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第 12 课 待定系数法求二次函数的解析式
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课程标准
(1) 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
(2) 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次
函数三种形式是可以互相转化的。
知识精讲
知识点 用待定系数法求二次函数解析式
1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式： (a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式： (a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式： ( ， 为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设： ，或 ；
第二步，代： ；
第三步，解： ；
第四步，还原 ：．
【注意】
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：
①当已知 ，可设函数的解析式为 ；
②当已知 ，可设函数的解析式为 ；
③当已知 ，可设函数的解析式为 ．
能力拓展
考法01 用待定系数法求二次函数解析式
【典例1】已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是( )
A． ，﹣ B． ， C．1，2 D．﹣1，2
【即学即练】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为(
)
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【典例2】已知点 在函数 的图象上，则a等于______．【即学即练】若二次函数图象的顶点坐标为(2，﹣1)，且抛物线过(0，3)，则二次函数解析式是 __．
考法02 用待定系数法解题
【典例3】二次函数 的 与 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是( )
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 -2 …
A．抛物线开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小
C．当 时， D． 的最大值为
【即学即练】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是( )
x 0 1 2
y 0 1.5 2 1.5
A．当 时，y随x的增大而增大 B．当 时，
C．顶点坐标为(1，2) D． 是方程 的一个根
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，点 ．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当 时，求二次函数 的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作 轴，点Q的横坐标为 ．已知点
P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；
【即学即练】如图，已知抛物线 经过A(-1,0)，B(3,0)两点，C是抛物线与y轴的交点．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解
析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．
分层提分
题组A 基础过关练
1．若二次函数 的图象经过原点，则 的值为( )
A． B． C． D． 或
2．若抛物线 的顶点是 ，且经过点 ，则抛物线的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
3．已知二次函数 的图象经过点 ，且当 时， 随 的增大而减小，则点 的坐标可以是
( )
A． B． C． D．
4．已知二次函数的图象经过点(-1，-5)，(0，-4)和(1，1)，则这二次函数的表达式为( )
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
5．过原点的抛物线的解析式是( )
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3(x+1)2 D．y=3x2+x
6．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A(x ，y)，B(x ，y)在此函数图象上，x＜x＜1，y 与y
1 1 2 2 1 2 1 2
的大小关系是
A．y≤y B．y＜y C．y≥y D．y＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
7．如果抛物线 的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，
那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________．
8．写出一个二次函数，其图象满足：(1)开口向下；(2)与y轴交于点(0，3)，这个二次函数的解析式可以是
________．
9．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的对称轴．10．如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于另一点 ，
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点 在抛物线 上，求 的值．
题组B 能力提升练
1．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为( )
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
2．某二次函数的图象与函数y＝ x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为(﹣2，1)，则
该二次函数表达式为( )
A．y＝ (x﹣2)2＋1 B．y＝ (x﹣2)2﹣1
C．y＝ (x＋2)2＋1 D．y＝﹣ (x＋2)2＋1
3．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是( )
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2
4．设函数y＝a(x﹣h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，( )
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0
C．若h＝4，则a>0 D．若h＝5，则a＞0
5．抛物线的图象如下，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )
A． B． C． D．6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间
t(单位：分钟)满足的函数关系p＝at2+bt+c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模
型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
7．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这
个点叫做“关联点”．现将二次函数 (c为常数)的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联
点”为 ，则新抛物线的函数表达式为_______．
8．定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二
次函数 ．
(1)若﹣2是此函数的不动值，则m的值为______；
(2)若此函数有两个不动值a、b，且 ，则m的取值范围是______．
9．如图，已知抛物线 经过点 和点 ．解答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为 ，对称抽与 轴的交点为 ，求线段 的长；
(3)点 在抛物线上运动，是否存在点 使 的面积等于6？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，
说明理由．
10．下表给出了代数式 与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
… 3 m －1 0 n …
(1)利用表中所给数值求出a，b，c的值；
(2)直接写出：m＝___，n＝___；
(3)设 ，则当x取何值时， ．题组C 培优拔尖练
1．如图，已知抛物线 经过点 ，且顶点在直线 上，则 的值为( )
A． B． C． D．
2．如图，已知抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是( )
A．抛物线的对称轴为直线 B．若 ，则
C．y的最大值为1 D．若 轴交抛物线于点D，则
3．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围(
)
A． ≤a≤2 B． ≤a≤2 C． ≤a≤1 D． ≤a≤1
4．二次函数 的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；② 2a+b=0；③ a(x+1)
(x-3)=0；④ 2c-3b=0．其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，直线 与y轴交于点A，与直线 交于点B，若抛物线 的顶点在直
线 上移动，且与线段 、 都有公共点，则h的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．抛物线经过点 ，且与 轴交于点 ．若 ，则该抛物线解析式为( )
A． B． 或
C． D． 或
7．若二次函数 的图象经过点A(3，0)，与y轴交于点B，则a的值是______，若点P是该
抛物线对称轴上的一动点，且△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为_______．
8．已知抛物线 经过点 ．若点 在该抛物线上，且 ，则n的取值范围
为______．
9．如图，抛物线 (a＞0)交x轴于点A(﹣1，0)，B(3，0)，交y轴于点C，作直线BC．
(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；
(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，
求a的值．
10．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线 的图象过点(2，-1)及点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求
出P点坐标；若不存在，说明理由.
