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第 09 课 二次函数的定义
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课程标准
1、掌握二次函数的定义；
2、根据二次函数的定义确定参数的值；
3、会根据实际问题列出相应的二次函数；
知识精讲
知识点01 二次函数的概念
1、有关概念
形如 (a ,b,c是常数,a≠0)的函数为二次函数.其中，x是自变量,a ,b,c分别是函数解析式的
、 和 .
2、二次函数的解析式必须满足的三个条件
(1)等号右边是 ;
(2)自变量的最高次数必须是 ;
(3)二次项系数不为 .
3、二次函数的结构特征
等号左边是y ,等号右边是关于x的 次多项式或 次单项式.
(1)当b=0时,二次函数为 ;
(2)当c=0时,二次函数为 ;
(3)当b=0,c=0时,二次函数为 .
【注意】
(1)注意二次函数 与一元二次方程 的异同.(2)在二次函数的概念中， 是二次函数概念的一部分,若 a 为 0，则函数 就是
,这不符合二次函数的概念.
(3)二次函数的出客教项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号,不要漏掉.
知识点02 列二次函数解析式的一般步骤
例题 解释
某商场销售一批衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元.为减少库存, 找出已知量和未知
审题 商场决定降价处理,每件衬衫每降价1元,每天多售出2件.请写出商场 量,分析它们之间的
每天盈利y(单位:元)与每件衬衫降价x(单位:元)之间的函数解析式. 关系
找到两个未知量之
找等量关系 间的关系,用等式表
示
结合已给或设出的
未知量的字母根据
列方程 等量关系列出函数
的解析式注意自变
量的取值范围
【注意】
实际问题中自变量的取值范围的确定
(1)二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.
(2)确定自变量的取值范围时,需正确列出不等式或不等式组.
能力拓展
考法01 二次函数的判断
【例题1】下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x—l;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;(6)
考法02 根据二次函数的概念求字母的值
【例题2】已知函数 是关于x的二次函数,求满足条件的m的值.
【方法总结】
要确定二次函数中待定字母的值， 需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求
字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.
考法03 列二次函数的解析式
【例题3】某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元出售,那么每天可卖出300个,根据销售经验,
每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x元,每天销售y个,每天获得利润W元.
(1)写出y 与x之间的函数解析式;
(2)求出W与x之间的函数解析式(不必写出x的取值范围).
考法04 实际问题中根据几何知识列二次函数的解析式
【例题4】某校为绿化校园,在一块长为15 m、宽为10 m的矩形空地上建造一个矩形花圃，如图,设计这个
花圃的一边靠墙(墙长大于15 m),并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路,设小路的宽为xm,花圃面积为y
m2,求y关于x 的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围.
【方法总结】
解决此类问题时,一般利用“数形结合”的思想,在具体解题时，常用的建立等量关系的方法有“面积法”
“周长法”“勾股法”。
【例题5】如图,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠
墙,另三边用总长为40 m的栅栏围成,设花园的边BC长为x m,花园的面积为y m2.(1)求y与x的函数解析式;
(2)满足条件的花园的面积能达到200 m2吗?若能,求出此时x的值;若不能,说明理由.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
2．二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是( )
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6
3．若y=(a﹣1)x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0 C．无法确定 D．a≠1且a≠0
4．下列具有二次函数关系的是( )
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x
5．已知函数 ．
(1)若这个函数是一次函数，求 的值
(2)若这个函数是二次函数，求 的取值范围．
题组B 能力提升练
6．如果函数 是二次函数，那么k的值一定是________．
7．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此贺卡的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间
有如下关系：
日销售单价x(元) … 3 4 5 6 …
日销售量y(个) … 20 15 12 10 …
则y与x之间的函数关系式为 ________ ．8．如图所示， 是等腰直角三角形， ，直角边与正方形 的边长均为2，且 与
在同一直线上，开始时点 与点 重合，让 沿这条直线向右平移，直到点A与点 重合为止．
设 的长为 ， 与正方形 重合部分(图中阴影部分)的面积为 ，则 与 之间的函数关系是
______．
题组C 培优拔尖练
9．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的
面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
10．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．
现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，
那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
(1)现在每天卖出 件，每件盈利 元(用含x的代数式表示)；
(2)求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
(3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
11．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为 的篱笆围
成．已知墙长为 (如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边 为 ，若苗圃园的面积为 ，求
的长度．12．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
(1)在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖(均用含n的代数式表示)；
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与(1)中的的函数表达式(不要求写出自变量n的取值范围)；
(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元购买瓷砖？
(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
