文档内容
22.3 实际问题与二次函数
【基础训练】
一、单选题
1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 与水流时间 之间的解
析式为 ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出解析中h＝0时t的值即可得．
【详解】
在h＝30t−5t2中，令h＝0可得30t−5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0．
2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火
升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．10s
【答案】C
【分析】
将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．
【详解】
解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，
∴当t＝5时，礼炮升到最高点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．
3．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停
产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润 （万元）和月份 之间满足函数关系式 ，
则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】
求出 时n的所有的整数值即可得．
【详解】
由题意， ，且n为整数
企业停产时，利润
令 得
解得 或
结合 得，当 或 时，企业利润
因n为整数
则企业停产的月份为1月、2月和12月
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，正确列出所求的式子是解题关键．
4．向空中发射一枚炮弹，经过 秒后的高度为 米，且时间与高度的关系为 （ ），
若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】B
【分析】
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时 的值．
【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是： ， ∴炮弹所在高
度最高时： 时间是第10秒．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
5．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是
（ ）．
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【分析】
设AC=x，BC=12-x，根据题意表示出四边形的面积，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：设AC=x，BC=12-x，
则四边形ABCD的面积的面积为：
．
所以，当x=6时，四边形ABCD的面积最大，为18．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象，根据题意用含x的代数式表示出四边形ABCD的面积是解此题的基
础，掌握二次函数的图象是解此题的关键．
6．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒
个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角
形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段求出函数解析式即可确定其图象.
【详解】
解：①当0＜x≤4时，y= x2，
②当4＜x≤8时，y= ×4×4-2× ×（4- x）2= x2+4x-8，
③当x＞8时，y=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题中有关图形面积的函数图象，灵活的表示出图形的面积与动点运动时间的函数关系是
解题的关键.
7．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时
引爆，则引爆需要的时间为( )
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】B
【分析】
根据顶点式就可以直接求出结论；
【详解】
解：∵﹣1＜0，
∴当t=4s时，函数有最大值．即礼炮从升空到引爆需要的时间为4s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.
8．如图，点 为平行四边形 的边 上一动点，过点 作直线 垂直于 ，且直线 与平行四
边形 的另一边交于点 ．当点 从 匀速运动时，设点 的运动时间为 ， 的面
积为 ，能大致反映 与 函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不
变，可得后半段函数图象为一条线段．
【详解】
设∠A＝ ，点M运动的速度为a，则AM＝at，
当点N在AD上时，MN＝tan ×AM＝tan •at，
此时S＝ ×at×tan •at＝ tan ×a2t2，
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N在DC上时，MN长度不变，
此时S＝ ×at×MN＝ a×MN×t，
∴后半段函数图象为一条线段，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型
的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析
问题、解决问题的能力．
9．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y (x﹣
25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m．
A．12 B．25 C．13 D．14
【答案】A
【分析】
直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案．
【详解】
解：∵y (x﹣25)2+12，
顶点坐标为(25，12)，
∵ 0，
∴当x＝25时，y有最大值，最大值为12．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离
地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
A．2m B．4m C． m D． m
【答案】D
【分析】
根据长方形的长OA是12m，宽OC是4m，可得顶点的横坐标和点C的坐标，即可求出抛物线解析式，再
把y＝8代入解析式即可得结论．
【详解】
根据题意，得
OA=12，OC=4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣ = =6，∴b=2．
∵C（0，4），∴c=4，
所以抛物线解析式为：
y=﹣ x2+2x+4
=﹣ （x﹣6）2+10
当y=8时，8=﹣ （x﹣6）2+10，
解得：x=6+2 ，x=6﹣2 ．
1 2
则x﹣x=4 ．
1 2
所以两排灯的水平 距离最小是4 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
11．如图，抛物线 交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称
点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】
先求出点A坐标，利用对称可得点 横坐标，代入 可得纵坐标.
【详解】
解：令 得 ，即
解得
点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上
点的横坐标为1当 时，
所以点Aʹ的纵坐标为2.
