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23.1 图形的旋转
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 后所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 得到菱形 ， ．当AC平分 时，
与 满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．3．如图，在 中， 于点E．以点B为中心，取旋转角等于 ，把 顺时针旋
转，得到 ，连接 ．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将△ABC绕点P顺时针旋转得到
，则点P的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
5．如图，在 中， ， ．将 绕点 逆时针方向旋转 ，得到，连接 ．则线段 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分
别为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形 ．当 时，下列针对
值的说法正确的是（ ）A． 或 B． 或 C． D．
8．如图，直角坐标系中，点G的坐标为（2，0），点F是y轴上任意动点，FG绕点F逆时针旋转90°得
FH，则动点H总在下列哪条直线上（ ）
A． B． C． D．
9．将抛物线C ：y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，得到抛物线C ，将抛物线C 绕其顶点旋转180°得
1 2 2
到抛物线C ，则抛物线C 与y轴的交点坐标是（ ）
3 3
A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（0，﹣2） D．（0，2）
10．如图，在 中， ， ， ，将 沿射线 的方向平移，得到
，再将 绕点 逆时针旋转一定角度后，点 恰好与点 重合，则平移的距离为（ ）A．4 B．2 C．1 D．3
11．如图， 的顶点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，且 ，将 先绕 顺
时针旋转 ，再向左平移2个单位，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在 中， ，将 绕点 按顺时针方向旋转一定角度得到
，点 恰好落在边 上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．把一副三角板如图放置，其中 ， ， ，斜边
，若将三角板 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，则点 在 的
（ ）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能
14．如图，在平面直角坐标系 中，点 、 分别在 轴、 轴上， ．先将线段 沿
轴翻折得到线段 ，再将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．若点 的坐标为
，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
15．在平面直角坐标系中， 的两边是 ， ，将 绕点 逆时针旋转90°得
到 ，则旋转后的 的坐标为（ ）
A．（3，4） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（4，-3）
16．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O逆时针旋转105°至OABC 的位置，
1 1 1
若OA＝2，∠C＝120°，则点B 的坐标为（ ）
1A．（﹣3， ） B．（3， ） C．（﹣ ， ） D．（ ，﹣ ）
17．如图，在 ABC中，∠CAB＝70°，将 ABC绕点A逆时针旋转到 的位置，使得 ∥AB，
则 的度数是（ ）
A．70° B．35° C．40° D．50°
18．在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，连接 ，将线段 绕原点 按逆时针方向旋转
90°，得到对应线段 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转得到 ，
使点 落在边AB上，连接 ．则下列结论一定正确的是（ ）A． B． C． D．
20．二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点 ．将二次函数
的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
21．如图，在正方形 内作 ， 交 于点E， 交 于点F，连接 ．将
绕点A顺时针旋转 得到 ．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把 AOB绕点B逆时针
旋转90°后得到 AOB，则点A 的坐标是（ ）
1 1 1
A．(2，4) B．(4，2) C．(-2，4) D．(-4，2)
23．如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点O逆时针旋转 后得到正方形 ，依此方
式，绕点O连续旋转2021次得到正方形 ，如果点A的坐标为 ，那么点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，将 纸片绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，将△ADC绕点A逆时针旋转90°得△AEF，点D，C分别对
应点E，F，连接CF．若∠BAC＝62°，则∠CFE等于（ ）
A．14° B．15° C．16° D．17°
26．如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是正方形，点 ，点 是 中点，将
以 为旋转中心逆时针旋转 后，再将得到的三角形平移，使点 与点 重合，写出此时点
的对应点的坐标（ ）A． B． C． D．
27．如图，在 中， ， 轴，已知点C的纵坐标是6，将 绕点A旋转至
，使C恰好落在y轴的负半轴E点处．若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标（
）
A． B． C． D．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到
Rt△AB'C'，使点C'落在AB上，连接BB'，则BB'的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2 cm D．4 cm
29．如图，在 中， ， ， ， 绕点 顺时针旋转得到
，当点 落在 边上时，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 的长是（ ）A． B． C．3 D．
30．如图， ABC、 BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 ．将 BDE绕点
△
B逆时针方向旋转后得 ，当点E'恰好落在线段 上时，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
31．如图，Rt△BAC，∠ACB=30°，∠BAC=90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B
与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：
（1）这个旋转角=______°；
（2）此时， ______．32．如图，在正方形 中，E，F分别是边 上的点， 的周长为8，则正
方形 的边长为________．
33．平面直角坐标系中的点 绕原点顺时针旋转90度得点 ，则 的值等于
________．
34．如图，PA＝ ，PB＝ ，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当
∠APB变化时，则PD的最大值为_________．
35．如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为 ，将 绕点 逆时针旋转到 的位置，
使点 的对应点 落在直线 上，再将 绕点 逆时针旋转到 的位置，使点
的对应点 也落在直线 上，以此进行下去……若点 的坐标为 ，则点 的纵坐标为
