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第 20 课 垂径定理
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课程标准
(1)理解圆的对称性；
(2)掌握垂径定理及其推论；
(3)学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．
知识精讲
知识点01 垂径定理
1．垂径定理
垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 .
2．推论
平分弦(不是直径)的直径 ，并且平分弦所对的 .
【注意】
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点02 垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4） .
【注意】
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能
是直径)
能力拓展
考法01 应用垂径定理进行计算与证明
【典例1】如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为 ，水面宽
为 ，则水的最大深度 为( )
A． B． C． D．
【即学即练】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘
了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面
上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦
AB所在直线的距离是( )
A．(4﹣ )米 B．2米 C．3米 D．(4+ )米
【典例2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
(1)求证：AC＝BD；
(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：
2，求AB的长．考法02 垂径定理的综合应用
【典例3】如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为 ，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离 为
3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差(即 )为0.5米．则秋千链子的长 为( )
A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D． 米
【即学即练】工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上
表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于( )mm．
A．4 B．6 C．7 D．8
【典例4】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
(1)求 所在圆的半径r的长；
(2)当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采
取紧急措施？并说明理由．
【即学即练】如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与
∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
(1)求证:AP = AO；(2)若弦AB = 24，求OP的长．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为( )
A．3 B． C．6 D．
2．如图， 为 的直径， 为 的弦， 为优弧 的中点， ，垂足为 ， ，
，则 的半径为( )
A． B． C． D．
3．小明想知道一块扇形铁片 中的 的拱高(弧的中点到弦的距离)是多少？但他没有任何测量工具，
聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由 的正方形瓷砖密铺而成(接缝忽略不计)．他将扇形 按如图方
式摆放，点 恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作， 的拱高约是( )
A． B． C． D．
4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是( )A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
5．下列语句中不正确的有( )
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确
定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深
的地方高度为2cm，则该输水管的半径为( )
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
7．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________．
8．如图，⊙O的直径AB的长是20，弦CD⊥AB，垂足为点E， CD=16，则CE=____，BE=_____．
9．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．10．如图所示，已知 为⊙ 的直径， 是弦，且 于点 ，连接AC、OC、BC．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求⊙ 的直径．
题组B 能力提升练
1．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为( )
A．2m B．4m C．6m D．8m
2．如图， 的半径为 ， ，经过点 的 的最短弦的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知：如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB和小圆交于点C，D，大圆的半径是13，
， ，则OC的长是( )
A． B． C． D．8
4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是()A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．
5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大
小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，
不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺(10寸)，问圆材直径几寸？则该问题
中圆的直径为( )
A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
6．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距
离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 的长度为( )
A．8mm B．6mm C．10mm D．0.9mm
7．如图，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为20cm，最短的弦长为16cm，则
OM=_______cm．
8．如图，点O是半圆的圆心，D是以AB为直径的半圆上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE，经过
C，E的直线分别与半圆弧交于F，G．已知CE=6，则FG的长为______．9．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，
EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．
10．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足： ，AD交OC于点E．已知OE＝
3，EC＝2
(1)求弦AD的长；
(2)请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
题组C 培优拔尖练
1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，
小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
2．如图， 的弦 垂直于 ， 为垂足， ， ，且 ，则圆心 到 的距离是
( )
A．2 B． C． D．3．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O
点逆时针旋转90°得矩形 ，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是( )
A． B． C． D．
4．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝( )
A． B．4 C． D．5
5．如图，AC是 的直径，弦 于E，连接BC，过点O作 于F，若 ， ，
则OE的长为( )
A．3 B．4 C． D．5
6．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O内有折线ABCO，点A、B在圆上，点C在⊙O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则
BC的长为_____.8．如图， 在⊙O中，AB是⊙O的直径， ，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小
值是_____________．
9．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．
10．已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作 交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于
F．若AC＝2，
(1)求OF的长；
(2)连接BE，若BE= ，求半径OA的长．