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
12．如图（1）所示， 为矩形 的边 上一点，动点 , 同时从点 出发，点 沿折线
运动到点 时停止，点 沿 运动到点 时停止，它们运动的速度都是 秒，设 、
同时出发 秒时， 的面积为 .已知 与 的函数关系图象如图（2）（曲线 为抛物线的一
部分）则下列结论正确的是（ ）
图（1） 图（2）
A． B．当 是等边三角形时， 秒
C．当 时， 秒 D．当 的面积为 时， 的值是 或秒
【答案】D
【分析】
先根据图象信息求出AB、BE、BE、AE、ED，
A、直接求出比，
B、先判断出∠EBC≠60°，从而得出点P可能在ED上时，△PBQ是等边三角形，但必须是AD的中点，而
AE＞ED，所以点P不可能到AD中点的位置，故△PBQ不可能是等边三角形；
C、利用相似三角形性质列出方程解决，分两种情况讨论计算即可，
D、分点P在BE上和点P在CD上两种情况计算即可．【详解】
由图象可知，AD＝BC＝BE＝5，CD＝AB＝4，AE＝3，DE＝2，
A、∴AB：AD＝5：4，故A错误，
B、∵tan∠ABE＝ ，
∴∠ABE≠30°
∴∠PBQ≠60°，
∴点P在ED时，有可能△PBQ是等边三角形，
∵BE＝BC，
∴点P到点E时，点Q到点C，
∴点P在线段AD中点时，有可能△PBQ是等边三角形，
∵AE＞DE，
∴点P不可能到AD的中点，
∴△PBQ不可能是等边三角形，故B错误，
C、∵△ABE∽△QBP，
∴点E只有在CD上，且满足 ，
∴ ，
∴CP＝ ．
∴t＝（BE＋ED＋DQ）÷1＝5＋2＋（4− ）＝ ．
故C错误，
D、①如图（1）
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝5sin∠AEB＝ ，
∴sin∠CBE＝
∵BP＝t，
∴PG＝BPsin∠CBE＝ t，
∴S△BPQ＝ BQ×PG＝ ×t× t＝ t2＝4，
∴t＝− （舍）或t＝ ，
②当点P在CD上时，
S△BPQ＝ ×BC×PC＝ ×5×（5＋2＋4−t）＝ ×（11−t）＝4，
∴t＝ ，
∴当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是 或 秒，故D正确，
故选：D．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识．解题的
关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题
型．．
13．某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均
每年的增长率为x，关于代数式300（1+x）2下列说法正确的是（ ）
A．2007年已有的绿化面积 B．2008年增加的绿化面积
C．2008年已有的绿化面积 D．2007、2008年共增加的绿化面积
【答案】C【分析】
利用“增长后的量=增长前的量 （1+增长率）”，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，写出代数式
的实际意义即可.
【详解】
2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长
率为x，代数式 表示增长两年后的绿化面积，即：2008年已有的绿化面积
故选：C.
【点睛】
本题考查了代数式的意义问题，根据题意正确列出代数式是解题关键.
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t﹣ t2．在飞
机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（ ）s．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
【答案】A
【分析】
由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即
可得到结论．
【详解】
解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当y＝600﹣150＝450时，
即60t﹣ t2＝450，
解得：t＝10，t＝30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10＝10，
故选：A．【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程综合运用,关键在于解一元二次方程.
15．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，
沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），
BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，Q点分别在BC、CD上运动时，形成不同的三角形，分别用x表示即可.
【详解】
（1）当0≤x≤2时，
BQ＝2x
当2≤x≤4时，如下图由上可知
故选：B.
【点睛】
本题是双动点问题，解答时要注意讨论动点在临界两侧时形成的不同图形，并要根据图形列出函数关系式.
16．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度 （米）与旋转时间 （分）之间的关系可以近似地用二次
函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
/分 … 2. 66 3. 23 3. 46 …
/米 … 69. 16 69. 62 68. 46 …
A．8分 B．7分 C．6分 D．5分
【答案】C
【分析】
利用二次函数的性质，由题意可得最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此即可找到答案．
【详解】
解：由题意得，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．17．二次函数 图像的顶点坐标为( )
A．(0，-2) B．(-2，0) C．(0，2) D．(2，0)
【答案】A
【分析】
根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．
【详解】
解：抛物线y=x2-2是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（0，-2），
故选A．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为 ，对称轴为x=h．
18．如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为
．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（
）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】
由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】
解：由题意得：
，整理得： ，，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．
19．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料
玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈
利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】
根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，
当y＜0时，n=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人
的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
【答案】B
【分析】
设旅行团人数为 人，此时的营业额为 元，根据优惠规定可建立 与 之间的函数关系式，再利用二次
函数的性质即可得．
【详解】
解：设旅行团人数为 人，此时的营业额为 元，则 ，
由题意得： ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时， 取得最大值，即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
21．如图，在矩形 中， ，点E，F分别是 ， 上的点，且满足
．分别以 ， 为边向矩形内部构造正方形 和正方形 ，记阴
影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
【答案】A
【分析】
设AE=CF=x，根据题意表示出阴影部分的面积，再利用二次函数的性质求出最值．
【详解】
解：设AE=CF=x，
∵四边形AEMH和四边形CFNG是正方形，
∴BE=DG=5-x，BF=DH=7-x，NP=MQ=2x-5，NQ=2x-7，
则阴影部分的面积S=
=
∵0＜x≤5，
∴当x=4时，S最小，且为9．【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是得出图形中的线段长度，表示出阴影部分的面积
22．如图，矩形 中， ， ，抛物线 的顶点 在矩形
内部或其边上，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形 内部或其边上列出不等式求解即可．
【详解】
解：抛物线 的顶点坐标M为（m，-m＋1），
∵ ， ，
∴ ，∴-1≤m≤0，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质．
23．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与
水平距离x（米）之间的关系式为 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A． 米 B．8米 C．10米 D．2米
【答案】B
【分析】
小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线 ，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x
的值即可．
【详解】
解：当y＝0时，即 ＝0，
解得：x＝﹣2（舍去），x＝8，
1 2
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特
殊值列方程求解是解题关键．
24．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．64【答案】C
【分析】
首先根据矩形周长为16，设一条边长x，矩形面积为y，可表示出另一边长为8-x，再根据矩形面积=长×宽
列出函数解析式并配方即可得结论．
【详解】
解：∵矩形周长为16，
∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8-x，
∴y=（8-x）x=-x2+8x=-（x-4）2+16，
∴当x=4时，y有最大值是16．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是掌握矩形的面积公式=长×宽．
25．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为 ，若
此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】B
【分析】
先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值，即可得
出结论．
