＝1或m＝2，
∴点P的横坐标为 或 或1或2．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，三角形面积，解题的关键是将同底的三
角形面积转化为点到直线的距离．
【变式10-1】如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B．与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）连接BC，点D是线段BC上方抛物线上的一点，连接OD，CD，OD交BC于点E，是否存在点D
使S△COE ：S△CDE ＝3：2，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）c＝3，点B（3，0），将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，
即可求解；
（2）S△COE ：S△CDE ＝3：2，则OE：ED＝3：2，DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝ CO＝2，而
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，即可求解．
【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴c＝3，点B（3，0），
将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，如图：
过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点M，
S△COE ：S△CDE ＝3：2，则OE：ED＝3：2，
∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝ CO＝2，
由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，
解得：x＝1或2．
故点D（1，4）或（2，3）．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，
平行线分线段成比例定理，求得DM的长是解题的关键．【变式10-2】如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，5）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′，L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物
线L′上是否存在点Q，使得15S△BDQ ＝4S△ABC ，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出翻折后的函数解析式，求出B，D的坐标，再根据15S△BDQ ＝4S△ABC 可求出Q到x轴的距
离，从而确定Q的纵坐标，然后再用解析式求出Q的横坐标即可．
【解答】解：（1）将（﹣1，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c
得 ，
∴ ，
∴y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
（2）由题意得L'的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
令（x﹣3）2﹣4＝0，
∴x ＝1，x ＝5，
1 2
∴D（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴ ，
∴15S△BDQ ＝4S△ABC ，
∴S△BDQ ＝4，
∵BD＝5﹣1＝4，
∴Q到BD的距离为2，
当y ＝2时，（x﹣3）2﹣4＝2，
Q
，
∴ ，
当y ＝﹣2时，（x﹣3）2﹣4＝﹣2，
Q，
∴ ，
综上所述：Q的坐标为 ， ， ，
【点评】本题考查了二次函数的图象特征，关键是求出翻折后的函数解析式．
一、单选题
1．已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象上部分点的坐标 (x,y) 的对应值如表所示：
x … 0 √5 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
则方程 ax2+bx+1.37=0 的根是（ ）.
A．0或4 B．√5 或 4−√5 C．4+√5 或 √5 D．无实根
【答案】B
0+4
【解析】【解答】由图象可知，对称轴为直线 x= =2 .
2
∵(0,0.37) .
∴0.37=c .
∴ax2+bx+1.37=0 ，
ax2+bx+0.37+1=0 .
∴ax2+bx+0.37=−1 .
即 y=−1 时，
由表可知 x =√5 .
1
∵对称轴为 x=2 .
∵另一个解 x =4−√5 .
2
∴a2+bx+1.37=0 的根是 x =√5,x =4−√5 .
1 2
故答案为：B.
【分析】根据抛物线经过点（0，0.37）可求得c＝0.37，由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直
线x＝2，抛物线经过点（√5，−1），由于方程ax2＋bx＋1.37＝0变形为ax2＋bx＋0.37＝−1，则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根则为函数值为−1所对应的自变量的值.
2．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t
为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【答案】D
m
【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得- =2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的
2·(−1)
解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐
标，利用图象法即可解决问题．
3．已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为 （
）A．x=-1，x=3 B．x=-2，x=3 C．x=1，x=3 D．x=-3，x=1
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解析】【分析】由图象可得二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴为x=1，且图象与x轴的一个交点
坐标为（3，0)，根据抛物线的对称性即可得到结果.
由图象可得对称轴为x=1，且与x轴的一个交点坐标为（3，0)
则关于 的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x=-1，x=3
1 2
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.
