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第 01 课 一元二次方程
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学习目标
(1)会设未知数，列一元二次方程.
(2)了解一元二次方程及其根的概念.
(3)能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
知识精讲
知识点01 一元二次方程的概念
1、对“一元”、“二次”的理解
①一元：方程只有 未知数；
②二次：未知数的 为2；
2、一元二次方程满足的三个条件
①方程必须是 方程(不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如 不是整式方程)；
②只含有 个未知数；
③未知数的 为2；
知识点02 一元二次方程的一般形式
1、一元二次方程的一般形式及要求
①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成
的形式， 叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：
等式左边为关于x的 ，等式右边 ；
2、一元二次方程的项和系数
a为 b为
3、一元二次方程的特殊形式：【注意】
(1)将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以-1，将二次项系数a化
为 ；
(2)找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程 ，再找二次项系数、一次项系数和常数
项，并且要带上前面的 ；
(3)若方程中没有出现一次项 或常数项 ，则该项的系数为 ；
知识点03 一元二次方程的根
一元二次方程的根满足两个条件：
(1)根就是未知数的值；
(2)使方程两边相等；
用法：已知方程的根，则将方程的根代入未知数，等式成立。
应用：
1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边 , 则是,否则不是.
2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值.
知识点04 由a、b、c的等式得出一元二次方程的根
(1)首先观察下表：
已知方程的根 得出等式
x=1
x=
x=2
x=
(2)由上表，根据a、b、c的等式，得出方程的根
已知等式 方程的根【注意】
①由a、b、c的等式，判断方程的根时，要将a、b、c放在等号的一侧；
②根据一元二次方程的一般式 可知，c的系数为 ，故一定要将c的系数化为 ；
③根据一元二次方程的一般式 可知，一次项bx可知，b的 即为方程的根x；
能力拓展
考法01 一元二次方程的判断
【例题1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C． ﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【即学即练1】下列哪个方程是一元二次方程( )
A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+ =3 D．x2=2x﹣3
【即学即练2】下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A． B． C． =0 D．
考法02 一元二次方程的定义
【例题2】若关于x的方程 是一元二次方程，则( )
A． B． C． D．
【即学即练1】已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
【即学即练2】已知方程 .
(1)当 取何值时是一元二次方程？
(2)当 取何值时是一元一次方程？
考法03 一元二次方程的一般式
【例题3】填空：(1)一元二次方程的一般式是 __________．
(2)把一元二次方程 化成一般式是__________．
(3)把一元二次方程 化成一般式是__________．
(4)一元二次方程 的二次项的系数是__________，一次项的系数是__________， 常数项是
__________．
(5)一元二次方程 的二次项的系数是_______，一次项的系数是_______，常数项是_______．
(6)当 __________ 时，关于 的方程 是一元二次方程．
【即学即练1】下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项
系数、一次项系数和常数项
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6)
【即学即练2】方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【即学即练3】把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是( )
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
考法04 一元二次方程的根
【例题4】已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为( )
A．−2 B．2 C．−4 D．4【即学即练1】如果关于x的一元二次方程 有一个解是0，那么m的值是( )
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0或﹣3
【即学即练2】若n( )是关于x的方程 的根，则m+n的值为( )
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【即学即练3】已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好
有一个相同的实数根 ，则 的值为( )
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【即学即练4】关于 的方程 必有一个根为( )
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
【即学即练5】已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为( )
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【即学即练6】两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常数，且
，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是方程 的根
的是( )
A． 2020 B． C．-2020 D．
考法05 由a、b、c的等式得出方程的根
【例题5】若方程 中， 满足 和 ，则方程的根是( )
A． B． C． D．无法确定
【即学即练1】已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
(1)若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ；
(2)若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ；
(3)若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ．考法06 整体代换思想
【例题6】已知整式 的值为6，则整式2x2-5x+6的值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
【即学即练1】已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为( )
A．1 B． C． 或1 D．2
【即学即练2】已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则 的值为( )
A． B． C．﹣1 D．1
【即学即练3】已知x＝﹣1是一元二次方程 的一个根，求 的值．
【即学即练4】 是方程 的根，则式子 的值为( )
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
考法07 列一元二次方程
【例题1】根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
(1)一个长方形的长比宽多 ，面积是 ，求长方形的长x；
(2)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x；
(3)在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，假设参加聚会小朋友有
x人．
【即学即练1】根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 .
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 .
(3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长 .
分层提分
题组A 基础过关练
1．若方程(m-1)x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A． B．
C． D．
3．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是( )
A．-3 B．-1 C．1 D．3
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是( )
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是( )
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
6．若 是方程 的根，则 的值为( )
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程(a＋2)x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．0
8．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a )必有一个根是( )
A．0 B．1 C．-1 D．
9．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3
10．如果(m+2)x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
11．下列说法正确的是( )
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常数项为0
D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
12．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则 的值为( )
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
题组B 能力提升练
13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
14．若关于x的方程 有一个根是1，则 _________．
15．若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
16．若a是方程 的解，计算： =______.
17．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x=－2，x=1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+b=0 的
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解是__________.
18．若关于x的一元二次方程 有一个根为0，则a的值为_________．
19．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是
_____元(结果用含m的代数式表示)．
20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___．
21．已知 =0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为___________．
题组C 培优拔尖练
22．某中学数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题：
(1)是否存在 的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出 的值；
(2)是否存在 的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出 的值，并解此方程．
23．若m是一元二次方程 的一个实数根．
(1)求a的值；
(2)不解方程，求代数式 的值．
24．一元二次方程 化为一般形式后为 ，试求 的值．25．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝ ＋ －2，求 的值.
26．试证明关于 的方程 无论 取何值，该方程都是一元二次方程；