【详解】
解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是： ，
∴则在四个选项所列的时间中，炮弹所在高度最高的是第10秒．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是解题的关键．
26．某新型礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是 ．若这种礼炮在点火升空到
最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
函数 最高处引爆，则该点为抛物线的顶点，即可求解．
【详解】
解： ．
函数的对称轴为： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、
顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
27．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系
如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的
高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【分析】
由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t
﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
【详解】
解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝ ，
∴h＝ （t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝ （t﹣3）2+40，
解得t＝3± ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关
键．
28．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、
三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式
是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
【答案】B
【分析】
月平均增长率为x，可求三月份销售量5000（1+x）2，该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系
式是：y＝5000（1+x）2．【详解】
解：月平均增长率为x，
二月份销售量＝5000+5000x=5000(1+x),
三月份销售量5000(1+x)+ 5000(1+x)x=5000（1+x）2，
该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
故选择：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，掌握增长率问题中增加量=平均增长率×原销售量，抓住公式列函数式是解题关
键．
29．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时
间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）
A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣ ＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．
30．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 辆单车，计划第三个月投放单车 辆，
若第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么 与 的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据增长率问题，一般“增长后的量 增长前的量 （1+增长率）”找出等量关系列方程即可
【详解】
第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，
第三个月的增长率为
第一个月投放 辆单车，
第二个月投放 辆
第三个月投放量
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量
增长前的量 （1+增长率）”．
二、填空题
31．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高
度 （单位： ）与它距离喷头的水平距离 （单位： ）之间满足函数关系式 ，喷出
水珠的最大高度是______ ．
【答案】3
【分析】
把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】
解：∵ ，∴当x=1时， ，
故答案是：3．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
32．某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为
280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为___________
元．
【答案】39
【分析】
设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为x-20元，销售数量为280-（x-30）•10，根据公式利润=
（售价-进价）×销售数量．通过配方可求利润最大值．
【详解】
解：设销售单价为x元时，销售利润最大，
单价利润为（x-20）元，
销售数量为280-（x-30）•10，
∴利润总额为y=（x-20）•[280-（x-30）•10]，
化简得：y=-10x2+780x-11600，
配方得：y=-10(x-39)2+3610，
当单价为39元时，有最大利润3610元，
故答案为：39．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解本题的关键首先求列出函数关系式，再将方程配方，即可求最大值．
33．飞机着陆后滑行的距离 （单位： ）关于滑行的时间 （单位： ）的函数解析式是 ，
飞机着陆后滑行______米才能停下来．
【答案】600
【分析】
由题意可把函数解析式是 化为顶点式，然后问题可求解．
【详解】解：由函数解析式是 可化为 ，
∴当t=20时，滑行距离s最大，最大距离为600，
∴飞机着陆后滑行600米才能停下来；
故答案为600．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
34．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面
米，则水流下落点B离墙距离 是_____米．
【答案】3
【分析】
以地面，墙面所在直线为 轴， 轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令 ，
即可解答．
【详解】
解：地面，墙面所在直线为 轴， 轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式： ，
把点 代入抛物线解析式得：
，
抛物线解析式： ．
当 时， （舍去）， ．
m．
故答案为3．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．
35．如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，
则小球从飞出到落地所用时间为_____s．
【答案】7
【分析】
根据关系式，令h＝0，求得t的值可得飞行的时间．
【详解】
解：依题意，令h＝0得0＝35t﹣5t2，即t（35﹣5t）＝0，解得：t＝0（舍去）或t＝7，
即小球从飞出到落地所用的时间为7s．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的
高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题
36．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场
决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价
多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价
2.5元；（2）每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
【详解】
【分析】（1）设每件商品应降价x元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出关于x的方程，解之
可得答案；
（2）设每件商品应降价y元，获得利润为w，根据每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出w关于y的
函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每天要想获得510元的利润，则每件商品应降价x元，
由题意，得（40﹣30﹣x）（4× +48）＝510，
解得：x＝1.5，x＝2.5，
1 2
∵要有利于减少库存，
∴x＝2.5，
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；
（2）设每件商品应降价y元，获得利润为w元，
由题意得，
w＝（40﹣30﹣y）（4× +48）
＝﹣8y2+32y+480＝﹣8（y﹣2）2+512，
当y＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38，
答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
37．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元
时，每天可售出80瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶
（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为 （瓶）．
（1）求每天的销售量 （瓶）与销售单价 （元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1） （ ）；（2）当销售单价为19元时，每天的销售利润最大为360元
【分析】
（1）根据题意即可直接列出关于x、y的等式，整理即可得出每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之
间的函数关系式．
（2）设每天的销售利润为 元，根据利润=销量×（售价-成本）即可列出关于w与x的二次函数关系式，
再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】
解：（1）由题意得： ，
∴ ．
（2）设每天的销售利润为 元，则有
，
∵ ，
∴二次函数图象开口向下，
∴当 时， 有最大值，最大值为360元．
故当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．
38．某商店销售一种成本价为10元/件产品，已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不
高于16元/件.根据市场调查发现，该产品每天的销售量 （件）与销售价 （元/件）之间的函数关系如图所示.
