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第 07 课 一元二次方程应用题(2)
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课程标准
1、了解动点问题的等量关系；.
2、掌握销售问题中各个量之间的关系.
3、会列动点问题和销售问题的一元二次方程.
知识精讲
知识点01 动点问题
在Rt△ABC中，AB=m，BC=n，动点P从A以a单位/秒向B运动，
点Q从B以b单位/秒向C运动，设运动时间为x秒，则
点P的速度 动点P运动的路程 PB
a单位/秒
点Q的速度 动点Q运动的路程 QC
b单位/秒
知识点02 销售问题
总利润=
未知数x 销售量 总利润x为降价
x为涨价 销售量与x是 关系 总利润=
x为降价
【举例如下】：
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场
决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
设每件商品降价x元.
当降价x元后：
①单件利润为： 元
②销售数量为： 件；
销售量的表达式求解过程：
能力拓展
考法01 动点问题
【例题1】如图， 中， ， ， ．点 从点 出发沿折线 以每秒1个
单位长的速度向点 匀速运动，点 从点 出发沿 以每秒2个单位长的速度向点 匀速运动，
点 ， 同时出发，当其中一点到达点 时停止运动，另一点也随之停止．设点 ， 运动的时间是 秒(
)．
发现：
(1) __________；
(2)当点 ， 相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时 的长．探究：
(1)当 时， 的面积为_________；
(2)点 ， 分别在 ， 上时， 的面积能否是 面积的一半？若能，求出 的值；若不能，
请说明理由．
拓展：当 时，直接写出此时 的值．
【即学即练1】如图所示， 中， ， ， ．
点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移
动．如果 、 分别从 ， 同时出发，线段 能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时
间；若不能说明理由．
若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点出发以 的速
度移动， 、 同时出发，问几秒后， 的面积为 ？
考法02 销售问题
【例题2】某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以 元/千克收购了这种土特产 千
克，若立即销往外地，每千克可以获利 元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨
元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间
不宜超过 天，在贮藏过程中平均每天损耗 千克．
(1)若商家将这批土特产贮藏 天后一次性出售，请完成下列表格：
每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售天后出售
(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润 元？
【即学即练1】某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销
售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？
设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
【即学即练2】宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的
定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当
房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有( )
A． B．
C． D．
【即学即练3】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均
每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千
克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：
(1)每千克茶叶应降价多少元？
(2)在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？
考法03 数字问题
【例题3】如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
【即学即练1】一个两位数，它的十位数字比个位数字大 ，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小
，则这个两位数是________．
【即学即练2】一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大
2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为__________．
分层提分题组A 基础过关练
1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，
平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出
的方程是( )
A．(3+x)(4-0．5x)=15 B．(x+3)(4+0．5x)=15
C．(x+4)(3-0．5x)=15 D．(x+1)(4-0．5x)=15
2．某商务酒店客房有 间供客户居住．当每间房 每天定价为 元时，酒店会住满；当每间房每天的定
价每增加 元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当
房价定为多少元时，酒店当天的利润为 元?设房价定为 元，根据题意，所列方程是( )
A． B．
C． D．
3．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株
时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的
盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
4．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．
5．有一个两位数，个位数字比十位数字大 ，且个位数字与十位数字的平方和等于 ，这个两位数是
________．
6．如图，已知 中， ，P、Q是 边上的两个动点，其中点P从
点A开始向B运动，且速度为每秒 ，点Q从点B开始沿 方向运动，且速度为每秒 ．它们
同时出发，设出发的时间为t秒．(1)出发2秒后，求 的长：
(2)当点Q在边 上运动时，出发几秒钟， 能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边 上运动时，求能使 成为等腰三角形的运动时间．
7．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度
从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离
是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问
经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点
P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
8．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D
运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另
一点也同时停止．设运动的时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
(2)当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
(3)五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
(4)当t为何值时，P、Q两点之间的距离为 cm？
题组B 能力提升练
1．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进
价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平
均每天可多售出20件．
(1)若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件(直接填写结果)；
(2)不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多
少元？
(3)在(2)的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
2．新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋
25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每
天销售量不得少于120袋．
(1)直接写出：
①每天的销售量 (袋)与销售单价 (元)之间的函数关系式；
②每天的销售利润 (元)与销售单价 (元)之间的函数关系式；
(2)小王希望每天获利 元，则销售单价应定为多少元?
(3)若每袋口罩的利润不低于 元，则小王每天能否获得 元的总利润，若能，求出销售定价；否则，
说明理由．
3．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月
售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
(1)若售价上涨x元(x＞0)，每月能售出 个台灯．(2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400
元，求每个台灯的售价．
(3)在库存为1000个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8000元，直接写出每个台灯的售价．
4．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得
高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p(桶)与销售单价x(元)的函数图象如图所示．
(1)求日均销售量p(桶)与销售单价x(元)的函数关系；
(2)若该经营部希望日均获利1350元，请你根据以上信息，就该桶装水的销售单价或销售数量，提出一个
用一元二次方程解决的问题，并写出解答过程．
题组C 培优拔尖练
1．2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH地产共推
出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居
每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米．
(1)LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？
(2)2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有回
落．为年底清盘促销，LH地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价
在原有基础上每平方米下调 万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调 万元，这样大
平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中
I1月的销售总额相等．求出m的值．
2．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家
香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成
美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用
5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．(1)每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
(2)12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为
3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了 ，
每袋香肠的售价减少了 元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了 ，香肠的销售量比上半
月香肠的销售量增加了 ，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
