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分课时教学设计
第五课时《22.3实际问题与二次函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 二次函数的应用本身是学习二次图数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决
实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析
确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而
最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之
一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题与最大利润学生易于理解和接
受。目的在于让学生通过掌握求面积，利润最大这一类题，学会用建模的思想去解
决其他和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延
伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
学习者分析 对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想
已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但
在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了
弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决
实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
教学目标 1)会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．
2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值
等实际问题．
教学重点 综合运用二次函数的图象及性质解决实际生活中的问题.
教学难点 将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、 教师提出问题，学生回答
对称轴和顶点坐标。
（1）y=6x2+12x
解：（1）y=6（x+1）2-6，抛物线的开口向上，
（2）y=-4x2+8x-10
对称轴为x=-1，顶点坐标是（-1，-6）。
（2）y=-4（x-1）2-6，抛物线的开口向下，对称轴为
x=1，顶点坐标是（1，-6）。
以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函
数有最小值？说出两个函数的最大值、最小
值分别是多少？
学生思考并回答
函数y=6x2+12x有最小值，最小值y=-6，
函数y=-4x2+8x-10有最大值，最大值y=-6。
活动意图说明：复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数
解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．
环节二：新知探究教师活动2： 学生活动2：
【问题】从地面竖直向上抛出一小球，
小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间
教师引导学生，得出结论
t（单位：s）之间的关系式是 h=30t－5t2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球
最高？小球运动中的最大高度是多少？
画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可
以看出这个函数图象是一条抛物线的一部
分。这条抛物线的顶点是这个函数的图象的
最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，
这个函数有最大值.
如何求出小球的最大高度呢？
学生回答问题
b 30
当t=－ =－ =3时，
2a 2×（-5）
4ac-b2 -302
h有最大值 = =45.
4a 4×（-5）
也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，
小球运动中的最大高度是45m.
一般地，当 a＞0（a＜0）时，抛物线
y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是
b
说，当x=- 时，二次函数y=ax2+bx+c有最
2a 师生共同总结
4ac-b2
小（大）值 。
4a
活动意图说明：让学生得出求二次函数的最小(大)值的结论，体会由特殊到一般的思想方法．
环节三：新知讲解
教师活动3： 学生活动3：
【问题】用总长为60m的篱笆围成矩形
场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变
化。当x是多少时，场地的面积S最大，最大
面积是多少？ 教师提出问题，学生积极回答问题
这个问题研究的是哪两个变量之间的关
系？结合题目内容，已知用总长为60m的篱 根据题意列方程：S=x(30－x)
笆围成矩形场地，其中一边为x 米，则另一
整理后得：S=-x2+30x(0<x<30)
边如何表示呢？
如何求出场地的最大面积呢？ b 4ac-b2
当x=－ =15时，S= =225 ㎡
2a 4a
当矩形一边长为15m时，场地的面积取最大值，
且最大值为225 ㎡
活动意图说明：让学生在解决实际问题的过程中体会与二次函数之间的联系.
环节四：典例精析
教师活动4： 学生活动4：
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米
的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花
教师提出问题，学生积极回答问题
圃，设花圃的宽 AB为x米，面积为 S平方
米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取
值范围；
(2)当 x 取何值时所围成的花圃面积最 解：1）S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）
大，最大值是多少？
b 4ac-b2
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围 2）当x=- =3时，Smax= = 36 ㎡
2a 4a
成花圃的最大面积。
3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8
∴ 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S ＝32 平方米
最大值
如何解决面积最大问题 学生思考，师生共同归纳
面积最值问题：
①找好自变量；
②利用相关的图象面积公式，列出函数关系
式；
③利用函数的最值解决面积最值问题。注
意：自变量的取决范围。
活动意图说明：让学生掌握利用二次函数解决几何最值问题的方法．
环节五：新知讲解
教师活动5： 学生活动5：
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖 学生思考，试着解答此题
出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1
元，每星期可卖出20件。已知商品的进价为
每件40元，如何定价才能使利润最大？
【销售最大利润问题关键】
通过售价与利润关系得到二次函数的关
系式，根据二次函数最值解决利润最值问题
当每件涨价x元时，售价是多少？销量是
多少？成本是多少？销售额是多少？利润
呢？如何定价才能使每周利润最大化？
1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖
______件，实际卖出________________件， 10x；30-10x；60+x；(60+x)(300-10x)；
此时每件产品的销售价为__________元，每
40×(300-10x)
周产品的销售额___________________元，此
时每周产品的成本____________________
元，因此周利润合计为:
y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x-5) 2+6250 (0≤x≤30)
