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22.3.1二次函数专项训练（1）（40题）
题型1：二次函数图像与系数的关系
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a﹣
2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b＞m
（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为 2．其中，正确结论的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（4，0），对称轴为x＝1．下列结论：
①2a+b＝0；②15a+c＜0；③3a+2b＞0；④8a+5b+c＜0；⑤对于任意实数m，式子m（am+b）﹣
b≤a都成立．其中结论正确的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法
正确的个数是（ ）
①ac＞0；②b2﹣4ac＜0；③9a﹣3b+c＞0；④am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），（0，3），其对称轴在y轴左侧．
有下列结论：
①abc＜0；
②抛物线经过点（﹣ ，0）；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；
④﹣3＜a＜0．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣4，0），其对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出
下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③3b+2c＞0；
④a﹣b≥am2+bm．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①b2﹣4ac＞0；
②abc＞0；③8a﹣2b+c＞0；④若点（﹣0.5，y ），（﹣2，y ）均在抛物线上，则y ＜y ．其中正确
1 2 1 2
的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．49．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣
1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2．
有以下结论：
①abc＜0；
②若点M（ ，y ），点N（ ，y ）是函数图象上的两点，则y ＞y ；
1 2 1 2
③ ＜a＜ ；
④△ADB不可能是等腰直角三角形．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx，其中a﹣b＜0．以下4个结论：
①若这个函数的图象经过点（﹣2，0），则它必有最小值；
②若这个函数的图象经过第四象限的点P，则必有a＜0；
③若a＞0，则方程ax2+bx＝0必有一根小于﹣1，
④若a＜0，则当﹣1≤x≤0时，必有y随x的增大而增大．正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴是直线x＝2，当x＝﹣1时，与其对应的
函数值y＞0，且抛物线与y轴交点在x轴下方．有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；
②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；
③8a+3b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．412．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x
＝﹣1，有下列结论：① abc＞0；② 2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0 时，
0≤y≤c．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（1，1），（0，﹣1），当x＝2时，与其对
应的函数值y＜﹣1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣a＝0有两个不等的实数根；
③a﹣b+c＜﹣3．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且顶点在第一象限，那么
下列结论：①a+c＝b；②x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc＞0；④c﹣a＞2，其中正确的结
论为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
15．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点G坐标为（1，k），且与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间（不含两端点）．则下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③3a+b＜0；4a﹣2b+c＞0；
④一元二次方程ax2+bx+c＝k+1没有实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型2：待定系数法求二次函数解析式
16．如图，直线y＝x﹣3与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，求
m的取值范围．
17．如图，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0， ），顶点为C，点D在对称轴上
且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C恰好落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）求线段CD的长．18．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
19．抛物线y＝ax2+bx+c顶点为原点，且过点（4，8）．直线y＝kx+b与抛物线交于E、F两点，若∠EOF
＝90°时，求证：直线过定点．
20．已知二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'，若点P′落在该二次函数图象上，求n的值．
21．一抛物线以（﹣1，9）为顶点，且经过x轴上一点（﹣4，0），求该抛物线解析式及抛物线与y轴交
点坐标．
22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围．
24．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（1，3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
25．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，8）和点B（4，0）．
（1）试确定抛物线与直线AB的函数解析式；
（2）已知直线x＝m（0＜m＜4）与直线AB交于点M，与抛物线y＝ax2+2x+c交于点N，若点M，N之
间的距离为d，请写出d关于m的函数解析式，并求m为何值时，d有最大值，最大值是多少？26．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标．
27．如图，在菱形OABC中，已知OA＝2 ，∠AOC＝60°，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B
三点，求抛物线的解析式．
题型3：二次函数与不等式（组）
28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝m交抛物线于M，N两点，若方程﹣x2+bx+c＝m在﹣5≤x＜3有实数解，求m的取值范围．29．如图，已知直线y＝kx﹣3k（k≠0）与x轴、y轴分别交于点B，C，∠OBC＝45°．抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）经过点B，C，且经过点A（﹣1，0）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）请观察图象，直接写出当kx﹣3k≥ax2+bx+c时x的取值范围．
30．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值．
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）．
31．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根 ；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 ；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 ．32．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）关于x的不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集为 ．
（3）点M（x ，y ），点N（x ，y ）是该抛物线上的两点，若x ﹣x ＝2，试比较y 和y 的大小．
1 1 2 2 2 1 1 2
33．在平面直角坐标系xOy中，点P（x ，y ）在二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象上，点Q（x ，y ）在一次
1 1 2 2
函数y＝x+a﹣6的图象上，其中0≤x ≤2，x ≤0．
1 2
（1）求二次函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若对于任意x ，总存在x ，使得y ＞y ，求a的取值范围．
2 1 1 2
34．已知抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）与y轴的交点为C点．
（1）若抛物线经过原点，求m的值；
（2）若点A（x ，y ）和点B（4﹣x ，y ）在抛物线上，求C点的坐标；
1 1 1 1
（3）当2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．
35．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝4x2﹣2x的图象与x轴交于A（x ，0），B（x ，0）两点，且
1 2
x ＜x ．
1 2
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P （1﹣3m，c），P （m，c）在这个函数的图象上，判断点P （1﹣m，3）是否在这个函数
1 2 3
的图象上；
（3）若该函数的图象经过点M（a+1，b），且1≤a＜2，t＝a2+b2，求t的取值范围．
36．已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且过点（﹣2，5）．
（1）求抛物线的解析式；（2）根据函数图象，直接写出y＞0时，自变量x的取值范围．
37．如图，抛物线的顶点坐标为A（2，﹣1），且过点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．
38．如图，抛物线y ＝x2﹣x﹣2与直线y ＝x+1交于A，B两点．
1 2
（1）求A，B两点的坐标；
（2）根据图象，直接写出不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集．
39．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）求y的取值范围．40．如图，直线y＝﹣ x+1和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（2，0）和点B（k， ）
（1）k的值是 ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）不等式x2+bx+c＞﹣ x+1的解集是 ．