4．已知一元二次方程ax2+bx+c=0，根据下列表格中的对应值：
… …
x 3.09 3.10 3.11 3.12
﹣ ﹣ ﹣
ax2+bx+c … …
0.17 0.08 0.01 0.11
可判断方程的一个解x的范围是（ ）
A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10
C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.12
【答案】D
【解析】【解答】根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.11～3.12之间．故选D．
【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.11～3.12之间由负到正，故可判断
ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.11～3.12之间．
5．若二次函数 y=ax2−2ax+c 的图象经过点（﹣1，0），则方程 ax2−2ax+c=0 的解为
（ ）
A．x =−3 ， x =−1 B．x =1 ， x =3
1 2 1 2
C．x =−1 ， x =3 D．x =3 ， x =−1
1 2 1 2
【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数 y=ax2−2ax+c 的图象经过点（﹣1，0），∴方程
ax2−2ax+c=0 一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数
y=ax2−2ax+c 的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程 ax2−2ax+c=0 的解为：
x =−1 ， x =3 .
1 2
故答案为：C。
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式得出该抛物线的对称轴直线是x=1，从而根据抛物线的对称性
得出二次函数 y=ax2−2ax+c 的图象与x轴的另一个交点坐标，求方程 ax2−2ax+c=0 的解，就
是求抛物线 y=ax2−2ax+c 与x轴两交点的横坐标，从而即可得出答案。
6．已知函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么关于x的方程 ax2+bx+c+2=0 的根的情况是 ()
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根
【答案】C
【解析】【解答】 ∵y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是-3，
∵ 方程 ax2+bx+c+2=0 ，
∴ax2+bx+c=−2 时，即是 y=−2 求x的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为-3，判断方程 ax2+bx+c+2=0 的根的情况即是判断
y=−2 时x的值．
二、填空题
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 …
y … 3 －2 －5 －6 －5 …
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是 .
【答案】x=-4，x=0
1 2【解析】【解答】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2.
∵x=﹣4时，y=﹣2，∴x=0时，y=﹣2，
∴方程ax2+bx+c=3的解是x=﹣4，x=0.
1 2
故答案为：x=﹣4，x=0.
1 2
【分析】根据表格中的信息和二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线x=-2；于是可得当y=-2时，
x=-4或x=0，然后把y=-3代入函数解析式可得y=ax2+bx+c，从而可得关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=-2的根.
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx
＋c＝0(a≠0)的解是 .
【答案】x＝－3，x＝2
1 2
【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3，0)，(2，0)，
∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程 ax2+bx+c=0 的解为 x =−3，x =2.
1 2
故答案为： x =−3，x =2.
1 2
【分析】根据抛物线与x轴的两个交点的坐标可得抛物线方程的解。
9．抛物线 y=−x2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴是直线 x=−1 ，则关于x的一元二次方程
−x2+bx+c=0 的解为 ．
【答案】x =1,x =−3
1 2
【解析】【解答】由图象可得，
抛物线 y=−x2+bx+c 与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线 x=−1 ，
则抛物线与 x 轴的另一个交点为（-3，0），
即当 y=0 时， −x2+bx+c=0 ，此时方程的解是 x =1，x =−3 ，
1 2
故答案为： x =1，x =−3 ．
1 2【分析】根据二次函数的性质和函数的图象，可以得到该函数图象与x轴的另一个交点，从而可以得
到一元二次方程 −x2+bx+c=0 的解，本题得以解决．
10．已知二次函数 y=−x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程
−x2+2x+m=0 的根为 ．
【答案】−1 或 3
【解析】【解答】解：由函数图象可知，二次函数与x轴的交点为（-1，0），对称轴为直线x=1，
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3，0），
∴关于 x 的一元二次方程 −x2+2x+m=0 的根为 −1 或 3 .
【分析】根据函数图象求出二次函数与x轴的交点，利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题.
11．抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解是
.
【答案】x＝﹣3，x＝1
1 2
2a
【解析】【解答】抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
2a
∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），
∴抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解为x＝﹣3，x＝1.
1 2
故答案是：x＝﹣3，x＝1.
1 2
【分析】先求出抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的另一个交点
坐标为（1，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题求解.