______．三、解答题
36．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是线段BC上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°
得到线段PE．连接DE，直线DE交BC于F．
（1）若BP＝1，求PE的长；
（2）设BP＝x，四边形APED的面积为S，试求S与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，四边形APED的面积S最小，并求出最小值．
37．如图， 在平面内绕点B逆时针旋转 得到 ．已知 ，连接DE
（1）求证：
（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
38．如图，点E为正方形 外一点， ，将 绕A点逆时针方向旋转 得到的延长线交 于H点．
（1）试判定四边形 的形状，并说明理由；
（2）已知 ，求 的长．
39．已知：在 中， ， ，点 为 边中点.点 为线段 上的一个动
点（不与点 ，点 重合），连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）如图1，若点 在线段 上，求 的度数；
（2）如图2，若点 在线段 上，试探究线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论．
40．在等腰三角形ABC中， ， ．点P是 内一动点，连接AP，
BP，将△APB绕点 逆时针旋转 ，使 边与 重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交
于点 （点 与点D不重合）．
（1）依题意补全图 和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为 ；（2）探究 与∠APM的数量关系为 ；
（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是 △ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
42．如图，在 中， ， ，E为 边上一点，连结 ，将点E绕点A逆时
针旋转 至点D，连结 ， ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
43．（1）操作发现：如图1， 是等边三角形 的角平分线， ， ．则 与
的数量关系是______， ____．（2）问题探究：将图1中的 绕点 逆时针旋转到 ，点 落在点 的位置，如图2所示，请
你探究 与 的数量关系．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若等边 的边长为2，当 时，直接写出 值．
44．如图，将等腰 绕顶点 逆时针方向旋转 度到 的位置， 与 相交于点
与 分别交于点 ．
（1）求证； ．
（2）当 度时，判定四边形 的形状并说明理由．
45．如图，在 和 中， ，
绕点 旋转．（1）如图1，若连接 、 ，求证： ；
（2）如图2，若连接 、 ，取 中点 ，连接 ，试探究 与 的数量关系和位置关系，
并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当 旋转到如图3的位置时，点 落在 延长线上，若
，请直接写出线段 的长．
46．如图所示，点 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，若将 绕点
逆时针旋转后，得到 ．
（1）求 的长；
（2） 的度数．
47．将 绕点 逆时针旋转一个角度 得到 ，点 ， 的对应点分别为 、 ．
（1）若 ，如图1，连接 ，试判断 的形状，并给以证明；
（2）若点 恰好落在 边上，如图2，且点 ， ， 在同一条直线上， ，求旋转角 的度数．
48．在正方形 中，点 在射线 上（不与点 、 重合），连接 ， ，将 绕点 逆
时针旋转90°得到 ，连接 ．
（1）如图1，点 在 边上．
①依题意补全图1；
②若 ， ，求 的长；
（2）如图2，点 在 边的延长线上，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系．
49．如图，在 中， ，点D、E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD
绕点C按顺时针方向旋转 后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；
（2）若 ，求证： ．
50．如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD
之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此
得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ．
拓展延伸：
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图
中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．
51．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直
角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将 BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应
点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 填（△“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于
E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求 BCM周长的最小值．
△52．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得
△A'BO′．点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α．
（1）如图①，若α＝90°，求AA'的长；
（2）如图②．若α＝45°，求点O'的坐标；
（3）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的
取值范围（直接写出结果即可）．
53．如图，Rt△ 中， ， ，△ 绕点 顺时针旋转 ，得到△ ，
（1）求证： 垂直平分 ；
（2） 是 中点，连接 ， ，若 ，求四边形 的面积．
54．如图，在 中，点 是 边上的中点．（1）画出 关于点 的中心对称图形（ ）；
（2）若 ， ，根据所作图形直接写出线段 长的取值范围．
55．如图，等腰三角形 中， ， ．作 于点 ，将线段 绕着点 顺
时针旋转角 后得到线段 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）延长线段 ，交线段 于点 ．求 的度数（用含有 的式子表示） ．
56．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求
∠ADC的度数．
57．如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 得到
，连接 ，（1） ，连接 ，则 的长是 ．
（2）求证：
（3）连接 ，求 的长．
58．如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转90°得到 ，连接 ，
，延长 交 于点F，过点C作 交 于点P．
（1）求证： ．
（2）求证： ．
59．如图，在四边形 中， ， ， ，E是BC边上一动点，
连结AE，将AE绕点A逆时针旋转135°到AF，连结EF与AD交于点G，连结DE，DF，设BE的长为x．
（1）求证： ．
（2）若 的面积为y，求y关于x的函数表达式，并求y的最大值．
（3）当 是等腰三角形时，求x的值．60．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣ ，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是 时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣ ），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P
不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为 时，直接写出a
的值．
