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22.2 用函数观点看一元二次方程
二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛 物 线
与 x 一元二次方程
轴 交 于 ， 有
△＞0 两 个 不 相 等 的 实 数 根
两 点 ， 且
，
此时称抛物线与x轴相交
抛 物 线 一元二次方程
与 x 有
△＝0 两 个 相 等 的 实 数 根
轴交切于 这一点，
此时称抛物线与x轴相切
抛 物 线 一元二次方程
△＜0 与 x 在
轴无交点，此时称抛物线与 x 实数范围内无解（或称无实
轴相离 数根）
注意： 二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
题型1：求抛物线与坐标轴的交点坐标
1.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程
ax2+bx+c＝0的两个解是（ ）
A．x＝﹣2，x＝5 B．x＝2，x＝﹣5
1 2 1 2
C．x＝﹣2，x＝﹣5 D．x＝2，x＝5
1 2 1 2
【变式1-1】二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=−1 ，与x轴
的一个交点为 (1,0) ，与y轴的交点为 (0,3) ，则方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的解为（ ）
A．x=1 B．x=−1
C．x =1 ， x =−3 D．x =1 ， x =−4
1 2 1 2
【变式1-2】已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与x轴的两个交点坐标是（-2，0），（5，0），则一元二次
❑
方程 ax2+bx+c=0 的两个解是（ ）
A．x =−2,x =5 B．x =2,x =−5
1 2 1 2
C．x =−2,x =−5 D．x =2,x =5
1 2 1 2
题型2：判断抛物线与x轴交点情况
2.小明在解二次函数 y=ax2+bx+c 时，只抄对了 a=1 ， b=4 ，求得图象过点 (−1,0) ．他
核对时，发现所抄的 c 比原来的 c 值大2．则抛物线与 x 轴交点的情况是（ ）
A．只有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．不确定
【变式2-1】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【变式2-2】抛物线 y=−x2+2kx+2 与 x 轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对题型3：根据抛物线与x轴的交点个数求参数
3.二次函数与 y=(m−2)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ）
A．m⩽3 B．m<3
C．m<3 且 m≠2 D．m⩽3 且 m≠2
【变式3-1】抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k>－ B．k≥－ 且k≠0
C．k≥－ D．k>－ 且k≠0
【变式3-2】已知二次函数 y=(k−3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是(
).
A．k<4 且k≠3 B．k≤4 C．k>4 D．k≥4
题型4：二次函数与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系
4.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0
C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0
【变式4-1】若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程
ax2＋bx＋c＝0的根为（ ）
A．x＝﹣7，x＝3 B．x＝﹣6，x＝4
1 2 1 2
C．x＝6，x＝﹣4 D．x＝7，x＝﹣3
1 2 1 2
【变式4-2】已知二次函数 （m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x
的一元二次方程 x2−3x+m=0 的两实数根是（ ）
A．x＝1，x＝－1 B．x＝1，x＝2
1 2 1 2
C．x＝1，x＝0 D．x＝1，x＝3
1 2 1 2
题型5：根据二次函数值求自变量x的取值范围
5.根据下列表格中的对应值：
x 1.98 1.99 2.00 2.01
y=ax2+bx+c -0.06 -0.05 -0.03 0.01
判断方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0 ，a，b，c为常数）一个根x的范围是（ ）
A．1.00<x<1.98 B．1.98<x<1.99
C．1.99<x<2.00 D．2.00<x<2.01【变式5-1】在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0
的一个解x的范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … − 1 − 0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【变式5-2】已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3
C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
题型6：二次函数与一次函数交点情况
3 1
6.直线y= x−1 与抛物线 y=x2− x 的交点个数是( )
2 2
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【变式6-1】已知：抛物线的解析式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）“此抛物线与x轴必有两个不同的交点”，请问这个结论正确吗 (请填“正确”或“不正确”）；
（2）若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，则m=
题型7：二次函数与一次函数值大小比较（不等式）
7.如图，抛物线 y =−x2+4x 和直线 y =2x ，当 y <y 时，x的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．0<x<2 B．x<0 或 x>2
C．x<0 或 x>4 D．0<x<4
【变式7-1】如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x﹣1交于点A（a，﹣2）和B（b，2）．
1 2
（1）求a，b的值；（2）观察图象，直接写出当y＜y 时x的取值范围．
1 2
【变式7-2】如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物
线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
题型8：综合-二次函数中周长最值问题
8.已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于
点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．
【变式8-1】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC
和BC．
（1）求抛物线的解析式；（直接写出解析式，不写过程）
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （ ，﹣ 5 ） ．【变式8-2】如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点
C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标及
△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．
题型9：综合-二次函数中线段最值与面积最值问题
9.如图，二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），另一个交点为B，且与y轴交于
点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上是否存在点D，使△ABD与△ABC的面积相等？若存在，请求出D点的坐标；
若不存在，请说明理由．
【变式9-1】如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1
经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．
【变式9-2】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线
l与抛物线交于 A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求△PAD面积最大值；
（3）由（2）并求出点P的坐标．
题型10：综合-二次函数中面积倍数关系问题
10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，
0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是二次函数图象上的一点．
（1）求二次函数和直线BC的解析式．
（2）若点P在直线BC的下方，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．
（3）当S△PBC ＝ S△ABC 时，求点P的横坐标．
【变式10-1】如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B．与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接BC，点D是线段BC上方抛物线上的一点，连接OD，CD，OD交BC于点E，是否存在点D
使S△COE ：S△CDE ＝3：2，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式10-2】如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，5）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′，L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物
线L′上是否存在点Q，使得15S△BDQ ＝4S△ABC ，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
一、单选题
1．已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象上部分点的坐标 (x,y) 的对应值如表所示：
x … 0 √5 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
则方程 ax2+bx+1.37=0 的根是（ ）.
A．0或4 B．√5 或 4−√5 C．4+√5 或 √5 D．无实根
2．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
3．已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为 （
）
A．x=-1，x=3 B．x=-2，x=3 C．x=1，x=3 D．x=-3，x=1
1 2 1 2 1 2 1 2
4．已知一元二次方程ax2+bx+c=0，根据下列表格中的对应值：
… …
x 3.09 3.10 3.11 3.12
﹣ ﹣ ﹣
ax2+bx+c … …
0.17 0.08 0.01 0.11
可判断方程的一个解x的范围是（ ）
A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10
C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.12
5．若二次函数 y=ax2−2ax+c 的图象经过点（﹣1，0），则方程 ax2−2ax+c=0 的解为
（ ）
A．x =−3 ， x =−1 B．x =1 ， x =3
1 2 1 2C．x =−1 ， x =3 D．x =3 ， x =−1
1 2 1 2
6．已知函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么关于x的方程 ax2+bx+c+2=0 的根的情况是 ()
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根
二、填空题
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 …
y … 3 －2 －5 －6 －5 …
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是 .
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx
＋c＝0(a≠0)的解是 .
9．抛物线 y=−x2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴是直线 x=−1 ，则关于x的一元二次方程
−x2+bx+c=0 的解为 ．
10．已知二次函数 y=−x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程
−x2+2x+m=0 的根为 ．11．抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解是
.
三、综合题
12．已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4），
（1）求证：抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x，0）、B（x，0），且（x+1）（x+1）＝﹣8，求二
1 2 1 2
次函数的解析式．
13．已知：二次函数 y=−x2+2x+m ．
（1）如果二次函数图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB解析式．
14．已知：二次函数 y=x2−4x+3a+2 (a为常数).
（1）请写出该二次函数图象的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 x≤4 的部分与一次函数 y=2x−1 的图象有
两个交点，求 a 的取值范围.
