文档内容
第 06 课 一元二次方程应用题(1)
目标导航
课程标准
1、掌握列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、检、答．
2、能利用一元二次方程解决问题：
①传播类问题；
②平均增长(降低)率问题
③其他增长率问题
④握手问题与送礼问题
⑤面积类问题(内挖型、外扩型、开路型、建舍型)．
3、能理找出等量关系，理解解列等量关系的过程。
知识精讲
知识点01 传播类问题
1、传播类问题
一个人传染x人
传染源
第一轮新传染人数 第一轮传染后总感染人数 第二轮新传染人数 第二轮传染后总感染人数
【解释】
若传染源的数量为a,每轮传染的数量为x,则经过一轮传染后感染的总数量为 ,
则经过两轮传染后感染的总数量为 整理后的结果为 .若经过两轮传染后感染的总数量为b,
则所列方程为 .
【注意】
传播类问题所列方程
1.开始数量为1,每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为 .
2.开始数量为a,每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为 .
知识点02 平均增长(降低)率问题
设平均增长率为x终止量为b
起
增长1 起始量与 增长2次与
始 增长2次 三者总和
次 增长2次之差 增长1次之差
量
设平均降低率为x
终止量为b
起
降低1 起始量与 降低2次与
始 降低2次 三者总和
次 降低2次之差 降低1次之差
量
【解释】
①若开始的数量为 a,增长率为 x,则经过一次增长后的数量为 ,经过两次增长后的总数量为
,若经过两次增长后的数量为b,则可列方程 .
②若开始的数量为 a,降低率为x,则经过一次增长后的数量为 ,经过两次增长后的总数量为
,若经过两次增长后的数量为b,则可列方程 .
【注意】
增长率(或降低率)问题的规律
1.增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为 ,两次增长后的值为 ,依次类
推,n次增长后的值为 .
2.降低率问题:设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为 ,两次降低后的值为 ,依次类
推,n次降低后的值为 .
知识点03 其他增长率问题
1、转发消息类
A收到一条微信，转发给x人，要求这些收到微信的人继续转发给x人，此时共有b个人收到微信。
一开始， 第一次转发后 第二次转发后
第一次转发次数 第二次转发次数
收到微信的人数 收到微信的总人数 收到微信的总人数
1
【解释】
A收到消息后，转发给x个人，此时，一共有 个人收到消息，第二次转发给 个人，此时，
一共有 个人收到消息。
【注意】
转发消息类问题与传染问题类型不同的是，收到消息的人，只转发 次，转发给x个人后，再不转
发；
而传染问题，每个被感染的人，每一轮传播都会传染给x个人。2、长枝干类
1个主干长x个枝干，每个枝干长x个小枝干，共有b个分支，
则
知识点04 握手问题和送礼问题
1、握手问题
设有x个人互相握手，每个人都站起来和其他 个人握手，每个人都站起来和其他人握手之后，一共
握手 次，但任意两人之间都握手2次，实际每两人之间只需要握手一次，设握手总次数为 b，则
；
2、送礼问题
设有x个人互相送卡片，每个人都给其余 个人送一张卡片，每个人都给其他人送卡片之后，一共送
了
知识点05 面积类问题
类型 图形 面积表示
如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为
1、内挖类型
x,则阴影的面积可表示为 .如图所示的阴影部分矩形的长为a,宽为b,空白部分宽
2、外扩类型 均为x,则矩形ABCD的面积可表示为
.
如图所示矩形的长为a,宽为b,在矩形中挖四条等宽的
3、开路问题 小路，路宽均为x,则剩余部分(绿色阴影)面积可表示
为 .
