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第 23 课 切线长定理
课程标准
(1)了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
(2)掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
知识点01 切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理
经过半径的 并且 的直线是圆的切线.
2．切线的判定方法
(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆 ，二是直线与过交点的半径 ，缺一不可.
3．切线的性质定理
圆的切线 .
4．切线的性质
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
知识点02 切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线， 的长，叫做这点到圆的切线长.
【注意】
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分 .
【注意】
切线长定理包含两个结论： 相等和 相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的 相等.
知识点03 三角形的内切圆1．三角形的内切圆：
与三角形各边的圆 叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的内心.
【注意】
(1) 任何一个三角形都 内切圆，但任意一个圆都有 个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，
即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外
接圆的圆心)
内心(三角形内
切圆的圆心)
考法01 切线长定理
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝
10，CD＝4，则BE的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【即学即练】如图， 的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，已知 的周长为
36． ， ，则AF的长为( )A．4 B．5 C．9 D．13
【典例2】如图，P为⊙ 外的一点，PA，PB分别切⊙ 于点A，B，CD切⊙ 于点E，且分别交PA，PB
于点C，D，若 ，则 的周长为( )
A．5 B．7 C．8 D．10
【即学即练】如图，PA，PB切⊙O 于点A，B，PA＝20，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则
△PCD 的周长是( )
A．20 B．36 C．40 D．44
考法02 三角形的内切圆
【典例3】如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝
75°，则∠EDF的度数是( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
【即学即练】如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC＝( )
A．100° B．110° C．115° D．120°
【典例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交
AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为( )A．点F为△ABC的外心 B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上 D．点E为AC中点
【即学即练】如图，在△ABC中，
(1)作AB和BC的垂直平分线交于点O；
(2)以点O为圆心，OA长为半径作圆；
(3)⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；
(4)连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
① ＝2 ；②AB＝2AM；③点P是△ABC的内心；④∠MON＋2∠MPN＝360°．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考法03 与相切有关的计算与证明
【典例5】如图，P是 的直径 的延长线上一点， ，则当 ( )时，直线 是 的
切线．
A． B． C． D．
【即学即练】如图， 内接于 ，过A点作直线 ，当 ( )时，直线 与 相切．
A．∠B B． C． D．
【典例6】如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，下列说法不正确的是( )A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线
C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则
【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )
A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB
的长是( )
A． B． C．5 D．5
2．下列直线是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心的距离大于半径的直线 D．到圆心的距离小于半径的直线
3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若
∠CBD=32°，则∠BEC的度数为( )
A．128° B．126° C．122° D．120°4．下列命题：①平⾏四边形是中⼼对称图形，也是轴对称图形；②直径是最长的弦，半径是最短的弦；
③过切点的直线是圆的切线；④三角形的外⼼是三条边垂直平分线的交点；⑤三角形的内⼼是三条内角平
分线的交点；其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．已知AD＝3，BC＝6，则AB＋CD的值是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．
8．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分
别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并
延长交CB的延长线于点E．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
(2)若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
10．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点
D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．
题组B 能力提升练
1．下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的
切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有(
)
A． 个 B． 个 C． 个 D．0个
2．如图， 是 的切线， 是切点，若 ，则 ( )
A． B． C． D．都不对
3．如图： 切 于 ， 切 于 ， 交 于 ，下列结论中错误的是( )
A． B． C． D． 是 的中点
4．小明同学用一把直尺和一个直角三角板(有一个锐角为60°)测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和
光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB＝3，则此光盘的直径为(
)
A．3 B． C． D．
5．如图，在 中，点 为 的内心，点 在 边上，且 ，若 ， ，
则 的度数为( )A．111° B．130° C．172° D．170°
6．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为
圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是
( )
A． B．
C． 一定经过△ABC的内心 D．AD一定经过△ABC的外心
7．如图， 中， ，它的周长为16．若 与 三边分别切于E，F，D点，
则DF的长为____________
8．如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，
则阴影部分的周长是 _____．
9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是 AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
10．已知 ， ， 分别与 相切于 ， ， 三点， ， ．(Ⅰ)如图1，求 的长；
(Ⅱ)如图2，当 ， 时，连接 ， ，求 ， 的长．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB是 的直径，PA与 相切于点A， 交 于点C．若 ，则 的度数
为( )
A． B． C． D．
2．如图，AB为 的直径，延长AB到点P，过点P作 的切线PC，PD，切点分别为C，D，连接CD
交AP于点M，连接BD，AD．若 ， ，则AD的长为( )
A． B． C．2 D．
3．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的
长度为( )
A．2 B．3 C． D．
4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、
D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )A．8 B．12 C．16 D．20
5．如图，若等边△ABC的内切圆 的半径是2，则△ABC的面积是( )
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点
E，使DE＝DC，连接BE．对于下列结论：
①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③ ＝ ；④BE为⊙O的切线，
其中一定正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
7．如图， 为 的直径， 、 为 上的点，连接 、 、 、 ， 为 延长线上一点，
连接 ，且 ， ．若 的半径为 ，则点 到 的距离为________．
8．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O的半径为
2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____．9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，
连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BE，求BE的长．
10．如图，PA、PB、CD是 的切线，点A、B、E为切点．
(1)如果 的周长为10，求PA的长；
(2)如果 ，
①求 ；
②连AE，BE，求 ．
