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第 15 课 二次函数章末复习
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课程标准
(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
(2)会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
(3)会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问
题；
(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
知识精讲
知识点01 二次函数的定义
一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数。
【注意】如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。这里，当a=0时就不是二次函数
了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点02 二次函数的图象与性质
1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ，
其中 ；⑤ .(以上式子a≠0)
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
( 轴) (0，0)
( 轴) (0， )
当 时
开口向上 ( ，0)
当 时
( ， )
开口向下
( )
2．抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点。(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的
开口大小、形状相同.
(2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
3．抛物线 y ax2 bxc(a≠0)中，a,b,c的作用：
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，
故：① 时，对称轴为 轴；② (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧；③ (即 、 异
号)时，对称轴在 轴右侧.
(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：
① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
4．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式： (a≠0).已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式： (a≠0).已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成 的图象
平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：
(a≠0).(由此得根与系数的关系： ).
y ax2 bxc
【注意】求抛物线 (a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，
这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点03 二次函数与一元二次方程的关系
函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一元二次
方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方
程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
方程有两个相等实数解
方程有两个不等实数解 方程没有实数解
的解
【注意】二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根。
知识点04 利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、
内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意
自变量的取值范围应具有实际意义。
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
【注意】常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、桥梁、抛物线的模型问题等.
解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
能力拓展
考法01 求二次函数的解析式
【典例1】已知二次函数 经过点 ，且函数最大值为4，则a的值为( )
A． B． C． D．【即学即练】已知二次函数的图像过点 ，图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，图像向上平移3
个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为( ).
A． B． C． D．
【典例2】如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于A， 两点 ，则该抛
物线的解析式是____．
【即学即练】已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 …
y … …
则该二次函数解析的一般式为___．
考法02 根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
【典例3】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞﹣ c；③2c＜
3b；④(k+1)(ak+a+b)≤a+b，其中正确的是( )
A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【即学即练】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞
0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若点(﹣0.5，y)，(﹣2，y)均在抛物线上，则y＞y；其中正确的
1 2 1 2
个数有( )
A．2 B．3 C．4 D．5【典例4】如图，二次函数 的图象经过A(1，0)，B(5，0)，以下结论：① ②
③ ④图象的对称轴是直线 ，正确的是_________
【即学即练】已知平面直角坐标系中，抛物线 (a，b，c是常数， )经过点 和
，当 时， ．有下列结论：
①抛物线开口向上；
②关于x的方程 有两个不相等的实数根；
③当 时，y随x的增大而减小；
④ ．
其中正确结论的序号是_____________．
考法03 函数与一元二次方程
【典例5】小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求
得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为( )(精确到0.1)
A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3
【即学即练】二次函数 的部分图像如图所示，可知方程 的所有解的积为( )
A．－4 B．4 C．5 D．－5
【典例6】二次函数 的图象与 轴的交点坐标为________．【即学即练】已知二次函数 ，过 ， ，假设 ，则 ， 的大
小关系是______．
考法04 二次函数与实际问题
【典例7】如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度为192米，高度也为192米，
若取拱形门地面上两点的连线作x轴，可用函数 表示，则a的值为( )
A． B． C． D．
【即学即练】如图，在 中， ， ， ， ，垂足为点 ，动
点 从点 出发沿 方向以 的速度匀速运动到点 ，同时动点 从点 出发沿射线 方向以
的速度匀速运动．当点 停止运动时，点 也随之停止，连接 ，设运动时间为 ， 的面
积为 ，则下列图象能大致反映 与 之间函数关系的是( )
A． B． C． D．
【典例8】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建
立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______．
【即学即练】小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x分钟时，小丽、小明离B地
