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第 08 课 一元二次方程章末复习
课程标准
(1)梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
(2)能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根
与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
(3)列一元二次方程解决实际问题.
(4)进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想(即降次)的理解与运用.
知识点01 一元二次方程相关概念
①含有 个未知数
a 一元二次方程的概念 ②最高次为 次
③ 方程
b 一元二次方程一般形式
c 一元二次方程如何验根 将x的值代入方程
①
②
d 一元二次方程的解法
③
④
①
e 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x,x，求根公式
1 2
②
①
f 根与系数的关系是：
②
g 判别一个一元二次方程是否有实根 当 时，方程有 的实数根;
当 时，
方程有 的实数根;
当 时，
方程 .
h 列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步 审、设、列、解、验、答
知识点02 一元二次方程的相关应用
【1】握手(送礼)问题
解题技巧：有2种类型
①握手问题，设有x个人，两人之间握一次手，则一共的握次数为 ；
①送礼问题，设有x个人，任意两人之间互相送一个礼物，则一共的送礼次数为 ；
【2】传染问题
解题技巧：有2种类型
(1)个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过
程中，平均一人传染的人数。
传播轮次 传播前人数 传染人数 传播后总人数
1
2
3
发现规律：传播人数：b=a ，与增长率问题公式一致。
(1+p) n
【3】平均增长率问题
解题技巧：设a为增长(下降)基础数量，b为增长(下降)后的数量，n为增长(下降)的次数，p为增长(下
降)率。
增长(下
增长(下降)前数量 增长(下降)量 增长(下降)后数量
降)次数
1
2
3
发现规律：①增长时：b=a ；
(1+p) n
②减少时：b=a
(1-p) n
注：①本章考察一元二次方程，通常增长(下降)次数n为2；②通常设增长(下降)率为x；
③例求解得x=0.1，则表示增长(下降)10%。
【4】图形问题
类型 图形 面积表示
如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为
1、内挖类型
x,则阴影的面积可表示为 .
如图所示的阴影部分矩形的长为a,宽为b,空白部分宽
2、外扩类型
均为x,则矩形ABCD的面积可表示为 .
如图所示矩形的长为a,宽为b,在矩形中挖四条等宽的
3、开路问题 小路，路宽均为x,则剩余部分(绿色阴影)面积可表示
为 .
①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形
BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为
；
②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
中间还有一道篱笆EF，篱笆总长为a，设垂直于墙面
4、围栏问题
的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，
矩形ABCD的面积为 ；
③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a，设垂直于墙
面的边CD长为x，则矩形BC边的长为
，矩形ABCD的面积为 ；考法 01 一元二次方程相关概念与解法
1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( )
A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5
2．若 是方程 的一个根，则a的值为( )
A．-1 B．0 C．11 D．2
3．已知方程 有一个根是 ( )，则下列代数式的值恒为1的是( )
A． B． C． D．
4．已知x为实数，且满足(x2+3x)2+2(x2+3x)﹣3=0，则x2+3x的值为( )
A．-3或1 B．-3 C．1 D．不能确定
5．方程 化成一般形式为_____________，二次项系数是_____________，一次项系数
是_____________，常数项是_____________．
6．解方程：
(1)x2﹣4x﹣5＝0；
(2)3x2﹣1＝2x+2
7．解方程
(1)x2﹣4x＝0；
(2)4x2﹣25＝0；
(3)2x(x﹣3)+x＝3．
8．解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ；
(7) ； (8) ．
9．求下列方程两个根的和与积：(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
10．解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6)
．
11．填空：
(1) +______=(x+________)2；
(2) +______=(x-________)2；
(3) +______=(x+________)2；
(4) +______=(x-________)2．
12．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
13．若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ．
考法02 一元二次方程的实际应用
14．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是________．
15．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个
数是78，则n的值是_____．
16．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚
好等于这个两位数，求这个两位数．
17．一个矩形的长和宽相差 ，面积是 ．求这个矩形的长和宽．18．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．
19．如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 长的篱笆，怎样围成一个面积为 的矩形场地？
20．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个
球队参加比赛？
21．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为 ，表面积为 ，画出这个长方体的展开图．
22．一个直角梯形的下底比上底长 ，高比上底短 ，面积是 ．画出这个梯形．
23．如图，要设计一本书的封面，封面长 ，宽 ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，
如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设
计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
24．一个直角三角形的两条直角边的和是 ，面积是 ．求两条直角边的长．
25．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．
26．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总
数是91，每个支干长出多少小分支？
27．一个菱形两条对角线长的和是 ，面积是 ．求菱形的周长．
28．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？29．青山村种的水稻2010年平均每公顷产 ，2012年平均每公顷产 ．求水稻每公顷产量的年
平均增长率．
30．要为一幅长 ，宽 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片
面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位)？
31．如图，线段 的长为1．
(1)线段 上的点C满足关系式 ，求线段 的长度；
(2)线段 上的点D满足关系式 ，求线段 的长度；
(3)线段 上的点E满足关系式 ，求线段 的长度．上面各小题的结果反映了什么规律？
32．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出
500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
(2)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
