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22.2 用函数观点看一元二次方程
二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛 物 线
与 x 一元二次方程
轴 交 于 ， 有
△＞0 两 个 不 相 等 的 实 数 根
两 点 ， 且
，
此时称抛物线与x轴相交
抛 物 线 一元二次方程
与 x 有
△＝0 两 个 相 等 的 实 数 根
轴交切于 这一点，
此时称抛物线与x轴相切
抛 物 线 一元二次方程
△＜0 与 x 在
轴无交点，此时称抛物线与 x 实数范围内无解（或称无实
轴相离 数根）
注意： 二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
题型1：求抛物线与坐标轴的交点坐标
1.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程
ax2+bx+c＝0的两个解是（ ）
A．x＝﹣2，x＝5 B．x＝2，x＝﹣5
1 2 1 2
C．x＝﹣2，x＝﹣5 D．x＝2，x＝5
1 2 1 2
【变式1-1】二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=−1 ，与x轴
的一个交点为 (1,0) ，与y轴的交点为 (0,3) ，则方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的解为（ ）
A．x=1 B．x=−1
C．x =1 ， x =−3 D．x =1 ， x =−4
1 2 1 2
【变式1-2】已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与x轴的两个交点坐标是（-2，0），（5，0），则一元二次
❑
方程 ax2+bx+c=0 的两个解是（ ）
A．x =−2,x =5 B．x =2,x =−5
1 2 1 2
C．x =−2,x =−5 D．x =2,x =5
1 2 1 2
题型2：判断抛物线与x轴交点情况
2.小明在解二次函数 y=ax2+bx+c 时，只抄对了 a=1 ， b=4 ，求得图象过点 (−1,0) ．他
核对时，发现所抄的 c 比原来的 c 值大2．则抛物线与 x 轴交点的情况是（ ）
A．只有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．不确定
【变式2-1】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【变式2-2】抛物线 y=−x2+2kx+2 与 x 轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对题型3：根据抛物线与x轴的交点个数求参数
3.二次函数与 y=(m−2)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ）
A．m⩽3 B．m<3
C．m<3 且 m≠2 D．m⩽3 且 m≠2
【变式3-1】抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k>－ B．k≥－ 且k≠0
C．k≥－ D．k>－ 且k≠0
【变式3-2】已知二次函数 y=(k−3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是(
).
A．k<4 且k≠3 B．k≤4 C．k>4 D．k≥4
题型4：二次函数与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系
4.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0
C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0
【变式4-1】若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程
ax2＋bx＋c＝0的根为（ ）
A．x＝﹣7，x＝3 B．x＝﹣6，x＝4
1 2 1 2
C．x＝6，x＝﹣4 D．x＝7，x＝﹣3
1 2 1 2
【变式4-2】已知二次函数 （m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x
的一元二次方程 x2−3x+m=0 的两实数根是（ ）
A．x＝1，x＝－1 B．x＝1，x＝2
1 2 1 2
C．x＝1，x＝0 D．x＝1，x＝3
1 2 1 2
题型5：根据二次函数值求自变量x的取值范围
5.根据下列表格中的对应值：
x 1.98 1.99 2.00 2.01
y=ax2+bx+c -0.06 -0.05 -0.03 0.01
判断方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0 ，a，b，c为常数）一个根x的范围是（ ）
A．1.002
C．x<0 或 x>4 D．0