（1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）如果商店每天获利104元，那么销售单价定为多少元？
（3）设商店每天销售这种产品可获利 元，当销售价定为多少时，每天销售的利润最大？最大利润是多
少？
【答案】（1） （ ）；（2）销售单价定为14元；（3）销售价定为16元时，每天
销售的利润最大，最大利润是144元
【分析】
（1）根据待定系数法即可求出解析式；
（2）根据题意列出一元二次方程，故可求解；
（3）根据题意得 ，根据二次函数的图象与性质即可求出最大利润．
【详解】
解：（1）依图象可知 是 的一次函数，可设
依题意得 ，解得：
∴ （ ）
（2）依题意得
整理得： ，解得： ，
∵ ∴ 不合题意，舍去，取
答：销售单价定为14元.（3）
∵ ，∴ 有最大值当 时， 随 的增大而增大
∵ ∴当 时， 最大
（元）
答：销售价定为16元时，每天销售的利润最大，最大利润是144元．
【点睛】
此题主要考查方程与函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图象与性质，根据题意
找到数量关系列出方程与函数求解．
39．2021年，科技创新工作将继续推进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的“新”与
“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络
销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改
进，该产品第 天的生产成本 （元/台）与 （天）之间的关系如图所示．
第 天该产品的生产量 （台）与 （天）满足关系式 ．
（1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润；
（2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元?
【答案】（1）第30天该乡镇企业生产该产品的利润为6000元；（2）第15天的利润最大，最大利润为
12500元
【详解】
解：（1）由图象可知，第30天时的成本为500元，
此时的产量为 （台），
则第30天的利润为： （元）．答：第30天该乡镇企业生产该产品的利润为6000元．．．．2分
（2）设线段 的式为 ，
把 ， 代入得，
，解得 ．
线段 的解析式为 ．
设第 天该网络销售平台的利润为 元．
①当 时，
．
，开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， ．
②当 时，
．
，
随 的增大而减小．
当 时， ．
．
．
答：第15天的利润最大，最大利润为12500元．
40．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，
市场调查发现，该产品每天的销售量 （件）与销售价 （元/件）满足一次函数关系，如图所示．（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？
（3）设每天的销售利润为 （元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）15元/件；（3）销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大
利润1750元
【分析】
（1）由图可知，一次函数的图象经过（20，100）和（30，80）两点，利用待定系数法可求得k、b的值；
（2）利用“（售价-进价）×销售数量=销售利润”可以解决售价问题；
（3）探究W与x之间的函数关系，利用函数解决W的最值问题即可．
【详解】
解：（1）设 ．
∵图象经过（20，100）和（30，80）两点，
∴ ，解得， ．
∴ ．
（2）由题意得， ．
解得， ．
∵ ，
∴ （不合题意，舍去）．
∴若想要每天获得550元的利润，销售价应该定为15元/件．（3） ．
∴W是关于x的二次函数．
∵ ，抛物线开口向下，
∴当x<40时，y随x的增大而增大．
又∵ ，
∴当 时， =1750．
∴当销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元．
【点睛】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质和应用等知识点．熟知待定系数法的流程是基
础，掌握二次函数的性质是求最值的关键．
41．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠
给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查
发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分
数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，试问：当x为多少时，线上和
线下月利润总和达到最大？
【答案】（1）y＝﹣100x+2400；（2）当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大．
【分析】
（1）设y＝kx+b（k≠0），然后由表格可进行求解；
（2）设线上和线下月利润总和为W元，则由题意易得W＝﹣100（x﹣19）2+7300，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b（k≠0），
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：
，解得： ，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）设线上和线下月利润总和为W元，
则W＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）
＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
42．如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C两点的
直线为y＝kx+4．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）若将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P使得S ＝ S ，若存在，
AOP ABC
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝ x2+3x+4；（2）存在，点P的坐标为（﹣3， ）或（﹣3 ，﹣ ）或（﹣3﹣
，﹣ ）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L'，得到抛物线L'的表达式y＝﹣ x2﹣3x﹣4，设点P的坐标为（x，﹣ x2﹣3x﹣4），由S ＝ ×AO×|﹣ x2﹣3x﹣4|＝ ×4×|﹣ x2﹣3x﹣4|＝ S ，即
△AOP △ABC
可求解．
【详解】
解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4k+4，解得k＝1，
