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专题02 椭圆的焦点弦，中点弦，弦长问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．过椭圆 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 两点，则 等于（ ）
A．4 B．2
C．1 D．4
2．直线 ，当k变化时，此直线被椭圆 截得的弦长的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．不能确定
3．若椭圆 的弦 的中点为 ，则弦 的长为（ ）
A． B．
C． D．
4．椭圆 内有一点 ，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ．倾斜角为 的直线与 交于 两点，
并且满足 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
6．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，若 ，
且 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两点（其
中点 在点 的左侧），记 面积为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 时，
C． 的最大值为 D．当 时，点 的横坐标为
8．已知A，B两点的坐标分别为 ， ，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜
率之积是 ．斜率为l的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则 的面积的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 两点．若 的中
点坐标为 ，则（ ）A．直线 的方程为 B．
C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的离心率为
10．已知椭圆 内一点 ，上、下焦点分别为 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，
且 为线段 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为 ， B．椭圆 的长轴长为
C．直线 的方程为 D． 的周长为
11．已知椭圆E： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，上顶点为P，若过 且
倾斜角为 的直线l交椭圆E于A，B两点， 的周长为8，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4
C． D．四边形 的面积为
12．已知椭圆 ，点 为右焦点，直线 与椭圆交于 两点，直线 与椭圆交于
另一点 ，则（ ）
A． 周长为定值 B．直线 与 的斜率乘积为定值
C．线段 的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．过椭圆 的左焦点且斜率为 的弦 的长是 ．
14．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ､ ，P为椭圆上一点（异于左右顶
点）， 的内切圆半径为r，若r的最大值为 ，则椭圆的离心率为 .
15．已知直线 与椭圆 在第二象限交于 两点，且 与 轴、 轴分别交于 两点，若， ，则 的方程为 ．
16．椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，离心率为 ，直线
将 分成面积相等的两部分，则 的取值范围是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线与椭圆 交于 两点，求 的最大值.
18．已知椭圆M： ，圆N： ，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为 ．
(1)求直线l方程及椭圆M的焦距．
(2)直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求 ．
19．已知椭圆C： 的焦距为 ，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 ，E为直线 上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：.
20．已知椭圆 ： 的一个端点为 ，且离心率为 ，过椭圆左顶点 的直线 与
椭圆 交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，过原点 且与直线 平行的直线 交椭圆于点 ， ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求证： 为定值．
21．已知椭圆： 的一个焦点为 ，椭圆上的点到 的最大距离为3，最小距离为1．
(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆左右顶点为 ，在 上有一动点 ，连接 分别和椭圆交于 两点， 与
的面积分别为 ．是否存在点 ，使得 ，若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知椭圆 的离心率为 ，点 ， 为 的左、右焦点，经过 且垂直于椭圆
长轴的弦长为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于A，B两点， 与直线 交于点 ，若
，且点 满足 ，求线段 的最小值.
