文档内容
22.2 函数的表示（第 1 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的图象，学习用描点法画函数的图象，初步讨论
函数的变化规律和变化趋势。
2. 内容分析
本节课是函数表示方法的核心课时，在学生掌握函数概念、解析式表示法的基础上，重点学习函数的
图象表示法和描点法画函数图象，是“数”与“形”结合的关键教学内容。函数图象能直观、形象地反映
变量间的对应关系和变化规律，描点法是绘制函数图象的基本方法，其操作步骤蕴含着“具体→抽象”
“数→形”的数学思想。本节课的学习承接了解析式法表示函数的知识，又为后续学习一次函数、反比例
函数的图象与性质奠定操作和认知基础，同时让学生初步体会数形结合思想，实现从用数学式子刻画函数
到用图形刻画函数的转化。从知识逻辑来看，解析式、列表、图象是函数的三种表示方法，图象法是对前
两种方法的直观拓展，符合学生“由数到形”的认知规律。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会用描点法画出函数图象。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）会用描点法画出函数图象，能说出画函数图象的步骤。
（2）会判断一个点是否在函数的图象上。
（3）能初步通过分析图象中变量的对应关系、变化规律和变化趋势，体会数形结合思想，发展几何
直观。
2. 目标解析
（1）学生能理解函数图象的定义，明确函数图象上的点与自变量、函数值的一一对应关系，能准确
说出描点法画函数图象的列表、描点、连线三步核心步骤，能独立用描点法画出一次函数、简单反比例函
数和二次函数的图象，掌握画图的基本规范和注意事项。
（2）学生能掌握判断一个点是否在函数图象上的方法，即把点的横坐标代入函数解析式，验证计算
出的函数值是否等于纵坐标，能快速准确判断点与函数图象的位置关系。
（3）学生能通过观察函数图象，初步分析变量间的变化规律，体会数形结合思想，发展几何直观和
图象分析能力，能结合图象解决简单的函数问题。
三、教学问题诊断分析
存在问题：1. 学生在使用描点法画函数图象时，存在列表取值不合理、描点位置不准确、连线不规范等问题，
导致画出的图象不能准确反映函数特征。
2. 学生在分析函数图象的变化规律时，容易忽略自变量的取值范围，对图象的趋势判断不准确，尤
其是在非一次函数的图象分析中，难以把握整体变化特征。
应对策略：
1. 针对描点法的操作问题，通过示范教学规范画图步骤，强调列表时自变量要均匀取值、兼顾正负
（若有），描点时要找准坐标，连线时要按横坐标由小到大用平滑曲线连接；同时设计画图纠错练习，让
学生发现并改正画图中的常见错误。
2. 在分析图象变化规律时，引导学生结合自变量取值范围，沿着横坐标从左到右的方向观察图象的升
降趋势，通过标注关键点，帮助学生准确判断函数的变化规律。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：会用描点法画出函数图象。
四、教学过程设计
（一）复习引入
由上一节我们知道，用解析式可以表示函数与自变量之间的关系，例如路程与时间的关系；用图和表
格也可以表示函数与自变量之间的关系，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期限的关系．表示函
数时，要根据具体情况选择合适的方法.
设计意图：通过回顾函数的三种表示方法（解析式、图象、表格），唤醒学生的知识储备，让学生明
确本节课的研究重点是函数的图象表示法，实现知识的自然衔接。
（二）合作探究
问题 正方形的面积S与边长x的函数解析式为 S = x 2 .根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围
是 x >0 .对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观.
追问1 如何画出函数S=x2的图象呢？
追问2 自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点(x，S)呢?①列表
追问 为什么此处要写省略号？
②描点；
③连线.
注意
1.用空心圆圈表示不在曲线上的点.
2.用平滑曲线连接画出的点.
3.表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的
位置.
归纳 函数的图象的概念
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面
内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种画函数图象的方法称为描点法．
设计意图：以学生熟悉的正方形面积与边长的函数关系为载体，通过层层追问引导学生自主探究画函
数图象的方法，符合学生的认知起点。从确定解析式和自变量取值范围，到列表、描点、连线，逐步拆解
画图步骤，让学生经历“数→形”的转化过程。结合画图过程给出函数图象和描点法的定义，让学生在具
体操作中理解概念，而非机械记忆；同时强调画图的注意事项，规范学生的操作行为，突破描点法画图的
操作难点。
（三）典例分析
例1 在下列式子中，y是x的函数.画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
(1)y=x+0.5； (2)y= 3 (x>0)
x
解：（1）从式子y=x+0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，x的取值范围是全体实数.从
x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表.
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大.3
解：（2）y= (x>0)中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应
x
值，列表.
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点.
3
从函数y= (x>0)的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小.
x
归纳 用描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数
值对应的各点；
第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
设计意图：选取两个典型例题，涵盖直线和曲线两种不同类型的函数图象，让学生掌握不同函数的描
点法画图技巧。通过规范的解题示范，再次强化描点法“列表、描点、连线”的三步法，同时引导学生观
察图象的变化规律，体会“从左到右看图象，升降判断变化趋势”的分析方法，培养学生的图象分析能力，
进一步规范画图步骤，突出教学重点，同时初步渗透数形结合思想。（四）巩固练习
1.(1)画出函数y=2x−1的图象；
(2)判断点A（−2.5，−4），B（1，3），C（2.5，4）是否在函数y=2x−1的图象上.
解：(1)列表：
描点，连线：
(2)当x=−2.5时，y=2×(−2.5)−1=−6≠−4，当x=1时，y=2×1−1=1≠3，当x=2.5时，y=2×2.5−1=4，
∴点A，B不在函数y=2x−1的图象上，点C在函数y=2x−1的图象上.
2.(1)画出函数y=x2+1的图象；
(2)观察函数y=x2+1的图象，当x<0时，y随x的增大而增大还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？
解：(1)列表：
描点，连线：
(2)当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
3．以下四点中，在函数y=−3x+2图象上的点是（ B ）
A．(−1,1) B．(−1,5) C．(2,0) D．(0,−2)4．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（ A
）
x −1 0 1 2
y 3 2 −2 −6
A．(−1,3) B．(0,2) C．(1,−2) D．(2,−6)
分析：
设计意图：设计分层、多类型的练习，涵盖描点法画图、点与函数图象的位置判断、图象变化规律分
析、画图纠错等题型，兼顾基础巩固和能力提升。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2023年浙江绍兴）已知点M(−4,a−2),N(−2,a),P(2,a)在同一个函数图象上，则这个函数图
象可能是（ B ）A． B． C． D．
2．（2022年浙江舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象
如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
(2)数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
(3)数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出
此港口？
解：（1）①②当x=4时，y=200；当y的值最大时，x=21．
（2）答案不唯一．
①当2⩽ x⩽7时，y随x的增大而增大；
②当x=14时，y有最小值80．
（3）根据图象可得：当5
