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第 05 课 根与系数的关系
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知识精讲
课程标准
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能力．
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
【注意】
(1)利用一元二次方程的根与系数的关系进一步讨论根的符号
设一元二次方程 ( a≠0)的两根为 ,则
两个正数根
两个负数根
两根异号且正根的绝对值较大
两根异号且负根的绝对值较大
(2)利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意
①一元二次方程必须有两个实数根(△≥0).
② 中的负号与方程中a ,b 的符号不要混淆.能力拓展
考法01 已知一个根,利用根与系数的关系求另一个根
【例题1】已知关于x的方程 有一个根是 ,求另一个根.
【方法总结】
已知一元二次方程的一个根,求另一个根的方法
(1)方法1(利用根与系数的关系):当方程的二次项系数、一次项系数已知,常数项未知时,利用两根的和求另一
个根;当方程的二次项系数、常数项已知,一次项系数未知时,利用两根的积求另一个根.
(2)方法2(利用根的定义):先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项,再解方程求另一个根.
考法02 利用根与系数的关系求某些代数式的值
【例题2】若方程 的两根为 ，则 = ；
【方法总结】
巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值
第一步：算
计算出 的值
第二步：变
将所求的代数式变形为用 表示的式子
第三步：代 代入所求的代数式计算
考法03 利用根与系数的关系确定待定字母的值
【例题3】已知关于x的一元二次方程 有两个不等实根 .
(1)求实数k的取值范围;
(2)若方程两实根 满足 ，求k的值.
【方法总结】
利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数时,千万不要忘记将系数代回验证△≥0,因为根与系数的关
系是在一元二次方程中△≥0的前提下使用的.考法04 已知两数的和与积,构造一元二次方程解决问题
【例题4】已知两个数的和是8,积为15,求这两个数.
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x，x，则x2+x2的值是( )
1 2 1 2
A． B．- C．- D．
2．设 是一元二次方程 的两根，则 _______________________．
3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则 的值为_______．
4．若x，x 是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则xx 的值是_____，x+x 的值是_____．
1 2 1 2 1 2
5．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求实数 的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
6．如果一元二次方程 的两实数根分别为 ， ，不解方程，求下列代数式的值．
(1) ； ．
7．已知关于 的方程
(1) 取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？
(2)若方程的两个实数根为 ， ，且 ，试求 的值．
题组B 能力提升练
1．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
2．已知 是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且 ，则a=_________.
3．一元二次方程 的两根为 和 ，则 ________．
4．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是_____．
5．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)请判断该方程实数根的情况；
(2)若原方程的两实数根为 ， ，且满足 ，求p的值．
6．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0(a≠0)，当△≥0时，设两根为x，x，则两根与系数的关系为：
1 2
x+x＝ ；x•x＝ ．
1 2 1 2
应用：(1)方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x，x，则x+x＝ ，x•x＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)若关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2＝0的有两个实数根x，x，求m的取值范围；
1 2
(3)在(2)的条件下，若满足|x|＝x，求实数m的值．
1 2
7．已知关于x的方程 ．
(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
(2)是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，
请说明理由．
8．关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ．
求 的取值范围．
若 ，试说明此方程有两个负根．
在 的条件下，若 ，求 的值．
9．已知x、x 是方程x2－4x＋2＝0的两根，求：
1 2
(1) ＋ ；
(2)(x －x)2的值．
1 2题组C 培优拔尖练
1．已知实数 ， 满足条件 ， ，则 ________．
2．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则 ＝_____．
3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若x+2x=3，求|x﹣x|的值．
1 2 1 2