故一次函数的表达式为y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，故点C的坐标为（0，4），
∵点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，则点B的坐标为（﹣2，0），
设抛物线L的表达式为y＝a（x+2）（x+4）＝a（x2+6x+8）＝ax2+6ax+8a，
故8a＝4，解得a＝ ，
故抛物线的表达式为y＝ x2+3x+4；
（2）存在，理由：
将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L'，则该抛物线的表达式为y＝﹣ x2﹣3x﹣4；
设点P的坐标为（x，﹣ x2﹣3x﹣4），
由点AB的坐标知，AB＝2，
则S ＝ ×AB•CO＝ ×2×4＝4，
△ABC
则S ＝ ×AO×|﹣ x2﹣3x﹣4|＝ ×4×|﹣ x2﹣3x﹣4|＝ S ＝1，
△AOP △ABC
解得：x＝﹣3或﹣3+ 或﹣3﹣ ，
故点P的坐标为（﹣3， ）或（﹣3 ，﹣ ）或（﹣3﹣ ，﹣ ）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算、图形的翻折等，有一定的综合性，
难度适中．
43．如图， 船位于 船正东 处．现在 ， 两船同时出发， 船以 的速度朝正北方向行
驶， 船以 的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？【答案】出发3小时后相距最近，最近距离是40km
【分析】
利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值即可．
【详解】
解：设 时两船相距为 km，则 km， ，
由题意可知
，
故当 时，即 时两船相距最近，
km，
答：两船出发3小时后相距最近，最近距离是40km．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌
握配方法求二次函数最值得应用，难度中等．
44．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 （秒）时该足球距离地面的高度 （米）适用公式
．
（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？（2）若存在两个不相等的实数 ，能使足球距离地面的高度都为 （米），求 的取值范围．
【答案】（1）2秒，20米；（2）0≤m＜20
【分析】
（1）根据抛物线的顶点式即可得；
（2）根据h的最大值即可得．
【详解】
解：（1）∵h=20t-5t2=-5（t-2）2+20，
∴t=2时，h最大，最大值为20m，
答：经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米；
（2）由（1）知足球的最大高度为20米，
∴0≤m＜20．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
45．某商店以每件30元的价格购进一批商品，现以单价50元销售，每月可售出400件，经市场调查发现：
每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件．设每件商品销售单价上涨了x元．
（1）若销售单价上涨了3元，则该商品每月销售量为______件；
（2）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）370；（2） ；（3）当销售单价定为60元时，每月销售该商品的利
润最大，最大利润为9000．
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意易得销售量为 件，然后根据“销售利润=单个利润×销售量”可进行求解；
（3）由（2）及根据二次函数的性质可直接进行求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
当销售单价上涨了3元，则该商品每月销售量为400-10×3=370（件）；
故答案为370；
（2）设每件商品销售单价上涨了x元，由题意得：，
∴每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式为
；
（3）由（2）可得：y与x的函数关系式为 ，配成顶点式为：
，
∴ ，开口向下，
∴当x=10时，y有最大值，即为 ，
∴销售单价定为50+10=60元；
答：当销售单价定为60元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为9000．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
46．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价
x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大
日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2
倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利
润是1500元，求a的值．
【答案】（1）y＝－x＋120；（2）1600元；（3）a=70．
【分析】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，利用待定系数法解题；
（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，利用总利润=单利 销售量列函数关系式，化为顶点解
析式，根据二次函数的增减性解题即可；（3）当w ＝1500时，解得x的值，再由x的取值范围分两种情况讨论①a＜80或②a≥80时，根据二次
最大
函数的增减性解题即可．
【详解】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得： ，解得
，
故y与x的关系式为y＝－x＋120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x－20）y＝（x－20）（－x＋120） ＝－（x－70）2＋2500，
∵x－20≥0，－x＋120≥0，x－20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵－1＜0，故抛物线开口向下，故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）
当w ＝1500时， ＝1500，解得x＝70，x＝90，
最大 1 2
∵x－2×20≥0，∴x≥40，又∵x≤a，∴40≤x≤a．
∴有两种情况，①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w ＝1500，
最大
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w ＝1600≠1500，
最大
∴这种情况不成立，综上所述，a＝70．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