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为
6250元
当每件降价a元时，售价是多少？销量
是多少？成本是多少？销售额是多少？利润
呢？如何定价才能使每周利润最大化？
(60－a)元，（300+20a）件，40(300+20a)，
由上面的讨论及现在的销售情况，你知
(60－a)(300+20a)元，
道应如何定价能使利润最大了吗？
(60－a)(300+20a)－40(300+20a)元．
将利润的式子化简后，得利润
y=(60－a)(300+20a)－40×(300+20a)
=-20(a-2.5) 2+6125 (0≤a≤20)
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润
为6125元
学生通过比较得出答案
因为6 250＞6 125，所以涨价5元时利润最高．
活动意图说明：通过让学生独立完成，提升学生解决实际问题的能力和应用函数知识解决实际
问题的意识．
环节六：新知讲解
教师活动6： 学生活动6：
如图是一座 学生小组讨论解决问题的方法，出现以下3种情况：
抛物线形拱桥，
1）有的小组是将抛物线顶点作为坐标系原点．
当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度 2）有的小组是在宽度为4 m的水面中点作为坐标
为多少？水面宽度增加多少？
系原点．
如何建立直角坐标系？
3）有的小组是以宽度为4 m的水面的左或右端点作
为坐标系的顶点．
根据所建立的直角坐标系，尝试解决这
个问题．
学生以小组为单位，通过计算给出答案．并尝试选
用不同的直角坐标系求解这个问题．教师通过多
媒体给出具体求解过程．
建立如图所示直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为 y=a
x2，
由抛物线过点(2,-2)得-2=a×4，a=-
1
2
所以这条抛物线表示的二次函数为
1
y=- x2
2
将y=-3带入二次函数得，x=±√6
∴水面下降1m时，水面的宽度为2√6m
∴水面的宽度增加了（2√6-4）m
建立如图所示直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2
+b
由抛物线过点(2,0)、（0,2）
所以这条抛物线表示的二次函数为
1
y=- x2 +2
2
将y=-1带入二次函数得，x=±√6
先由学生回答，再由教师引导学生，得出如下结论
∴水面下降1m时，水面的宽度为2√6m∴水面的宽度增加了（2√6-4）m
简述利用二次函数解决拱桥问题的方法？
（1）建立适当的平面直角坐标系。
（2）根据题意找出已知点的坐标。
（3）求出抛物线解析式。
（4）直接利用图象解决实际问题。
活动意图说明：通过思考和讨论，使学生能够更好地将函数知识应用到实际生活中，培养学生的
应用意识．
板书设计 一、几何面积最大问题
二、利润最大问题
三、建立坐标系解决实际问题
课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1、用一条长为40cm的绳子围成一个面积为S的长方形，S的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
2.某栋建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所
40
在平面与墙面垂直）（如图）。如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则
3
水流下落点B离墙距离OB是（ ）
A. 2m B.3m C.4m D.5m
3、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个。若
这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得
最大利润，则应降价___元，最大利润______元。
4.如图所示是山西省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交
于A,B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D,E为桥拱底部的两点，且
DE//AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为____ m。
选做题：
5．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足
够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2
株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万
元，求最多可以购买多少株牡丹？
【综合拓展类作业】
6．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不
低于22元/g，不高于45元/g，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格
x（元/g）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销
售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
课堂总结 1. 用二次函数解实际问题的常用方法
2. 用二次函数解实际问题的一般步骤
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1.某青年公寓有100张床位，每张床位的日租价为10元时，公寓的床位可全部出
租. 若每张床位的日租价提高1元，则租出的床位就会减少5张，按此种情况，要
想获得最大收益，则每张床位的日租价需提高__________元.
2.一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开. 已知
篱笆总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝_________m 时，矩形土地
ABCD的面积最大.选做题：
3．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也
不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱
(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交
于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即
AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标
系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
26 26 13 13
A．y= x2 B．y=- x2 C．y= x2 D．y=- x2
675 675 1350 1350
【综合拓展类作业】
4. 如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的路线为抛物
线的一部分，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为
5 m，球网的高度为1.55 m. 羽毛球沿水平方向运动4 m时，达到羽毛球距离地面
5
最大高度 m. 设羽毛球飞行的高度为y m，飞行的水平距离为x m.
3
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数解析式.
（2）通过计算，判断此球能否过网.
教学反思 本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、探索、交流”
等过程，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能
力。本节教学过程主要由创设情境，引入新知――合作交流；探究新知――运用知
识，体验成功；知识深化――应用提高；归纳小结――形成结构等环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流
“的《数学新课标》要求。本设计同时还注重发挥多媒体的辅助作用，使学生更好
地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探
究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学。
