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第 04 课 因式分解法
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课程标准
(1)会用因式分解法解一元二次方程.
(2)能选用合适的方法解一元二次方程.
知识精讲
知识点01 因式分解法
因式分解法解一元二次方程
将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这
根据
两个一次式分别等于0,即 ，则 ；
实质 将一元二次方程转化为两个一元一次方程
1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点
(1)方程一边为 ；
(2)另一边易于分解成两个 乘积的形式.
【注意】
(1)因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.
(2)用因式分解法解一元二次方程时,一定要把方程的右边化为0,否则会出现错误.
(3)用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时 含有未知数的式子,这样容易造成丢根现象.
2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法
(1)提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.
(2)逆用平方差公式 和完全平方公式 来分解因式.
3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
步骤 示例： 解释
1、移
2、分
3、化4、解
知识点02 简单的十字相乘法
①化简下列整式乘法：
【总结】
那么对于二次三项式 =
②化简下列整式乘法：
【总结】
那么对于二次三项式 =
③化简下列整式乘法：
【总结】
那么对于二次三项式 =
那么对于二次三项式 =
【注意】
简单的十字相乘法，必须要让一元二次方程的a= .
知识点03 灵活选用合适的方法解一元二次方程
方法 特点 举例解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为
直接开方法
的形式,则宜选用直
接开平方法求解
解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一
配方法 元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可
以推出求根公式
解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一
公式法
元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程
解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另
因式分解法 一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式
分解法求解
【注意】
一元二次方程的解法选择
1.选择顺序: → → .
2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用 .
3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用 .
4.若方程二次项系数为1,一次项系数为偶数,可用 .
5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法.
能力拓展
考法01 因式分解法
【例题1】方程 x(x+5)=0 的根是( )
A．x=5 B．x=﹣5 C．x=0，x=5 D．x=0，x=﹣5
1 2 1 2
【即学即练1】三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x(x﹣4)﹣2(x﹣4)=0的解，则这个三角形周长
为( )
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
【即学即练2】一元二次方程 的根是( )
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
【即学即练3】解方程 ，最简便的方法是( )
A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法
【即学即练4】用因式分解法解下列方程：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
考法02 十字相乘法
【例题2】关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为( )
A．x=﹣1，x=3 B．x=1，x=﹣3 C．x=1，x=3 D．x=﹣1，x=﹣3
1 2 1 2 1 2 1 2
【即学即练1】已知等腰三角形两边长分别是方程 的两个根，则三角形周长为( )
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【即学即练2】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两根，则该等腰三角形的底
边长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2或4
考法03 选择适当方法解一元二次方程
【例题3】选择适当方法解下列方程
(1)(3x﹣1)2＝(x﹣1)2
(2)3x(x﹣1)＝2﹣2x
【即学即练1】用适当的方法解下列方程
(1)x2＋10x＋21＝0
(2)4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9
考法04 整体代换
【例题4】若 ，求 的值．
【即学即练1】解方程：(x2+x)2+(x2+x)＝6．
分层提分题组A 基础过关练
1．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
2．若关于x的一元二次方程 有一个根是0，那么m的值为( )
A．2 B．3 C．3或2 D．
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A．12 B．9 C．13 D．12或9
4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周
长为( )
A．16 B．24 C．16或24 D．48
5．一元二次方程 的两根为 、 ，那么二次三项式 可分解为( )
A． B． C． D．
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为(
)
A．(x+5)(x﹣6) B．(x﹣5)(x+6) C．(x+5)(x+6) D．(x﹣5)(x﹣6)
7．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是________．
8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．
9．解下列方程
(1) (用配方法)
(2) (因式分解法)
(3) (公式法)
(4) (直接开平方法)
10．解下列一元二次方程：
(1)5x﹣2=(2﹣5x)(3x+4)(2)4(x+3)2=25(x﹣2)2
11．已知关于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0，
(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.
题组B 能力提升练
1．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次
项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是( )
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
2．如图，在一次函数 的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的
面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有()
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知 ，则 等于( )
A． 或 B．6或1 C． 或1 D．2或3
4．方程 的解是( )
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
5．已知2是关于x的方程x2﹣(5+m)x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条
边长，则△ABC的周长为( )
A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或15
6．已知 ，则 的值是_____________．
7．解方程： .题组C 培优拔尖练
1．阅读理解：对于x3﹣(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣(n2+1)x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x(x2﹣n2)﹣(x﹣n)＝x(x﹣n)(x+n)﹣(x﹣n)＝(x﹣n)(x2+nx﹣1)．
理解运用：如果x3﹣(n2+1)x+n＝0，那么(x﹣n)(x2+nx﹣1)＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣(n2+1)x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
2．已知 ， ， ，求值 ．
3．已知 ， ， 为有理数，且多项式 能够写成 的形式．
(1)求 的值．
(2)求 的值．
(3)若 ， ， 为整数，且 ，试求 ， ， 的值．
4．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
6．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
