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第 09 课 二次函数的定义
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课程标准
1、掌握二次函数的定义；
2、根据二次函数的定义确定参数的值；
3、会根据实际问题列出相应的二次函数；
知识精讲
知识点01 二次函数的概念
1、有关概念
形如 (a ,b,c是常数,a≠0)的函数为二次函数.其中，x是自变量,a ,b,c分别是函数解析式的二
次项系数、一次项系数和常数项.
2、二次函数的解析式必须满足的三个条件
(1)等号右边是整式;
(2)自变量的最高次数必须是2;
(3)二次项系数不为0.
3、二次函数的结构特征
等号左边是y ,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式.
(1)当b=0时,二次函数为 ;
(2)当c=0时,二次函数为 ;
(3)当b=0,c=0时,二次函数为 .【注意】
(1)注意二次函数 与一元二次方程 的异同.
(2)在二次函数的概念中， 是二次函数概念的一部分,若 a 为 0，则函数 就是
,这不符合二次函数的概念.
(3)二次函数的出客教项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号,不要漏掉.
知识点02 列二次函数解析式的一般步骤
例题 解释
某商场销售一批衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元.为减少库存, 找出已知量和未知
审题 商场决定降价处理,每件衬衫每降价1元,每天多售出2件.请写出商场 量,分析它们之间的
每天盈利y(单位:元)与每件衬衫降价x(单位:元)之间的函数解析式. 关系
解 : 降价后 , 每件衬衫的盈利为 (4 0 － x ) 元 , 每天售出 (2 0 ＋ 2x ) 件 . 因为每天 找到两个未知量之
找等量关系 的盈利一每件衬衫的盈利 × 每天售出的件数 , 间的关系,用等式表
示
结合已给或设出的
∴
未知量的字母根据
列方程 等量关系列出函数
的解析式注意自变
量的取值范围
【注意】
实际问题中自变量的取值范围的确定
(1)二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.
(2)确定自变量的取值范围时,需正确列出不等式或不等式组.
能力拓展
考法01 二次函数的判断
【例题1】下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x—l;
(2) ;
(3) ;
(4) ;(5) ;
(6)
【解析】
解:(l)不是二次函数,因为自变量的最高次数是1.
(2)是二次函数,因为符合二次函数的概念.
(3)不是二次函数,因为自变量的最高次数是3.
(4)是二次函数,因为符合二次函数的概念.
(5)不是二次函数,因为原式整理后为y=－x.
(6)不是二次函数,因为x－2为分式,不是整式.
故(2)(4)是二次函数.
考法02 根据二次函数的概念求字母的值
【例题2】已知函数 是关于x的二次函数,求满足条件的m的值.
【分析】
根据二次函数的概念求字母的值时，一般根据自变量的最高次数等于2列出方程,并要保证二次项系数不能
等于0.
由二次函数的概念﹐得 ，且 ,即可解可得m的值.
【详解】
解:根据题意可得, ,且 ,解得m=5,即满足条件的m的值为5.
【方法总结】
要确定二次函数中待定字母的值， 需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求
字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.
考法03 列二次函数的解析式
【例题3】某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元出售,那么每天可卖出300个,根据销售经验,
每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x元,每天销售y个,每天获得利润W元.
(1)写出y 与x之间的函数解析式;
(2)求出W与x之间的函数解析式(不必写出x的取值范围).【分析】
商品销售问题的解题关键是掌握销售利润﹑销售量与单位商品的利润之间的关系.
(1)利用每天可卖出300个,每降价1元,每天可多卖出20个,得出y与x之间的函数解析式;
(2)利用销量×每个商品的利润=总利润,得出答案.
【解析】
解:(1)已知每个降价x元,每天销售y个，
所以y与x之间的函数解析式为y=300+20x .
(2)由题意可得,W与x之间的函数解析式为W=(300+20x ) (60－40－x)=－20x2＋100x+6000.
考法04 实际问题中根据几何知识列二次函数的解析式
【例题4】某校为绿化校园,在一块长为15 m、宽为10 m的矩形空地上建造一个矩形花圃，如图,设计这个
花圃的一边靠墙(墙长大于15 m),并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路,设小路的宽为xm,花圃面积为y
m2,求y关于x 的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围.
【分析】
解与实际问题有关的几何问题时，一般要通过分析几何图形,借助几何图形的面积或周长公式建立等量关系.
【详解】
由小路的宽为xm,知矩形花圃的长为(15－2x )m,宽为(10－x)m,根据矩形面积公式即可得到解析式,由实际问
题求出函数自变量的取值范围.
【解析】
解:由小路的宽为x m,知矩形花圃的长为(15－2x )m,宽为(10－x)m,
根据题意,得
.
由,
解得 .
故所求的函数解析式为 ，其中
【方法总结】
解决此类问题时,一般利用“数形结合”的思想,在具体解题时，常用的建立等量关系的方法有“面积法”
“周长法”“勾股法”。
【例题5】如图,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠
墙,另三边用总长为40 m的栅栏围成,设花园的边BC长为x m,花园的面积为y m2.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)满足条件的花园的面积能达到200 m2吗?若能,求出此时x的值;若不能,说明理由.
【解析】
解:(1)因为边BC为x m,栅栏总长为40 m,所以花园的边 ，
所以 .
(2)不能.理由如下:
当y=200时, ,解得x=20.
因为根据实际意义,边 BC不能大于墙长15 m,所以0
