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第 03 课 公式法
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知识精讲
课程标准
(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.
(2)会用公式法解一元二次方程.
(3)会应用公式法解一元二次方程的其他问题
知识点01 一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程的一般式，我们也可以用配方法进行配方：
∵当 时，该方程才有实数根，且 ，
∴ 方程才有实数根
1、一元二次方程 根的判别式是
2、表示:通常用希腊字母“△”表示,即 ；
3、一元二次方程 实数根的情况
△的符号 根的情况
方程有 实数根
方程有 实数根
方程 实数根
【注意】(1)一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根.
此时b2－4ac≥0,切勿丢掉等号
(2)当一元二次方程有两个相等的实数根时，不说方程只有一个实数根.
(3)当a ,c异号时，一元二次方程 一定有 的实数根.
4、一元二次方程 实数根的情况判断△：
一元二次方程根的情况 △的符号
一元二次方程有实数根
一元二次方程有两个实数根
一元二次有两个不相等的实数根
一元二次没有实数根
知识点02 求根公式及公式法
对于一元二次方程 进行配方可得到一元二次方程的求根公式：
推导过程：
【注意】
(1)一元二次方程 的求根公式的应用条件是 ,且 .
(2)用求根公式可求出任何有解的一元二次方程的根.
用公式法解一元二次方程的步骤：步骤 示例： 解释
先将方程化为一般式
1、化为一般式 移项：
(a≠0)
确定a、b、c时，
2、确定a、b、c
要注意带前面的
3、计算△
当△ 时，才能用求根公
式；
∵△ ， 当△ ，则方程没有实数
4、代入公式求根
∴方程有 根
能力拓展
考法01 由根的判别式判断方程根的情况
【例题1】一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【即学即练1】一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
考法02 根据根的情况求参数范围
【例题2】关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是( )
A． B． C． 且 D． 且
【即学即练1】已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．实数根的个数与实数b的取值有关
考法03 公式法解一元二次方程
【例题3】方程 的根是( )
A． B． C． D．
【即学即练1】用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时，b2-4ac的值为( )
A．52 B．32 C．20 D．-12
【即学即练2】用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是( )
A．x、= B．x、=
1 2 1 2
C．x、= D．x、=
1 2 1 2
【即学即练3】x= 是下列哪个一元二次方程的根( )
A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0
【即学即练4】方程 的解为( )
A．5 B．-2
C．5和-2 D．以上结论都不对
【即学即练5】解方程：
(1) ； (2)
．
考法04 公式法的其他应用
【例题4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0．
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【例题5】三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为( )
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
【即学即练1】已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于(
)
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列方程中，没有实数根的是( )
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
2．下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A． B．
C． D．
3．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4．如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是( )
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
5．关于x的一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定6． 是下列哪个一元二次方程的根( )
A． B． C． D．
7．解下列方程：
(1)x2+4x﹣5＝0
(2)(x﹣3)2＝2(3﹣x)
8．用公式法解下列方程：
(1) ;
(2) ；
(3)
(4) .
题组B 能力提升练
1．已知实数 满足 ，则代数式 的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
2．若一次函数 的图象不经过第二象限，则关于 的方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．已知关于x的一元二次方程标 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(
)
A． B．
C． 且 D．
4．已知 分别是 的边长，则一元二次方程 的根的情况是( )A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
5．已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2—(c2—a2—b2)x+b2=0，则方程根的情况是( )．
A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定
6．请你判断， 的实根的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的
长，则 的取值范围是________.
题组C 培优拔尖练
1．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列命题是真命题的有( )
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝(2at＋b)2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
2．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误
的是( )
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
3．对于一元二次方程 ，有下列说法：
①若 ，则方程 必有一个根为1；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 是一元二次方程 的根，则 ．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．方程 的解是________．
5．先阅读下列材料，然后回答问题：
在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各项的系数之和为零，即a＋b＋c＝0，则有一根为1，
另一根为 .
证明：设方程的两根为x ，x ，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，
1 2
∵x＝ ＝ ，
∴x ＝1，x ＝ .
1 2
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数满足a－b＋c＝0，请直接写出此方程的两根；
(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，运用上述结论证明： .
6．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k
的值
7．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