①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形
BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为
；
②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
中间还有一道篱笆EF，篱笆总长为a，设垂直于墙面
4、围栏问题
的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形
ABCD的面积为 ；
③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，
并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a，设垂直于墙
面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩
形ABCD的面积为 ；
能力拓展
考法01 传播问题
【例题1】肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染
将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程( )
A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．(1+x)2＝225 D．1+(1+x2 )＝225
【即学即练1】有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平
均一个人传染的人数是( )
A．14 B．11 C．10 D．9
【即学即练2】2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，
经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
考法02 平均变化率
【例题2】某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均
增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A．80(1+x)2=100 B．100(1﹣x)2=80 C．80(1+2x)=100 D．80(1+x2)=100
【即学即练1】某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游
收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”
旅游收入的年平均增长率约为( )
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
【即学即练2】某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产
钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方
程( )
A． B．
C． D．
【即学即练3】某药品原价每盒 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在
售价每盒 元，则该药品平均每次降价的百分率是______．
考法03 枝干问题
【例题3】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支
干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
( )
A． B． C． D．
【即学即练1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和
小分支的总数是13，则每个支干长出( )
A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支
【即学即练2】某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
考法04 握手问题与送礼问题
【例题4】“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他
成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是(
)
A．x(x+1)＝210 B．x(x﹣1)＝210
C．2x(x﹣1)＝210 D． x(x﹣1)＝210
【即学即练1】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，
并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，
则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【即学即练2】某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次
比赛的球队数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【即学即练3】在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有二人参加这次聚会，则列
出方程正确的是( )
A． B．
C． D．
考法05 面积问题
【例题5】原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021
年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在
长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如
图)，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程( )A． B．
C． D．
【即学即练1】如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为
50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是( )
A．(50+x)(80+x)＝2800 B．(50+2x)(80+2 x)＝2800
C．(50﹣x)(80﹣x)＝2800 D．(50﹣2x)(80﹣2x)＝2800
【即学即练2】如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余
的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是( ).
A．(32﹣2x)(20﹣x)=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．(32﹣x)(20﹣x)=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【即学即练3】如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地
方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
【即学即练4】如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【即学即练5】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长
的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为
多少时，猪舍面积为80m2？
【即学即练6】一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：
2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
【即学即练7】如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹
篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
(1)要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
(2)围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
分层提分题组A 基础过关练
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方
程为( )
A．1+x+x(1+x)=100 B．x(1+x)=100
C．1+x+x2=100 D．x2=100
2．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一
横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 米，则根
据题意，列方程为( )
A． B．
C． D．
3．一棵树主干长出若干个枝干，每个枝干又长出枝干数两倍的小分支，主干、枝干和小分支共 个，则
主干长出的枝干数是( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．
要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为( )
A．x2+100x﹣400＝0 B．x2﹣100x﹣400＝0
C．x2+50x﹣100＝0 D．x2﹣50x﹣100＝0
5．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万
人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的
年平均下降率为 ，根据题意列方程得( )A． B． C． D．
6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为
x，则由题意列方程应为( )
A．200(1+x)2＝1000 B．
200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+(1+x)+(1+x)2]＝1000
7．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方
程为_____．
8．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年
屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
9．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________.
11．2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传
染后共有64人患病．
(1)求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人；
(2)如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？
12．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是
361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你预测4月份该公司的生产成本．
题组B 能力提升练
1．如图， 是一面长 米的墙，用总长为 米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地 ，中间用栅
栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为 平方米，则 的长为________米．
2．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，
并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
3．如图是宽为20m，长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相
等的试验地，要使试验地的面积为570m2，问：道路宽为多少米？
4．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长
15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，
(1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
(2)该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，
围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另
外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．
题组C 培优拔尖练
1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
2．已知两条线段长分别是一元二次方程 的两根，
(1)解方程求两条线段的长．
(2)若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积．
(3)若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积．
3．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个
矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2, 求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的
粗细)，求花园面积S的最大值.
4．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分
为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
(1)求A社区居民人口至少有多少万人？
(2)街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，
B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平
均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了 m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，
两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．
5．某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓
地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全
用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方
形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．(注：
每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余)(1)求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？
(2)实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了 ，铺满B
种地砖的公寓套数增加了 ，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在(1)问的基础上降低了 ，
但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了 ，求a的值．