47．为深入贯彻落实“四不摘”政策，切实把服务人民群众的宗旨落到实处，某县引导某易地移民搬迁安
置点开办惠民生活超市，方便安置点群众生活．该超市以160元/千克的进价新进一批茶叶，经调查发现，
在一段时间内，销售单价w（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系如图所示，设利润为y（元）．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）当商店的销售量x为多少千克时，获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）w＝﹣2x+240；（2）80千克时，最大利润是3200元．
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式即可得函数取得最大值时x的值，
此时对应的y值即为最大利润．
【详解】
解：（1）设w＝kx+b，由图象可将点（40，160）、（120，0）代入得：
，
解得： ，
∴w＝﹣2x+240；
（2）由题意得：
y＝（x﹣40）（﹣2x+240）
＝﹣2（x﹣80）2+3200，∴当x＝80时，利润达到最大，y ＝3200．
max
答：当商店的销售量x为80千克时，获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
48．红星公司加大技术创新，研发出一种新产品，对新产品的生产和销售进行了规划．从2021年1月开始
生产并销售该种产品，该种产品的生产成本为6万元/件，设第x（ ，且x为整数）月份该种产品
的售价为y万元/件，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）第x月份生产并销售的产品数量为z件， （ ，且x为整数）．该公司在第几月份
所获的月利润最大？最大月利润为多少万元？
【答案】（1） （其中 为整数）；（2）该企业在第10月份所获的月利润最
大，最大月利润为98万元
【分析】
依题意：（1）通过图像可知：当 时，为平行于x轴的线；当 时，满足一次函数形式，
即可；
（2）设第x月的月利润为w万元，分两种情况：当 和当 ，分别求解进行比较，即可；
【详解】
由题知：（1）当 时，为平行于x轴的线，∴ ；当 时，满足一次函数形式，设为： ；
将点 和 代入，可得 ，得： ， ；
∴y与x的函数解析式为： ；
（2）设第x月的月利润为w万元，分两种情况：
①当 时， ．
∵w随x的增大而增大，∴当 时， （万元）．
②当 时，
当 时， （万元）．
综上所述，该企业在第10月份所获的月利润最大，最大月利润为98万元．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的性质，关键在理解限定范围内求二次函数最大值；
49．今年是扶贫攻坚的决胜年，某银行特批90万元无息贷款帮助一扶贫车间生产并销售一种土特产，已知
该土特产的生产加工成本为40元/袋，每月还需支付其它费用共30万元，该土特产每月的销售量y（万
袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系为y＝﹣ x+5．假设该土特产每月的产量＝销售量．
（1）求每月销售利润w（万元）与销售单价x之间的函数关系式（不要求写x的取值范围）；
（2）若该车间只用销售这种土特产的利润偿还贷款，至少需要几个月能还清？
【答案】（1） ；（2）6个月．
【分析】（1）根据利润=（单价-成本） 销售量-其他费用写出关系式即可；
（2）根据二次函数的性质，算出每月最大利润再计算即可．
【详解】
解：（1）由题： ，
；
（2）由（1） ，
当 时， 有最大值，
（万元），即每月最多还15万元，
则至少要 个月才能还清．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用；理清题意，建立正确的关系式是解决本题的关键．
50．某药店购进一批消毒液，进价为20元/瓶，要求利润率不低于 ，且不高于 ．该店通过分析
销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系．
2 2
售价x（元/瓶） … 24 26 …
5 7
3 2
销售量y（瓶） … 32 28 …
0 6
（1）若某天这种消毒液的售价为30元/瓶，求当天该消毒液的销售量．
（2）如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为多少元？
（3）若客户在购买消毒液时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20元，则当消毒液的
售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？
【答案】（1） ；（2）28元或32元；（3）24，768．【分析】
（1）分别解得当利润不低于 时的售价范围，当利润不超过 时的售价范围，再设销售量y（瓶）
与当天的售价x（元/瓶）的一次函数关系，利用待定系数法解得解析式，计算当 时的函数值即可解
题；
（2）设利润为 元，根据利润=单利 销售量，结合因式分解法解一元二次方程即可解题；
（3）将（2）中的总利润配方成顶点式解析式，再结合二次函数自变量的取值范围解题即可．
【详解】
解：（1）设消毒液售价为 元/瓶，进价为 元/瓶，当利润不低于 时，售价不低于
（元/瓶），
当利润不超过 时，售价不高于，
（元/瓶），
的取值范围为：
设一次函数表达式：
分别把 和 代入 可得，
解得
当 时，
当天该消毒液的销售量 瓶．
（2）设利润为 元，根据题意得，整理得
或
答：当天该消毒液的售价为28元或32元．
（3）总利润
时，函数值最大，此时
（元）
答：当消毒液的售价定为24元时，可获得的日利润最大，最大日利润是768元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程等知识，是重要
考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
51．小明和小丽先后从 地出发沿同一直道去 地．设小丽出发第 时，小丽、小明离 地的距离分
别为 、 ． 与 之间的函数表达式是 与 之间的函数表达式是
．
（1）小丽出发时，小明离 地的距离为多少 ．
（2）小丽出发至小明到达 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少 ？
【答案】（1）小明离A地的距离为250m；（2）小丽出发4分钟时，两人相距最近，最近距离为90m．
【分析】
（1）由题意可令 ，然后分别代入 、 的解析式进行求解即可；
（2）设两人相距sm，则根据题意可得 ，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴当 时， ， ，
∴A、B两地的距离为2250m，
∴2250-2000=250m，
答：小丽出发时，小明离A地的距离为250m
（2）设小丽出发第 时，两人相距sm，由题意得：
，
∵ ，开口向上，
∴当 时，s有最小值为90，
答：小丽出发4分钟时，两人相距最近，最近距离为90m．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