三、综合题
12．已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4），
（1）求证：抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x，0）、B（x，0），且（x+1）（x+1）＝﹣8，求二
1 2 1 2
次函数的解析式．
【答案】（1）证明：△＝（k﹣5）2+4（k+4）
＝k2﹣6k+41＝（k﹣3）2+32，
∵（k﹣3）2≥0，
∴△＞0， ∴抛物线与x轴必有两个交点；
（2）解：根据题意得x、x 为方程x2+（k﹣5）x﹣（k+4）＝0的两根，
1 2
∴x+x ＝﹣（k﹣5），
1 2
x•x＝﹣（k+4），
1 2
∵（x+1）（x+1）＝﹣8，
1 2
∴x•x+x +x +1＝﹣8，
1 2 1 2
即﹣（k+4）﹣（k﹣5）+1＝﹣8，解得k＝5，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣9．
【解析】【分析】（1）根据题意，计算抛物线根的判别式，根据判别式的值进行判断得到答案即可；
（2）将代数式化简，根据一元二次方程根 与系数的关系，将（x+x ）以及xx 的值代入即可得到答
1 2 1 2
案。
13．已知：二次函数 y=−x2+2x+m ．
（1）如果二次函数图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB解析式．
【答案】（1）解：∵二次函数 y=−x2+2x+m 的图象与x轴有两个交点，
∴Δ=22+4m>0 ．
∴m>−1 ．
（2）解：∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0=−9+6+m ．
∴m=3 ．
∴二次函数的解析式为 y=−x2+2x+3 ．
令x=0，则y=3．
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为 y=kx+b ，{3k+b=0
∴ ．
b=3
{k=−1
解得 ．
b=3
∴直线AB的解析式为 y=−x+3 ．
【解析】【分析】（1）根据 △>0 得出关于m的不等式即可得到结论；（2）将点A坐标代入抛物线
表达式得出m的值，从而得到抛物线的解析式，然后将x=0代入抛物线的解析式可求得点B的坐标，
然后依据待定系数法可求得直线AB的解析式．
14．已知：二次函数 y=x2−4x+3a+2 (a为常数).
（1）请写出该二次函数图象的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 x≤4 的部分与一次函数 y=2x−1 的图象有
两个交点，求 a 的取值范围.
【答案】（1）解：①图象开口向上；②图象的对称轴为直线 x=2 ；③当 x>2 时， y 随 x 的增
大而增大；④当 x<2 时， y 随 x 的增大而减小；⑤当 x=2 时，函数有最小值
（2）解：∵二次函数的图象与一次函数 y=2x−1 的图象有两个交点，
∴x2−4x+3a+2=2x−1 ，即 x2−6x+3a+3=0 ，
Δ=36−4(3a+3)=−12a+24>0 ，解得 a<2 ，
∵二次函数的图象在 x≤4 的部分与一次函数 y=2x−1 的图象有两个交点，
∴二次函数 w=x2−6x+3a+3 的图象与 x 轴 x≤4 的部分有两个交点，
画出二次函数 w=x2−6x+3a+3 的图象，结合图象，
可知当 x=4 时， x2−6x+3a+3≥0 ，
5
∴当 x=4 时， x2−6x+3a+3=3a−5≥0 ，得 a≥ ，
3∴当二次函数的图象在 x≤4 的部分与一次函数 y=2x−1 的图象有两个交点时，
5
a 的取值范围为 ≤a<2
3
【解析】【分析】（1）开放性的命题，答案不唯一，可以根据开口方向、对称轴直线、最值、增减项、
与坐标轴的交点等方面来说；
（2）联立抛物线的解析式与直线 y=2x−1 得出 x2−6x+3a+3=0 ，根据两函数有两个不同的交
点，故该方程根的判别式的值大于0，从而列出不等式，求解得出a的取值范围；根据函数与一元二
次方程的关系，由二次函数的图象在 x≤4 的部分与一次函数 y=2x−1 的图象有两个交点，可知
二次函数 w=x2−6x+3a+3 的图象与 x 轴 x≤4 的部分有两个交点， 画出二次函数
w=x2−6x+3a+3 的图象，结合图象， 求出当x=4的时候a的取值范围，综上所述即可得出答案。
