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第 02 课 配方法
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课程标准
(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程.
(2)能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
(3)体会“降次”的数学思想.
(4)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.
(5)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.
知识精讲
知识点01 直接开方法
1、直接开平方法的解读
开平方 解读
解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转
化为 .
若
则 直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即 ,
转化为两个一元一次方程。
2、方程x2=p的根的情况
p的取值 方程x2=p的根的情况
【注意】
(1)用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的 ，右边是非负数的形式，开
方的结果要注意取正、负两种情况.
(2)对于形如 的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得
，即 ；
(3)当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解.
(4)所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。知识点02 配方法
1、配方法的目的：
对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式：
2、配方法的依据：
完全平方公式：
【配方五步法】
1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数.
2、化1:方程的两边同除以 ,把二次项系数化为1.
3、配方:在方程的两边同时加上 ,化成(x+m)2=n的形式.
4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程 .
5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解.
示例
步骤 解释
移项得：
1、移 将常数项移到等号的右侧
二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项
2、化
系数
配方得：
利用等式的性质，在等式两边同时加上
3、配
开方得：
4、开 根据开平方的定义，进行开方
两个平方根一个取正，一个取负，解出方
5、解
程
知识点03 配方法的应用
配方法的应用是基于 ，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明；
举例：
证明： 的值恒为正；
第一步
将二次项系数作为公因数提出来
第二步 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个
数
第三步
将前三项因式分解，剩余常数放到括号外能力拓展
考法01 直接开方法
【例题1】解方程
【即学即练1】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
【即学即练2】方程 的根是______________．
考法02 配方法
【例题2】用配方法解方程 时，配方结果正确的是( )
A． B．
C． D．
【即学即练1】用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是( )．
A． B．
C． D．
【即学即练2】解方程： (用配方法)
考法03 配方法的应用
【例题3】对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个( )
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
【即学即练1】多项式 的最小值为( )A． B． C． D．
【即学即练2】已知 ( 为任意实数)，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．不能确定
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
2．一元二次方程(x+1)2＝4的解为_____．
3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x= B．x＝±1 C． . D．
4．用适当的正数填空：
(1) _____=(x-_____)2；
(2)x2-______x+16=(x-____)2；
(3) (x＋____)2；
(4) ______=(x-____)2．
5．一元二次方程 配方后可变形为( )
A． B． C． D．
6．将一元二次方程 化成 (a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69
7．解下列方程．
(1)
(2)8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
题组B 能力提升练
1．关于x的方程m(x+h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x =-3，x =2，则方程m(x+h-3)2+k=0的解是(
1 2
)
A．x =-6，x =-1 B．x =0，x =5 C．x =-3，x =5 D．x =-6，x =2
1 2 1 2 1 2 1 2
2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足 ， ， ，则此三角形的形状
是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3．已知 , ,(m为任意实数)，则P、Q的大小关系为( )
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
4．代数式 的最小值是( )
A．10 B．9 C．19 D．11
5．若把代数式 化为 的形式，其中 、 为常数，则 ______．
6．
题组C 培优拔尖练
1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数
“i”，使其满足i2=﹣1(即方程x2=﹣1有一个根为i)．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，
且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i，i4=(i2)2=(﹣1)2=1，从而对于任
意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013
的值为【 】
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
2．关于代数式 ，有以下几种说法，
①当 时，则 的值为-4.
②若 值为2，则 .③若 ，则 存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是( )
A．① B．①② C．①③ D．①②③
3．阅读材料:若 ，求m、n的值.
解: ，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
(1)已知 ，求 的值.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求边c的最大值.
(3)若已知 ，求 的值.
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝
x2+4x+4+1＝(x+2)2+1，∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：x2﹣4x+5＝(x )2+ ；
(2)已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
(3)比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