52．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．
其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于
墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这
个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）x＝12；（2）垂直于墙的一边长为7.5米时这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5平
方米；（3） ．【分析】
（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，然后进行求解即可；
（2）设苗圃面积为ycm2，由题意可得y＝（30﹣2x）x，然后根据二次函数的最值问题可进行求解；
（3）由题意得这个苗圃园的面积不小于100平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，然后由（1）可知6≤x
＜15，可进行求解．
【详解】
解：（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，
解得：x＝3，x＝12，
1 2
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃面积为ycm2，
∴y＝（30﹣2x）x
＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由题意得30﹣2x≥8，解得x≤11，
又30﹣2x≤18，解得x≥6；
∴6≤x≤11，
∴当x＝7.5时，y ＝112.5；
最大
（3）∵这个苗圃园的面积不小于100平方米，
即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，
∴5≤x≤10，
由（1）可知6≤x＜15，
∴x的取值范围为 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键．53．如图，某学生推铅球，铅球出手(点A处)的高度是 ，出手后的铅球沿一段抛物线
运行，量得铅球落地点C与学生的水平距离OC= ．
（1）求抛物线的解析式(注明x的取值范围)；
（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？
【答案】（1） ；（2）铅球运行中，最高是3米，此时铅球与学生水平
距离4米
【分析】
（1）把A(0， )，C(10，0)代入待定解析式 ，然后进行求解即可；
（2）由（1）及二次函数的最值问题可求解．
【详解】
解：(1)把A(0， )，C(10，0)代入待定解析式 ，得：
，
解得： ，∴ ；
(2)当 =4时， =3；
答：铅球运行中，最高是3米，此时铅球与学生水平距离4米．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
54．如图，正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上一动点，点 ， 同时从点
出发，以每秒 的速度分别向点 ， 运动，当点 与点 重合时，运动停止，设运动时间为 ，
运动过程中 的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围．
【答案】
【分析】
△AEF的面积=正方形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△ECF的面积，分别表示正方形ABCD
的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积代入即可．
【详解】
解：设运动时间为 ，
点 ， 同时从点 出发，以每秒 的速度分别向点 ， 运动，
， ， ， ，
的面积 正方形 的面积 的面积 的面积 的面积，即：
【点睛】
此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、
△ECF的面积．
55．如图，要利用一面墙（墙长为 ）建羊圈，用 的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的
一边 长为 ，总面积为 ．
（1）在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）请问能否围成总面积为 的羊圈，若能，请求出 的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y=-3x2+30x，10＜x≤15；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）根据长方形的面积公式可得关系式，再根据墙长15米得到不等式，得到x的范围；
（2）根据题意列出方程，根据方程的解判断结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：
y=x（30-3x）=-3x2+30x，
又0＜30-3x≤15，
解得：5≤x＜10；
（2）当y=81时，-3x2+30x=81，
则3x2-30x+81=0，
△=302-4×3×81=-72＜0，
则方程无解，∴不能围成总面积为81m2的羊圈．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用能力及一元二次方程的应用的知识，根据题意找到长方形的长BC是解题的
关键．
56．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，
足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）满足：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）
的关系．
（1）当t＝3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
（3）若存在实数t 和t（t≠t），当t＝t 或t 时，足球距离地面的高度都是m（米），求m的范围．
1 2 1 2 1 2
【答案】（1）当t＝3时，足球距离地面的高度为15米；（2）2+ 或2﹣ ；（3）0≤m＜20．
【分析】
（1）将 代入解析式计算即可；
（2）根据 可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（3）由题意可以方程 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可求得m的取值范围.
【详解】
解：（1）当 时， （米）,
∴当 时，足球距离地面的高度为15米；
（2）∵ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
故经过 或 时，足球距离地面的高度为10米；
（3）∵ ，由题意得t，t 是方程 的两个不相等的实数根，
1 2∴ ，
∴ ，
故m的取值范围是 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，根据题意得到相应的方程将实际
问题转化为方程问题是解题的关键.