的距离分别为 米、 米，y 与x之间的函数表达式是 ＝﹣180x+2250， 与x之间的函数表达式是
1
＝﹣10 ﹣100x+2000．小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人之间的最近距离为 ___米．分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是( )
A．y＝4x+2 B． C． D．y＝
2．把抛物线 向上平移 个单位，向右平移 个单位，得到( )
A． B． C． D．
3．二次函数 中， 的取值范围是( )
A． B． C． D．一切实数
4．对二次函数y＝x2﹣2x的图像性质描述，正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．对称轴右侧图像呈下降趋势
5．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度
GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是( )
A．y＝2.4(1+2x) B．y＝2.4(1-x)2
C．y＝2.4(1+x)2 D．y＝2.4+2.4(1+x)+2.4(1+x)2
6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 与水流时间 之间的解析
式为 ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是( )
A． B． C． D．
7．若 是关于 的二次函数，则 的值为____．
8．如图所示，抛物线 与 轴的两个交点分别为A和 ，当 时， _________．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，与x轴交于点A、B(点A
在点B左侧)．(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
10．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克
成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如
下表所示，
销售单价x(元/千克) 56 65 75
销售量y(千克) 128 110 90
解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
(3)物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范
围．
题组B 能力提升练
1．已知函数 的图像与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k<4 B．k≤4 C．k<4，且k≠3 D． k≤4且k≠3
2．已知y=(m+2) +2是关于x的二次函数，那么m的值为( )
A．-2 B．2 C．±2 D．0
3．已知抛物线 过A(－2， )，B(－3， )，C(2， )三点，则y、y、y 大小关系是( )
1 2 3
A． B． C． D．
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是
，那么小球的高度和小球的运动时间的图象是( )
A． B． C． D．
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，
3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③﹣1≤a≤ ；④3≤n≤4中，其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|(a≠0，b2﹣4ac＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了
“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示)，下列结论错误的是( )
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 B．当﹣13时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0 D．当x＝1时，函数的最大值是4
7．若抛物线 的对称轴是直线x=4，则m的值为__．
8．把二次函数 的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的解析式为
，则 ______．
9．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列
问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？(保留根号)
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？(保留根号)
10．如图，已知二次函数的图象经过点 、 和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点
P作x轴的垂线，垂足为 ，并与直线OA交于点C．(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当 时，探索是否存在点P，使得 为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请
说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．已知二次函数 ， ，则下列结论一定正确的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所
示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是 ；
②小球运动的时间为 ；
③小球抛出3秒时，速度为0：
④当 时，小球的高度 ．
其中正确的是( )
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点的坐标为(﹣1，0)，其部分图像如图
所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x＝﹣1，x＝3；④当y＞0时，x的
1 2
取值范围是﹣1＜x＜3．其中结论错误的是( )
A．① B．② C．③ D．④4．满足 的所有实数对 ，使 取最小值，此最小值为( )
A． B． C． D．
5．若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A(﹣1，n)、B(5，n﹣1)C(6，n＋1)、D( ，y)、
1
E(2，y)、F(4，y)，则y、y、y 的大小关系是( )
2 3 1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2
6．若点( ，0)在抛物线 上，则 等于( )
A． B． C． D．
7．已知抛物线y＝ax(x﹣2m)(a≠0，m≠0)的顶点在正比例函数y＝2x图象上，若﹣2≤m≤3，则a的取值范围
是___．
8．如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在 的边
BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知 厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y
平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．(不要求写出定义域)
9．某超市计划共进货50件饮料，其中 款饮料成本为每件20元；当 款饮料进货10件时，成本为每件
48元，且每多进货1件，平均每件 款饮料成本降低2元．为保证饮料的多样性，规定 款饮料必须进货
至少20件，设进货 款饮料 件．
(1)根据信息填表：
饮料种类 进货量(件) 每件进货成本(元)
________ 20
________
(2)设总成本为W元，写出W关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(3)为了增加盈利，降低进货成本，该超市如何进货才能使得进货总成本最低，最低成本是多少元．
10．已知二次函数 (m为常数)
(1)当m=2时
①求函数顶点坐标，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
②若点 和 在其图象上，且 时，则实数t的取值范围是 ．
(2)记二次函数 的图象为G．
①当图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2时，求m的取值范围．②已知矩形ABCD的对称中心为(0，1)，点A的坐标为(-3，3)．记图象G在矩形ABCD内部(包含边界)的
最高点P的纵坐标为p，最低点的纵坐标为q，当p-q=4时，直接写出m的取值范围．