57．某公司分别在 ， 两城生产同种产品，共100件． 城生产产品的总成本 （万元）与产品数量
（件）之间具有函数关系 ， 城生产产品的每件成本为70万．当 ， 两城生产这批产品
的总成本的和最少时，求：
（1） ， 两城各生产多少件？
（2）从 城把该产品运往 ， 两地的费用分别为 万元/件和3万元/件；从 城把该产品运往 ，
两地的费用分别为1万元/件和2万元/件， 地需要90件， 地需要10件，求 ， 两城总运费之和
的最小值（用含有 的式子表示）．
【答案】（1） 城生产20件， 城生产80件；（2）当 时， ， 两城总运费之和 的最小
值为 万元；当 时， ， 两城总运费的和的最小值为 万元．
【分析】
（1）设 ， 两城生产这批产品的总成本的和为 ，则根据题意得 ，然后由二
次函数的性质可求解W的最小值，进而问题可求解；
（2）设从 城运往 地的产品数量为 件， ， 两城总运费的和为 ，则从 城运往 地的产品数量
为 件，从 城运往 地的产品数量为 件，从 城运往 地的产品数量为 件，由题意得 ，然后可得 ，进而根据一次函数的性质分①当 时，
在 内，②当 时，在 内，最后分类求解即可．
【详解】
解：（1）设 ， 两城生产这批产品的总成本的和为 ，
则 ，
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值，最小值为6600万元，
此时 ，
答： 城生产20件， 城生产80件．
（2）设从 城运往 地的产品数量为 件， ， 两城总运费的和为 ，则从 城运往 地的产品数量
为 件，从 城运往 地的产品数量为 件，从 城运往 地的产品数量为 件，
由题意得： ，解得 ，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当 时，在 内， 随 的增大而减小，则 时， 取得最小值，最小值为
；
②当 时，在 内， 随 的增大而增大，则 时， 取得最小值，最小值为
；
答：当 时， ， 两城总运费之和 的最小值为 万元；当 时， ， 两城总
运费的和的最小值为 万元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
58．如图，从某建筑物2.25米高的窗口 处用向外抛出篮球，篮球的运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平
面与墙面垂直），如果抛物线的最高点 离墙1米，离地面3米．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求篮球落地点 离墙的距离 的长度．
（3）当从 处向外抛出篮球时，若存在篮球离墙的距离 ，当 或 时，篮球距离地
面的高度都为 （米），求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）OB=3米；（3）
【分析】
（1）由题意易得点 ，顶点 ，然后可设抛物线解析式为 ，然后代入点
A求解即可；
（2）由（1）可当y=0时进行求解即可；
（3）根据二次函数的对称性可得点A的对称点坐标为 ，要使当 或 时，篮球距离地面的
高度都为 （米），那么 是对称点，故问题可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：点 ，顶点 ，则设抛物线解析式为 ，
把点A代入得： ，解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
（2）由（1）得：抛物线解析式为 ，
∴当y=0时，则有 ，
解得： （不符合题意，舍去）
∴OB=3米；
（3）由（1）可得抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点A关于对称轴对称的点的坐标为 ，
∵当 或 时，篮球距离地面的高度都为 米，
∴ ，即这两个点关于对称轴对称，
∵ ，
∴m的取值范围为 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
59．学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为
9m．
（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB的长；
（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？【答案】（1）5m；（2）当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【分析】
（1）设AD=xm，则有 ，由题意得 ，然后结合墙长为9m可求解问题；
（2）设生物园的面积为 ，AD=xm，则有 ，由（1）可得： ，即
，进而可得 ，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】
解：（1）设AD=xm，则有 ，由题意可得：
，
解得： ，
∵墙长为9m，
∴AB的长不超过9m，
∴ ，
∴AB=5m；
答：生物园一边AB的长为5m．
（2）设生物园的面积为 ，AD=xm，则有 ，由（1）可得：
，即 ，
∴ ，对称轴为直线 ，
∵墙长为9m，
∴ 且 ，∴ ，
∴当 时，S取最大值，
∴AD=4m，AB=8m，
答：当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
60．某商品的进价为每台20元，当售价为每台30元时，每月可卖出180台，该商品每台售价x元与月销
量y台的函数关系如图所示，已知该商场计划涨价销售，但每件售价不高于35元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）销售单价定为34 元时，该商场每天的销售利润最
大，最大利润为1960元．
【分析】
（1）设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，根据函数的图像，用待定系数法可以求得一次函数的解析式，
（2）商场每天的销售利润为W，则W=每件商品的利润×月销售量，列出W与x的二次函数解析式式，可得二次函数的最值．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为： ，由图象可得：
，解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为： ；
（2）设该商场每天的销售利润为W，则
，
∴当 时，W的值最大， （元）.
答：销售单价定为34 元时，该商场每天的销售利润最大，最大利润为1960元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，得到月销售量是解决本题的突破点，注意结合自变量的取值求得相应的售价.
